河南省洛阳市2025~2026学年高一下册7月期末质量检测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.3.已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（）A. B. C. D.4.抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为9，方差5.现去掉一个最大值13和一个最小值5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（）A.中位数一定不变 B.极差一定变小C.方差一定变小 D.平均数一定不变5.圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A.2 B. C. D.16.从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（）A. B. C. D.7.已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（）A. B.1 C. D.8.若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知事件，满足，，则下列结论正确的是（）A.B.如果，那么C.如果与互斥，那么D.如果与相互独立，那么10.已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，且，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则11.如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则（）A. B.C.面积的最小值是 D.点到的距离为定值三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.设，若复数，满足，，则________．13.如图所示，已知，，，，用与表示，则________．14.已知棱长为的正方体中，是的中点，动点在正方体的表面上运动，且总满足，则点的轨迹的长度为________．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某摄影兴趣班共150人，年龄分布统计如下：，45人；，55人；，50人．（1）现采用按比例分配分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？（2）若以各组区间的中点值作为该组人员的年龄代表，试估计该兴趣班150人的平均年龄是多少？16.已知为虚数单位，，是（，，）的两个根．（1）设，满足方程，求，的值；（2）设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．17.已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．（1）求函数，的解析式；（2）求不等式的解集．18.中，，，分别是内角，，的对边，．（1）求角；（2）若在边上，是的角平分线，，求的值；（3）若，，，求长．19.已知四棱锥底面是平行四边形，，，，为正三角形，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点．（1）求证：；（2）当时，①求二面角的余弦值；②求直线与平面所成角的正弦值．20.学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．运用上面的公式解决下列问题：（1）已知，求的值；（2）若，证明：；（3）函数，若对任意的恒成立，求的取值范围．

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由条件可知，，得.2.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：对选项A，由反比例函数性质得在上单调递增，故A错误，对选项B，由幂函数性质得在上单调递增，故B错误，对选项C，由题意得.令，由一次函数性质得在上单调递减；由对数函数性质得在上单调递增.由复合函数性质得复合函数在上单调递减，故C正确，对选项D，当时，，由指数函数性质得单调递增.因此在上不可能单调递减，故D错误.3.已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意得，且为第二象限角，则，则.4.抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为9，方差5.现去掉一个最大值13和一个最小值5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（）A.中位数一定不变 B.极差一定变小C.方差一定变小 D.平均数一定不变答案：B解析：思路：由题可设20个样本数据从小到大排列为，通过计算可逐项判断.解答过程：不妨设20个样本数据从小到大排列为，去掉最小，最大，剩下共18个样本数据，原样本中位数为，新样本中位数也为，故A正确；新样本极差为，所以极差有可能与原来相等，故B错误；因为原样本均值为，所以新样本均值，故D正确；原样本方差，新样本方差，所以新样本方差变小，故C错误；故选：B.5.圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A.2 B. C. D.1答案：A解析：思路：首先根据题意，确定出圆锥的底面圆半径和母线长，从而确定出轴截面的顶角，结合三角形的面积公式可确定其为直角三角形时面积最大.解答过程：圆锥的高为1，体积为，则底面圆的半径为，母线长为2，轴截面的顶角为，当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大，最大值为，故选：A．方法提示：关键点点睛：该题考查的是有关过圆锥定点截面面积的最值问题，正确解题的关键是要明确圆锥轴截面顶角的大小以及三角形面积公式.6.从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.解答过程：从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人，记事件“抽到的两人是一男生一女生”，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为：共16个样本点，其中有8个样本点，所以.在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为：共12个样本点，其中有8个样本点，所以.故选：D.7.已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（）A. B.1 C. D.答案：C解析：解答过程：因为是偶函数，，所以，即①，因为是奇函数，所以，所以，即②，①+②，并整理得．8.若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分别分析出的性质，将的零点数转化成函数的交点个数进行求解即可.解答过程：因为，则是周期为的周期函数，又，所以在上的图象如图所示.由的解析式可知，单调递增，；在上单调递减，上单调递增，，所以的图象如图所示.令，将所求零点问题转化为函数交点问题，则在上的交点个数即为所求零点个数.如图所示，在时，有个交点，在时，有个交点，综上共有个交点，即有个零点.故选：.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知事件，满足，，则下列结论正确的是（）A.B.如果，那么C.如果与互斥，那么D.如果与相互独立，那么答案：BCD解析：思路：利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式即可求解.解答过程：对于A，当事件独立时，，而事件不一定独立，故A错误；对于B，由，所以，故B正确；对于C，由与互斥，所以，故C正确；对于D，由与相互独立，所以与独立，所以，故D正确.10.已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，且，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则答案：BD解析：解答过程：若，且，则或，故A错误；若，，则，因为，所以，故B正确；若，，，则或或相交，故C错误；若，，则，因为，所以，故D正确.11.如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则（）A. B.C.面积的最小值是 D.点到的距离为定值答案：ABD解析：思路：先由向量关系判断为的重心，建立平面直角坐标系，利用推导坐标关系，再逐一验证各选项.解答过程：以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，由题意得平行线，，设，，由得，即，由可知为的重心，得,对于A

：由，整理得，即，得，A正确；对于B：​，因为，所以，因此，B正确；对于C

：重心性质得，，因此​，最小值为，不是，C错误；对于D：的纵坐标恒为​，，因此点到的距离为​，是定值，D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.设，若复数，满足，，则________．答案：解析：思路：首先求，再代入，利用复数的运算公式求解.解答过程：，所以13.如图所示，已知，，，，用与表示，则________．答案：解析：思路：先算出与夹角及数量积，设，由得到关系式，再将代入关系式解出完成线性表示.解答过程：由题可知，，因此，设，结合图象可得，利用得，展开得因为，，所以，即.，即由，得，解得或（舍去），因此，即.14.已知棱长为的正方体中，是的中点，动点在正方体的表面上运动，且总满足，则点的轨迹的长度为________．答案：解析：思路：作过点且垂直于的平面，则点的轨迹为该平面与正方体表面的交线.确定该截面为矩形，再利用相似三角形与勾股定理求出矩形的两条边长，进而得到轨迹长度即可.解答过程：如图，作出符合题意的图形，在侧面内，过点作，交于点.过点作，交于点，过点作，交于点.因为平面，且在平面内，所以.又，且与相交，所以平面.因此，平面即过点且垂直于的平面，点的轨迹为矩形的边界.在正方形中，为的中点，所以因为，且，，所以因此，得到所以在直角三角形中，又，得到的轨迹长度为四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某摄影兴趣班共150人，年龄分布统计如下：，45人；，55人；，50人．（1）现采用按比例分配分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？（2）若以各组区间的中点值作为该组人员的年龄代表，试估计该兴趣班150人的平均年龄是多少？答案：（1）11（2）解析：思路：（1）利用分层抽样的抽样比列式求解.（2）根据给定数据列式估算出平均年龄.（1）依题意，年龄段占总体比例为：，所以抽到年龄在岁的有人．（2）依题意，150人的平均年龄约为：.16.已知为虚数单位，，是（，，）的两个根．（1）设，满足方程，求，的值；（2）设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．答案：（1），（2）解析：思路：（1）设出复数，利用复数相等及韦达定理列式求解.（2）根据给定条件，求出的坐标，再利用向量的夹角公式及共线向量的坐标表示列式求解.（1）由，，得方程的两个根互为共轭复数，设，，（），则，，由，得，即，因此，解得，，，所以，．（2）依题意，，，则，，于是，，由与的夹角为钝角，得，且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围为．17.已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．（1）求函数，的解析式；（2）求不等式的解集．答案：（1），．（2）解析：思路：（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式；（2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式；（1）是奇函数，是偶函数，，，，①，即，②，由①、②解得，．（2）由（1）知是上的奇函数和增函数，则不等式，因此，即，解得，即，所以原不等式的解集为．18.中，，，分别是内角，，的对边，．（1）求角；（2）若在边上，是的角平分线，，求的值；（3）若，，，求长．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理边化角，结合和差角公式和辅助角公式将式子化为正弦型函数求角；（2）利用分割法，结合正弦面积公式表示，化简求值；（3）根据，结合角求出，根据求，利用正弦定理角化边后解方程组求出值，在中利用余弦定理求.（1），由正弦定理得：，即，，，，即，又，，．（2）由得：，，，．（3），，，，，，，，，又，，在中，由余弦定理得：，．19.已知四棱锥底面是平行四边形，，，，为正三角形，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点．（1）求证：；（2）当时，①求二面角的余弦值；②求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）取中点，连接，，为正三角形，，在中，由余弦定理得，则，即，设，由，得，由为线段上靠近的三等分点，得是线段的中点，，，而，，平面，因此平面，又平面，所以．（2）①；②解析：思路：（1）作出辅助线，由余弦定理和勾股定理逆定理得，结合得到线面垂直，从而；（2）①先得到为二面角的平面角，得到各边长，得到答案；②由三棱锥的体积求出点到平面的距离为，进而求出线面角的正弦值（1）略；（2）①由（1）知，，，则是二面角的平面角，由（1）得，又，，则平面，在中，，，所以．②在中，，连接，由（1）可得，在中，，在中，，设点到平面的距离为，由，得，则，解得，所以直线与平面所成角