河南省泌阳县第二高级中学2025~2026学年高三上册开学考试数学试卷【附解析】

数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设，则（）A. B.C. D.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，则以下错误的是（）A. B.C. D.4.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.5.随机变量X的分布列如下表所示，若，则（）X01PabA.9 B.7 C.5 D.36.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为A.24种 B.48种 C.72种 D.96种7.甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为（）A. B. C. D.8.甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为，，摸出红球个数Y的均值和方差分别为，，则（）A.， B.，C.， D.，二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知事件A，B发生的概率分别为，，则（）A. B.C.若A与B互斥，则 D.一定有10.设正实数满足，则（）A. B.C. D.11.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）A.取出的最大号码X服从超几何分布B.取出的黑球个数Y服从超几何分布C.取出2个白球的概率为D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的最大值为__________．13.某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占，次品率为；B生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是__________．14.如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有__________种．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）当a=2，时，求函数f(x)的值域；（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.16.已知，.（1）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.17.在的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）系数最大的项．18.某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为.（1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；（2）设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为，求的值．19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：的元素用来表示，再利用集合间的基本关系选择正确答案.解答过程：因为，所以．故选：A.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.解答过程：根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.故选：C.3.已知，则以下错误的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.解答过程：因为，所以，对于A，，,,综上可得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：D.4.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：令,则，利用基本不等式可以求出结果.解答过程：令，由题意可得，，当且仅当，即时等号成立，，所以实数的取值范围为.故选：C.5.随机变量X的分布列如下表所示，若，则（）X01PabA.9 B.7 C.5 D.3答案：C解析：思路：利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．解答过程：解：依题意可得，解得，所以所以故选：C6.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为A.24种 B.48种 C.72种 D.96种答案：C解析：解答过程：试题分析：按照先A再BD最后CE的顺序，分两种情况涂色，1：BD同色，有;2：BD不同色，有种考点：1.分步计数原理；2.分情况讨论7.甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果.解答过程：传球的结果可以分为：分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为故选：C8.甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为，，摸出红球个数Y的均值和方差分别为，，则（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：分别求出随机变量和的所有可能取值及其对应的概率，由数学期望和方差的计算公式即可求解．解答过程：解：由题意，甲箱中摸到白球的概率为，红球的概率为，乙箱中摸到白球的概率为，红球的概率为，由题意可知的可能取值为0，1，2，所以，，，所以，；由题意可知的可能取值为0，1，2，所以，，，所以，；所以，．故选：C．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知事件A，B发生的概率分别为，，则（）A. B.C.若A与B互斥，则 D.一定有答案：AB解析：思路：对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断.解答过程：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，又且，则，所以，即，故B正确；对于C，因为A与B互斥，所以，则，故C错误；对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，则满足，，但不成立，故D错误；故选：AB.10.设正实数满足，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：利用基本不等式判断各选项．解答过程：对于A选项，，当且仅当时取得等号，故A错误；对于B选项，，故，当且仅当时取得等号，故B正确；对于C选项，，当且仅当时取得等号，故C正确；对于D选项，，当且仅当时取得等号成立，故D正确．故选：BCD.11.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）A.取出的最大号码X服从超几何分布B.取出的黑球个数Y服从超几何分布C.取出2个白球的概率为D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为答案：BD解析：思路：超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，取出的黑球个数服从超几何分布；取出2个白球的概率为；对于，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为．解答过程：解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；对于，取出2个白球的概率为，故错误；对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故正确．故选：．方法提示：本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的最大值为__________．答案：解析：思路：解法一：应用基本不等式计算和为定值即可得出最大值；解法二：应用二次函数单调性得出二次函数的最大值即可.解答过程：解法一：，当且仅当，即时等号成立．解法二：，在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值．故答案为：.13.某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占，次品率为；B生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是__________．答案：解析：思路：根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式列式求解.解答过程：设“抽到的产品来自A生产线”，“抽到的产品来自B生产线”，“抽到的一件产品是次品”，则，，由全概率公式得，所以它来自A生产线的概率是.故答案为：14.如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有__________种．答案：448解析：思路：分和两种情况，讨论向左和向右的次数，再结合组合数公式，即可求解.解答过程：因为，所以或．当时，前8次向左跳跃6次，向右跳跃2次，后6次向右跳跃6次，所以有（种）跳跃方法；当时，前8次向右跳跃6次，向左跳跃2次，后6次向左跳跃4次，向右跳跃2次，所以有（种）跳跃方法．综上所述，满足的跳跃方法有（种）．故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）当a=2，时，求函数f(x)的值域；（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.答案：（1）.（2）或.解析：思路：（1）通过判断对称轴与区间的关系，即可求出函数最值，从而可求函数的值域.（2）通过讨论对称轴与区间中点的大小关系，从而可求出函数的最大值，根据最大值为，即可求出实数的值.（1）当a＝2时，，，因为其对称轴为x＝，所以，，所以函数f(x)的值域为.（2）∵函数f(x)的对称轴为.①当，即时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即，满足题意；②当，即时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，或a＝－1.16.已知，.（1）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.答案：（1）不存在，理由如下：由得，故，即，假设存在a，使得p是q的充要条件，则不等式的解集为，所以是方程的两根，故，此方程组无解，故假设不成立，所以不存在实数a，使得p是q的充要条件.（2）解析：思路：（1）判断不存在，先化简条件，假设存在时，则是方程的两根，利用韦达定理可推出矛盾，故假设不成立；（2）由题设可知集合为不等式解集的真子集，由二次函数的图像性质可得，进而求得，再检验两个端点，即可求得的取值范围.（1）略（2）若p是q的充分不必要条件，则集合为不等式解集的真子集，令，则由二次函数的图像性质可得，即，解得，故，当时，得，解得，满足题意，当时，得，解得，满足题意所以实数a的取值范围为.17.在的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）系数最大的项．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据二项式系数的性质得到二项式系数最大的项为第11项，然后求解即可；（2）设系数绝对值最大的项是第项，然后列不等式求解即可；（3）设第项的系数最大，然后列不等式求解即可.（1）由题意得二项式系数最大的项为第11项，即.（2）设系数绝对值最大的项是第项，于是，化简得，解得，因为，所以，即是系数绝对值最大的项.（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第项的系数最大，所以，化简得，解得，即第9项系数最大，.18.某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为.（1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；（2）设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采