河南省南阳市豫南部分高中2025~2026学年高一下册6月期末联考数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A.2 B.1 C.2或1 D.0或12.的值为（）A. B. C.0 D.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（）A. B. C. D.4.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（）A.12 B. C.24 D.5.如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（）A. B. C. D.6.已知，则（）A.- B.- C. D.7.如图，四边形为正方形，平面//，记三棱锥的体积分别为，则（）A. B. C. D.8.已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A. B.C. D.11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（）A.B.的取值范围为C.取值范围为D.若的平分线交于，，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________．13.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，，，，则________.14.已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．16.（1）求值：；（2）已知都是锐角，，求的值.17.在凸四边形中，．（1）若，，，四点共圆，，，．①求四边形的面积；②求的值；（2）若，，，求的值．18.如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点.（1）证明：是直角三角形；（2）若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.19.如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：（1）正四棱锥的表面积；（2）若为的中点，求证：平面；（3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A.2 B.1 C.2或1 D.0或1答案：A解析：思路：由纯虚数的概念列式可得结果.解答过程：由是纯虚数，可得，解得.2.的值为（）A. B. C.0 D.答案：B解析：思路：利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值.解答过程：.故选：B3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，为内角，则，则.4.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（）A.12 B. C.24 D.答案：D解析：思路：先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.解答过程：由题意得，所以矩形的面积为，由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确.5.如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据图形和角边关系求出结果即可.解答过程：设树的高度为，由已知，得，在中，.化简得，解得.所以树的高度为m.故选：C.6.已知，则（）A.- B.- C. D.答案：C解析：思路：将已知两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求得答案.解答过程：由，，两边平方后相加得，即,得，所以,故选:C.7.如图，四边形为正方形，平面//，记三棱锥的体积分别为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，利用锥体体积公式求出，作出辅助线，证明出⊥平面，由勾股定理逆定理得，求出，四个选项一一判断，得到答案.解答过程：设，，因为平面，，，，连接交于点，连接，易得⊥，又平面，平面，所以，又，平面，则⊥平面，又，过点过⊥于点，易得四边形为矩形，则，，则，，，显然，则，，则，，，，，，ABC错误；D正确.故选：D8.已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由对任意实数恒成立，两边同时平方化简整理得：对任意实数恒成立，故，解得.利用绝对值的三角不等式即可求解.解答过程：由题可知.由，两边同时平方得，化简整理得.因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立，所以，所以.所以，当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据两角和得正弦公式计算即可判断A；将两边平方，结合二倍角得正弦公式即可判断B；结合B选项可判断得符号，进而可判断C；结合C选项求出，再根据商数关系即可判断D.解答过程：，故A错；，平方得：，所以，故B对；，又因为，，由B选项知：，所以，因此，故C错；由C得，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故D对，故选：BD.10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.解答过程：设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（）A.B.的取值范围为C.取值范围为D.若的平分线交于，，，则答案：ABD解析：思路：先通过正弦定理将边化为角，利用和差角公式对已知条件进行三角恒等变形，推导出核心关系；再结合锐角三角形的条件，列出三个角的不等式组，求出角的取值范围，选项A直接验证关系；选项B通过正弦定理将边的比值转化为关于的函数，结合函数单调性求值域；选项C根据的范围判断的取值范围；选项D利用角平分线的面积关系建立等式，结合半角公式进行计算即可判断.解答过程：选项A：由正弦定理，得，代入得：，所以，所以，由，得，故，于是，在三角形中，解得，即，故选项A正确；选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以，解得：，故，故选项C错误；选项B：，因为，令，则，函数在该区间单调递增，，，所以，故选项B正确；选项D：因为，且为锐角，得：由，得：，所以，因为AD是的平分线，由面积关系，得：所以，因为，代入得：，两边同除以：，由三角恒等式，得：又因为，所以，故选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________．答案：①.##②.##解析：思路：作出辅助线，求出四棱台的侧高和高，求出表面积和体积解答过程：如图，过作，垂足为M，易知为四棱台的高，因为，，，所以上底面面积为，下底面面积为，棱台的侧高为，所以侧面积为，所以该棱台的表面积为，又，，故，则，所以所求体积为.故答案为：，.13.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，，，，则________.答案：解析：思路：根据和差角公式即可求解.解答过程：由题意可知．可得，即．故答案为：．14.已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，__________.答案：##解析：思路：设，依题可得，，结合的解可得，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．解答过程：设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．答案：（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.解析：思路：（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．解答过程：解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．方法提示：本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．16.（1）求值：；（2）已知都是锐角，，求的值.答案：（1）1；（2）.解析：思路：（1）先进行切化弦，将变为，通分并根据辅助角公式，将其化为，由二倍角公式及诱导公式即可化简得原式的值；（2）由同角三角函数的平方关系，分别求得，再根据两角差的正弦公式求得的值.解答过程：（1）；（2）∵是锐角，；∵都是锐角，，所以.，，.17.在凸四边形中，．（1）若，，，四点共圆，，，．①求四边形的面积；②求的值；（2）若，，，求的值．答案：（1）①；②（2）解析：思路：（1）①由四点共圆得到，在、中分别利用余弦定理求出、，即可得到、，再由面积公式求出、即可；②利用余弦定理求出、，由二倍角公式求出，再由数量积的定义计算可得；（2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可.（1）①因为，，，四点共圆且，所以，则，在中由余弦定理，又，所以，解得（负值舍去），所以，则，在中由余弦定理，又，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以；②由①在中由余弦定理，即，则，所以，在中由余弦定理，即，则，所以，即，所以，所以.（2）设，，则，则，，又，所以，在中，由正弦定理可得，即，∴，即，∴，故，又，解得，又由正弦定理有，故，所以.18.如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点.（1）证明：是直角三角形；（2）若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）正弦值为解析：思路：（1）证明平面即可；（2）先算出三棱锥的边长数据，在根据线面角的定义和等体积法，求出到平面的距离，与平面所成角的正弦值为.（1）是的直径，则，又垂直于所在的平面，即平面，又平面，则，又，于是平面，又平面，则，即，故是直角三角形；（2）由题可得平面，则与平面所成角为，即，，计算易得，则，由（1）知，是直角三角形，，设到平面的距离为，由线面角的定义，于是与平面所成角的正弦值为，三棱锥的体积：，又，根据，解得，于是与平面所成角的正弦值为19.如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：（1）正四棱锥的表面积；（2）若为的中点，求证：平面；（3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.答案：（1）（2）如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点，当M为SA的中点时，，又平面平面，所以平面；（3）在侧棱