河南省许昌市2025~2026学年高二下册期末质量检测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知向量，，若，则的值为（）A.14 B.10 C.8 D.72.已知等差数列满足，，则公差为（）A.1 B.2C. D.3.若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（）A. B.C. D.4.已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（）A. B. C. D.5.某高校选派5名大学生志愿者到、、三所学校开展义务帮扶活动，其中每所学校至少去一名志愿者，每名志愿者只去一所学校，若志愿者甲必须去学校，乙不能单独去任一所学校，则不同的选派方案共有（）A.30种 B.36种 C.48种 D.54种6.已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（）A. B.C. D.37.已知函数在处有极大值，则在上的值域为（）A. B.C. D.8.在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若两个变量的相关性越强，则相关系数越大B.的展开式中项的系数为C.随机变量，若，则D.若一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，则当时，函数取得最小值10.根据2019年发布的《中国城市餐饮食物浪费报告》显示，我国仅餐饮业餐桌的粮食浪费每年就高达1800万吨，相当于5000万人一年的食物量．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下列联表，已知，，则下列判断正确的是（）年龄认可情况认可不认可40岁以下202040岁以上（含40岁）455A.在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动”B.在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动”C.有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄无关D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.若，则函数在上单调递增B.若，不等式在区间上恒成立，则C.若方程有解，则实数的取值范围为D.若不等式对任意恒成立，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前项积为，若，则______．13.袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有（，且）个，其余的球为红球，从袋子中任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，则红球的个数为____．14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____．四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某地区卫生部门为探究居民锻炼习惯与健康状况的关系，开展了一项大规模抽样调查．通过分析，研究人员将人群分为“有定期锻炼习惯”和“无定期锻炼习惯”两类，调查结果显示，锻炼习惯与健康指标存在显著关联．具体而言，在坚持定期锻炼的居民中，体检指标正常的比例为；而在缺乏锻炼习惯的居民中，这一比例仅为，综合全部样本数据，该地区全体居民体检指标正常的比例为．用样本频率估算总体概率．（1）从该地区随机抽取一人，求此人具有定期锻炼习惯的概率；（2）现从该地区全体居民中随机抽取3人，记其中具有定期锻炼习惯的人数为，求的分布列与数学期望．16.已知数列中，，．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．17.如图，在四棱锥中，平面，，四边形是边长为的菱形，．（1）证明：平面；（2）若，．（ⅰ）求平面与平面的夹角；（ⅱ）若，证明：平面．18.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求的标准方程；（2）若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点；（3）在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若是的导函数的极大值点，求的取值范围；（3）证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知向量，，若，则的值为（）A.14 B.10 C.8 D.7答案：B解析：思路：根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得.解答过程：因为，所以，解得，所以.2.已知等差数列满足，，则公差为（）A.1 B.2C. D.答案：D解析：思路：根据等差数列的性质解得公差；解答过程：设等差数列的公差为，因为，，且，解得.3.若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：，准线为，关于的对称点为，故，解得，故的标准方程为.4.已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：如图，，又，则，所以.5.某高校选派5名大学生志愿者到、、三所学校开展义务帮扶活动，其中每所学校至少去一名志愿者，每名志愿者只去一所学校，若志愿者甲必须去学校，乙不能单独去任一所学校，则不同的选派方案共有（）A.30种 B.36种 C.48种 D.54种答案：B解析：思路：先分乙去学校进行分类，再按剩下人去学校的个数分类.解答过程：若乙去学校，则剩下人的安排有两种情况：人去不同学校，共有种；人去所学校，共有种；共种，若乙去学校，则剩下人的安排有两种情况：人去不同学校，共有种；人去所学校，共有种；共种，同理，若乙去学校，共有种；故不同的选派方案共有种.6.已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（）A. B.C. D.3答案：C解析：思路：根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得.解答过程：圆的圆心为，半径，即，由，可知是圆的切线，为直角三角形由，则，由，求的最小值，即求的最小值，而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离d=∣1-0+2∣12+(-1)2的最小值为，即的最小值为.7.已知函数在处有极大值，则在上的值域为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：对函数求导，根据极值点求参数值，再验证是否满足题设，最后利用函数的单调性求值域.解答过程：由，求导得，因为在处取极大值，所以，所以，解得或，若，，处导数左负右正，为极小值，不符合，若，，处导数左正右负，为极大值，符合，所以，此时，综上，或时，，故在和上单调递增，时，，故在上单调递减，，，，，所以值域为.8.在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解.解答过程：如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标:，因点在线段上，设，其中，，设平面的法向量为，则，令，解得，即，又，，则sinθ=由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大，当时，，此时取得最大值，代入得：.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若两个变量的相关性越强，则相关系数越大B.的展开式中项的系数为C.随机变量，若，则D.若一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，则当时，函数取得最小值答案：BCD解析：思路：A选项，根据相关系数的概念进行判断；B选项，求出通项公式，得到展开式中项的系数；C选项，由正态分布的对称性可得C正确；D选项，求导，得到函数单调性，得到最值情况解答过程：A选项，若两个变量的相关性越强，则相关系数越接近于1，A错误；B选项，的展开式的通项公式为，令得，故，展开式中项的系数为6，B正确；C选项，随机变量，若，则与关于对称，则，C正确；D选项，若一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，则，，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数取得极小值，也是最小值，D正确10.根据2019年发布的《中国城市餐饮食物浪费报告》显示，我国仅餐饮业餐桌的粮食浪费每年就高达1800万吨，相当于5000万人一年的食物量．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下列联表，已知，，则下列判断正确的是（）年龄认可情况认可不认可40岁以下202040岁以上（含40岁）455A.在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动”B.在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动”C.有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄无关D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关答案：AD解析：解答过程：认可“光盘行动”的客人比例为，A正确，B错误，由题设，由，对应，即在犯错误的概率不超过的前提下，有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，C错误，由，对应，即在犯错误的概率不超过的前提下，有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，D正确.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.若，则函数在上单调递增B.若，不等式在区间上恒成立，则C.若方程有解，则实数的取值范围为D.若不等式对任意恒成立，则答案：ABD解析：思路：A应用导数研究函数的单调性判断，B问题化为在上，对函数求导，结合单调性求导函数的最小值判断，C问题化为，利用导数求右侧的值域范围即可，D由题设，构造研究单调性，进而化为恒成立，再构造并求出最值，即可判断.解答过程：A：由，求导得，当时，令，得ex>a⟹x>ln⁡a因此在上单调递增，A正确，B：当时，在上单调递增，且，当，则，显然满足不等式恒成立，当，，有，根据导数的定义，当且时，所以，原不等式等价于在上，由在上也单调递增，最小值为，故，B正确，C：由，显然不是方程的根，则，令，求导得，当且，，即在上单调递减，当，，即在上单调递增，且时，时，即，综上，的范围是，C错误，D：由，整理得，令，则，在上单调递增，所以，在上恒成立，即恒成立，令，则，当，，即在上单调递增，当，，即在上单调递减，所以​，因此，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前项积为，若，则______．答案：1解析：思路：依题意可得，再由下标和性质计算可得.解答过程：等比数列的前项积为，因为，所以．因为，所以．故答案为：.13.袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有（，且）个，其余的球为红球，从袋子中任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，则红球的个数为____．答案：解析：思路：根据古典概率公式，可列出关于的方程，解方程求出，进而可以求出红球的个数.解答过程：由题可知，袋子共有10个小球，黑球有3个，白球有个，则红球有个，又，且，则红球至少有2个，所以，任意取出2个球，可能是2个黑球、2个白球、2个红球，共有个，因此，这两个球的颜色相同的概率为，则，化简整理得，解得，又因为，所以，因此红球有个.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____．答案：解析：思路：设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围.解答过程：设双曲线的焦距为，且，则，，设点且，，直线的方程为，令，得，，所以，则在线段上，由是的角平分线，在中，由三点共线，则，因为，则，而点到右焦点的距离为，所以，所以，由，则，即，综上，离心率的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某地区卫生部门为探究居民锻炼习惯与健康状况的关系，开展了一项大规模抽样调查．通过分析，研究人员将人群分为“有定期锻炼习惯”和“无定期锻炼习惯”两类，调查结果显示，锻炼习惯与健康指标存在显著关联．具体而言，在坚持定期锻炼的居民中，体检指标正常的比例为；而在缺乏锻炼习惯的居民中，这一比例仅为，综合全部样本数据，该地区全体居民体检指标正常的比例为．用样本频率估算总体概率．（1）从该地区随机抽取一人，求此人具有定期锻炼习惯的概率；（2）现从该地区全体居民中随机抽取3人，记其中具有定期锻炼习惯的人数为，求的分布列与数学期望．答案：（1）（2）的分布列为0123数学期望为：1解析：思路：（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解.（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.（1）记“具有定期锻炼习惯”为事件，则“不具有定期锻炼习惯”为事件，“体检指标正常”为事件，依题意，，由全概率公式得，即，整理得，而，解得，所以从该地区随机抽取一人，此人具有定期锻炼习惯的概率为.（2）由（1）知从该地区随机抽取一人，此人具有定期锻炼习惯的概率为，不具有定期锻炼习惯的概率为，随机变量的可能取值为、、、，，，，，所以的分布列为：0123数学期望.16.已知数列中，，．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．答案：（1）证明：因为，所以，故是以为首项，3为公比的等比数列，得证；（2）解析：思路：（1）根据已知递推关系得，结合等比数列的定义证明即可；（2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求.（1）略（2）由（1）知，所以，所以，则，作差，得，所以，故17.如图，在四棱锥中，平面，，四边形是边长为的菱形，．（1）证明：平面；（2）若，．（ⅰ）求平面与平面的夹角；（ⅱ）若，证明：平面．答案：（1）平面，平面，，又四边形为菱形，，且，，平面，平面（2）（ⅰ）；（ii）设，则，由，即，得，，平面的一个法向量为，，又平面平面解析：思路：（1）先由菱形对角线性质得，再由线面推出，最后利用线面垂直判定定理即可证得.（2）（ⅰ）先写出两个平面内的向量，分别求出两平面的法向量；再利用法向量夹角余弦公式，取绝对值计算锐二面角（ii）求出直线的方向向量，验证该向量与平面的法向量点积为0，说明直线与平面法向量垂直，又平面即可证得.（1）略（2）（ⅰ）取的中点，连接，∵四边形是边长为的菱形，，∴为等边三角形，因此，，又，，∵平面，平面，∴，∴以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：则由已知可得：，，，，，，因此，，，，设平面的一个法向量为，则有即得又由（1）可知为平面的一个法向量，，设平面与平面的夹角为则，又，因此，平面与平面的夹角为．（ii）略18.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求的标准方程；（2）若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点；（3）在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围．答案：（1）（2）设，，由，消得，则，