河南省漯河市临颍县博雅学校2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前n项和为，且，则（）A.3 B.4 C.5 D.62.长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（）A. B. C. D.3.已知直线与曲线相切，则可能是（）A. B.C. D.4.2026年河南省篮球城市联赛正在火热进行中，5名志愿者将前往郑州、焦作、商丘3个城市开展志愿服务工作，若要求每个城市都要有志愿者，则志愿者的分配方案总数为（）A.150 B.120 C.300 D.505.直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知点满足，则的最小值为（）A.2 B. C. D.47.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（）A.在单调递增 B.在处取得极大值C.在单调递增 D.在处取得最大值8.小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“点”的格子中，每次向右移动格或移动格，其中每次向右移动格的概率为，向右移动格的概率为，要求参与者一共移动次，每次移动之间互不影响，奖品放在“点”的格子中，次移动结束后参与者正好停在“点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能地拿到奖品，则的值为（）（小明）（奖品）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在上单调递减 B.当时，取得极大值C.当时，取得极小值 D.是在上的最大值10.已知函数是幂函数，则（）A. B.C. D.是奇函数11.如图，一质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动4次，质点最终位置对应的实数为随机变量X，则下列说法正确的是（）A.该质点最终回到原点的概率为 B.该质点最终位于原点右侧的概率为C. D.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.某手机维修店发现，顾客送修的手机中，有40%是电池问题，有60%是非电池问题．使用一款检测仪对手机进行检测：对于电池有问题的手机，检测仪显示“异常”的概率为0.95；对于电池无问题的手机，检测仪显示“异常”的概率为0.02．现从送修手机中随机抽取一部进行检测，则检测仪显示“异常”的概率为__________．13.若直线与曲线相切，则实数的值为___________.14.已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数是定义域为的奇函数，满足．（1）求实数，的值；（2）求关于的不等式的解集．16.甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.（1）求的值；（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；（3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望.17.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求的标准方程；（2）若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点；（3）在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围．18.如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.19.已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，（）．（1）证明：平面平面；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值；（3）取中点为，当四棱锥的外接球体积最小时，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前n项和为，且，则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：D解析：思路：根据等差数列的片段和的性质即可求解．解答过程：因为成等差数列，设其公差为，所以，所以，所以，所以．2.长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意，根据全概率公式求解即得.解答过程：设事件“学生玩手机超过1小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件，由题意可得，，，则，所以.3.已知直线与曲线相切，则可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用导数的几何意义及导数的运算法则一一判定选项即可.解答过程：对于A，易知，则上不存在某点处的切线斜率为，故A错误；对于B，易知，则上不存在某点处的切线斜率为，故B错误；对于C，易知，则上不存在某点处的切线斜率为，故C错误；对于D，易知，令，得，故D正确.4.2026年河南省篮球城市联赛正在火热进行中，5名志愿者将前往郑州、焦作、商丘3个城市开展志愿服务工作，若要求每个城市都要有志愿者，则志愿者的分配方案总数为（）A.150 B.120 C.300 D.50答案：A解析：解答过程：分两类计算第一类：先分组，将5名志愿者分为2、2、1，共有种分组方式，再分配，种方式，所以有种方式，第二类：将5名志愿者分为3、1、1，共有种分组方式，再分配，种方式，所以有种方式，所以志愿者的分配方案总数为.5.直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由点差法求得，结合已知可得，求解即可.解答过程：设，因为，两点在双曲线上，所以，两式相减得，又为的中点，所以，所以，所以，又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以，所以，两边平方得，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以的离心率的取值范围是.6.已知点满足，则的最小值为（）A.2 B. C. D.4答案：C解析：思路：根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解.解答过程：因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离，又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，设，则，当且仅当时，等号成立，故选：C.7.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（）A.在单调递增 B.在处取得极大值C.在单调递增 D.在处取得最大值答案：C解析：解答过程：由导函数的图象，可得：当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值8.小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“点”的格子中，每次向右移动格或移动格，其中每次向右移动格的概率为，向右移动格的概率为，要求参与者一共移动次，每次移动之间互不影响，奖品放在“点”的格子中，次移动结束后参与者正好停在“点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能地拿到奖品，则的值为（）（小明）（奖品）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先通过解方程组可得次移动中需要次走格、次走格，再由独立重复试验的概率公式可得获得奖品的概率，再通过函数的导数判断概率的最大值可得.解答过程：设次移动中，有次移动格，次移动格，根据题意可得方程组：，解得，，即需要次走格、次走格.根据独立重复试验的概率公式，获得奖品的概率为，令，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以函数在处取得极大值也是最大值，此时小明拿到奖品的概率最大.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在上单调递减 B.当时，取得极大值C.当时，取得极小值 D.是在上的最大值答案：ABC解析：思路：根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可.解答过程：对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确；对于B，C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故BC，正确；对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误.10.已知函数是幂函数，则（）A. B.C. D.是奇函数答案：ABD解析：思路：由为幂函数，有，可判断BC选项；由的值得函数解析式判断AD选项.解答过程：函数是幂函数，则有，所以，解得或，B选项正确，C选项错误；或，则有是奇函数，，AD选项正确.故选：ABD.11.如图，一质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动4次，质点最终位置对应的实数为随机变量X，则下列说法正确的是（）A.该质点最终回到原点的概率为 B.该质点最终位于原点右侧的概率为C. D.答案：ACD解析：思路：对于选项A，质点最终回到原点即向左向右行动的次数一致，即可求解概率；对于选项B，若位于右侧则说明向右行动次数大于向左的次数；对于选项C，若X等于，则向左移动三次，向右移动一次，根据独立重复事件概率公式即得；对于选项D，求解X的数学期望就可先把分布列求出，进而求解数学期望.解答过程：选项A：质点最终回到原点即向左向右行动的次数一致，即向左两次，向右两次，所以概率为，故A正确.选项B：质点位于原点右侧即向右行动次数大于向左的次数，有两种情况，第一种情况，4次均向右移动则，第二种情况向右移动3次，向左移动一次，则，所以质点位于原点右侧的概率为，故B错误.选项C：即向左移动3次，向右移动1次，所以，故C正确.选项D：X可取值为.，，，，，随机变量X的分布列为：024所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.某手机维修店发现，顾客送修的手机中，有40%是电池问题，有60%是非电池问题．使用一款检测仪对手机进行检测：对于电池有问题的手机，检测仪显示“异常”的概率为0.95；对于电池无问题的手机，检测仪显示“异常”的概率为0.02．现从送修手机中随机抽取一部进行检测，则检测仪显示“异常”的概率为__________．答案：0.392解析：思路：利用全概率公式求解.解答过程：设事件“检测仪显示“异常”，“送修的手机是电池问题”则，所以.13.若直线与曲线相切，则实数的值为___________.答案：5解析：思路：设直线与曲线相切于点，进而结合导数几何意义求得切点为，再代入直线方程求解即可.解答过程：设直线与曲线相切于点，由得，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即切点为所以将代入直线方程得，解得．14.已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则________．答案：解析：思路：通过关于的对称性以及奇函数的性质求解的周期，进而对化简求解.解答过程：因为，，所以，，故关于直线对称.，，又因为为奇函数，所以，周期为.设，，，，，，，，所以，又因为，所以得到，即，，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数是定义域为的奇函数，满足．（1）求实数，的值；（2）求关于的不等式的解集．答案：（1），．（2）解析：（1）因为，则，由函数为奇函数得，即，解得．又，则，即，．（2）由（1）知．，且，．因为，所以，，．又，，所以，即，所以在区间上是增函数．所以，即，则有解得，即不等式的解集为．16.甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.（1）求的值；（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；（3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望.答案：（1）（2）（3）分布列见解析，解析：思路：（1）根据古典概型的概率公式计算取到的标号都是2的概率即可；（2）利用条件概率的公式计算；（3）利用互斥事件和独立事件的概率公式计算分布列，再根据期望公式计算即可.（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为.则取到的标号都是2的概率是，整理得，解得或（舍去）.（2）设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”.因为，，所以.（3）的可能取值为，因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为，所以，，，，.所以的分布列为：01234所以.17.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求的标准方程；（2）若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点；（3）在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围．答案：（1）（2）设，，由，消得，则，且，，又，则，，因为，则，又，，所以，因为，所以，整理得到，解得，所以直线的方程为：，故直线过定点.（3）解析：思路：（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解；（2）设，，联立直线与椭圆的方程消，由根与系数间的关系得，，再结合条件得，即可求解；（3）根据条件得，再求出的取值范围，即可求解.（1）由题意得，即，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）略（3）由（2）知，所以，，因为，因为，则，因为，又，所以，令，则，当时，，所以，当时，，，，即，解得且，且，且，且，综上所述，的取值范围为.18.如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，平面，从而，又，D是的中点，则，由，平面，则平面，由平面，则，又，，平面，平面；（2）解析：思路：（1）根据已知条件，由线面垂直的性质、判定定理证明结论即可；（2）构建合适空间直角坐标系，标出相关点坐标，进而求出两个平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值.（1）略（2）由平面，平面，则，由平面，平面，则，在中，即，所以，，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得，，，，，即，，设平面的法向量，由