河南省三门峡市渑池县第二高级中学2025~2026学年高三上册开学考试数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟，满分150分．答案写在答题卡，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，则集合的子集个数为（）A.3 B.4 C.6 D.82.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（）A. B.0 C.1 D.24.已知函数，则（）A. B. C. D.5.已知实数，则（）A. B. C. D.6.已知和分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则（）A.－2 B.－1 C.1 D.27.已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8.宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为米每秒，1阿秒等于秒．现有一条50厘米的线段，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，需要截（）次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：）A.30 B.31 C.32 D.33二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若且，则 D.若且，则10.设函数f（x）＝若f（x）－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有（）A.1 B.2C.3 D.411.已知函数的定义域为，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（）A.为奇函数B.C.不等式的解集为D.三、填空题（每题5分共15分）12.在上的极小值点为______．13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.14.若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则__________.四、解答题15.已知，，．（1）求的值；（2）解不等式：．16.已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点.（1）求的值；（2）求.17.（1）已知角α的终边上一点，（），求．（2）若，且，求的最小值；（3）若，的最大值．18.已知函数（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）若，函数与轴有两个交点，求的取值范围.19.已知．（1）讨论的单调性；（2）若在有两个零点，求的取值范围；（3）若在上恒成立，求的取值范围．

数学考试时间120分钟，满分150分．答案写在答题卡，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，则集合的子集个数为（）A.3 B.4 C.6 D.8答案：D解析：思路：联立和，求得，即可求得其子集个数.解答过程：由已知集合，联立和，可得或或，则，故集合的子集个数为个，故选：D2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：由特称命题的否定为全称命题即可判断.解答过程：命题“，”的否定是，.故选：C3.已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（）A. B.0 C.1 D.2答案：D解析：思路：解不等式可得，或.根据已知列出不等式组，即可得出答案.解答过程：解，可得，或.由题意，，解得，检验符合题意.故选：D．4.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：对函数求导得，从而可求解.解答过程：由题意得，所以.故A正确.故选：A.5.已知实数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据指、对数函数单调性结合中间值1比较的大小关系，再结合幂函数单调性比较的大小关系.解答过程：因为在定义域内单调递减，则，即；又因为在定义域内单调递增，则，即；，且在内单调递增，则，即；综上所述：.故选：C.6.已知和分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则（）A.－2 B.－1 C.1 D.2答案：C解析：思路：令，利用函数的奇偶性转化为关于和的方程，再令，两个方程联立求可得的值.解答过程：令，可得，因为和分别是定义在R上的奇函数和偶函数，故，即，令，可得，所以，解得，故选：.7.已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据区间单调性得对任意恒成立，即，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a的范围.解答过程：因为函数在上是单调递增函数，所以对任意恒成立，所以，令，则，所以在内为减函数，所以，则．故选：C8.宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为米每秒，1阿秒等于秒．现有一条50厘米的线段，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，需要截（）次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：）A.30 B.31 C.32 D.33答案：B解析：思路：根据已知得出截次后，剩余的长度米.然后列出不等式，两边同时取对数，结合换底公式以及已知数据，求解即可得出答案.解答过程：根据已知可得，光在1阿秒内走的距离为米.截次后，剩余的长度米.由可得，，结合函数的单调性，两边同时取对数可得，，所以，.所以，应当截31次.故选：B.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若且，则 D.若且，则答案：BCD解析：思路：取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项；利用作差法可判断D选项.解答过程：对于A选项，当时，，A错；对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对；对于C选项，若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，C对；对于D选项，若且，则，所以，，D对.故选：BCD.10.设函数f（x）＝若f（x）－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有（）A.1 B.2C.3 D.4答案：BC解析：思路：f（x）－b＝0有三个不等实数根,即函数y＝f（x）的图象与y＝b有3个不同交点，作出函数f（x）的图象，数形结合可得答案.解答过程：作出函数f（x）＝的图象如图：f（x）－b＝0有三个不等实数根，即函数y＝f（x）的图象与y＝b有3个不同交点，由图可知，b的取值范围是(1，3]，根据选项，故b可取2，3．故选：BC方法提示：本题考查根据方程实根个数求参数问题，考查分段函数，指数、对数的图象，属于中档题.11.已知函数的定义域为，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（）A.为奇函数B.C.不等式的解集为D.答案：ABC解析：思路：分别令和，得到，可判定A正确；由为奇函数，根据，可判定B正确；设，证得，得到在上单调递增，结合，可判定C正确；由为奇函数，和，进而可判定以D错误．解答过程：对于A中，令，可得，所以，令，得到，即，所以为奇函数，故A正确；对于B中，因为为奇函数，且，可得，故B正确；对于C中，设，可得，所以，又因为，所以，所以，即，所以在上单调递增，因为，所以，由，可得，所以，所以，得到，所以的解集为，所以C正确；对于D中，因为为奇函数，所以，所以，又因为，可得，所以D错误．故选：ABC．三、填空题（每题5分共15分）12.在上的极小值点为______．答案：##解析：思路：利用函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极值，进一步得出极值点即可．解答过程：因为，所以，令，得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以时，取极小值，即极小值点为，故答案为：．13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.答案：解析：思路：先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.解答过程：由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：14.若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则__________.答案：4解析：思路：将函数解析式化为，构造奇函数，由函数的性质可得，进而得函数的最值.解答过程：因为，令，，则，又因为，所以函数为奇函数，因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数区间上的最大值和最小值之和为0，即，所以.故答案为：4.四、解答题15.已知，，．（1）求的值；（2）解不等式：．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用对数的概念列方程组求解即可；（2）利用换元法令，解一元二次不等式，结合指数函数的单调性即可求解.（1）由可得，代入得，又因为，所以，；（2）由（1）得，所以不等式即为，令得，解得，即，解得，所以不等式的解集为.16.已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点.（1）求的值；（2）求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据三角函数的定义先计算出的值，然后利用齐次式的运算化简原式，代入的值即可求解；（2）利用诱导公式直接化简原式，然后代入的值即可求解.（1）∵角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，∴，∴.（2）.17.（1）已知角α的终边上一点，（），求．（2）若，且，求的最小值；（3）若，的最大值．答案：（1）答案见解析；（2）18；（3）解析：思路：（1）利用分类讨论的思想结合余弦函数的定义进行求解即可；（2）等式两边同时除以，得到，再利用基本不等式求解最值；（3）对式子，利用分离常数法进行整理，将看作一个整体，再利用基本不等式求解．解答过程：（1）当时，当时．（2）由，得，，当且仅当时取等号故当，取最小值18．（3）若，则当且仅当时取等号，．即若，的最大值为．18.已知函数（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）若，函数与轴有两个交点，求的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据导数几何意义是切点处切线斜率，求得参数a.

（2）将函数根的问题转化为函数图像交点问题，研究新函数的单调性，数形结合，求得参数取值范围.解答过程：（1）由题意知函数的定义域为，，因为曲线在处的切线方程为，所以切线斜率为，即时，，解得（2）因为函数与轴有两个交点，所以方程在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，又方程可化为，令，，则只需直线与函数的图像有两个不同的交点，又，所以，由得，解得；由得，解得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此当时，；当时，，画出函数的大致图像如下：

由函数图像可得，当，即时，直线与函数的图像有两个不同的交点，即函数与轴有两个交点.因此的取值范围为方法提示：方法点睛：将函数零点问题转化为图像交点问题，根据导数求得单调区间，作出图像，数形结合解决参数取值范围.19.已知．（1）讨论的单调性；（2）若在有两个零点，求的取值范围；（3）若在上恒成立，求的取值范围．答案：（1）当时，在上递减，当时，在上递减，在上递增．（2）（3）解析：思路：（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性；（2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论；（3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论.（1）∵，