河南省郑州市外国语学校2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.为了解两名同学数学成绩的变化情况，下列的统计图使用最方便的是（）A.频率分布直方图 B.条形图 C.折线图 D.扇形图2.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.3.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B.或 C.60° D.或4.古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（）A. B. C. D.5.若（为虚数单位），则的值可能是A. B. C. D.6.若M为所在平面内一点，且满足，则为（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形7.在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（）A.4 B.1 C.6 D.－68.某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下：年级样本量样本平均数样本方差高一100167120高二100170150高三100173150则总的样本方差等于（）A.140 B.142 C.144 D.146二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的序号有（）A.频率分布直方图中的值为0.005B.估计这200名学生成绩的第60百分位数为80C.估计总体中成绩落在内的学生人数为150D.估计这200名学生成绩的众数为7810.设为两个随机事件，且，下列说法正确的有（）A.若，则 B.若互斥，则C.若，则独立 D.若，则独立11.如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的表面积为B.圆锥的外接球体积是C.圆锥的内切球半径为D.若，E为线段上的动点，则的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______．13.如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点，，，，中随机选择两个点，其中至少有一个“好点”的概率为________.14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，复数，，在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点．（1）求的取值范围；（2）当A、B、C三点共线时，求实数a的值．16.网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人.（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率.17.在中，，若，，（1）求的大小；（2）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积．18.为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立．（1）若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为：①求，的值；②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率；（2）若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值．19.如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面．（1）当，分别是边，的中点时；①求证：平面平面②求二面角的正切值（2）若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值；

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.为了解两名同学数学成绩的变化情况，下列的统计图使用最方便的是（）A.频率分布直方图 B.条形图 C.折线图 D.扇形图答案：C解析：解答过程：折线图更易于显示数据的变化趋势．2.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用投影向量公式求解即可.解答过程：由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下，为，故C正确.故选：C3.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B.或 C.60° D.或答案：A解析：解答过程：，，，，，，，或，，不符合题意，，故选项为A.4.古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：如图，连接，正方形ABCD的边长为，，，解得，圆的面积为．5.若（为虚数单位），则的值可能是A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：把代入验证即得．6.若M为所在平面内一点，且满足，则为（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案：A解析：思路：根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论.解答过程：由，得所以，即，两边平方并化简得，则，即，故，所以是直角三角形.故选：A7.在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（）A.4 B.1 C.6 D.－6答案：C解析：解答过程：由，得.因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得，所以，解得.故的值为.8.某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下：年级样本量样本平均数样本方差高一100167120高二100170150高三100173150则总的样本方差等于（）A.140 B.142 C.144 D.146答案：D解析：解答过程：由题意，总的样本平均数为，所以总的样本方差为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的序号有（）A.频率分布直方图中的值为0.005B.估计这200名学生成绩的第60百分位数为80C.估计总体中成绩落在内的学生人数为150D.估计这200名学生成绩的众数为78答案：ABC解析：思路：先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断.解答过程：对于A：因为，可得，故A正确；对于B：前三组的频率和为，所以这200名学生成绩的第60百分位数为80，故B正确；对于C：总体中成绩落在内的学生人数为，故C正确．对于D：因为的频率最大，所以这200名学生成绩的众数为75，故D错误；10.设为两个随机事件，且，下列说法正确的有（）A.若，则 B.若互斥，则C.若，则独立 D.若，则独立答案：BCD解析：解答过程：对于A，若，则，故A错误；对于B，若互斥，即事件与事件不会同时发生，则，故B正确；对于C，若，则，所以独立，故C正确；对于D，若，则由，得所以，又因为，所以，故事件与事件独立，从而也独立，故D正确．11.如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的表面积为B.圆锥的外接球体积是C.圆锥的内切球半径为D.若，E为线段上的动点，则的最小值为答案：ABD解析：思路：A求出底面积和侧面积相加即可；B求出外接球半径即可；C根据体积公式可得；D展开共线时最短；解答过程：根据题意可得底面半径和母线的长分别为，所以侧面积为，底面积为，所以圆锥的表面积为，故A对；设外接球的半径为，球心到圆锥底面的距离为。由于圆锥的高，底面半径，所以，代入得，所以，故B正确；圆锥的体积，，，故C错误；由，E为线段上的动点，得，又，所以为等边三角形，则，将以为轴旋转到与共面，得到，所以为等边三角形，则，则,因为,,则，故D正确三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______．答案：10解析：解答过程：已知数据，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数6和的平均数，即中位数为．极差是最大值12减去最小值4，即极差为．因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以．可得．此时这组数据为4，5，6，10，10，12．计算6与75%的乘积为4.5，所以从小到大，上四分位数是第5个数，即10．13.如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点，，，，中随机选择两个点，其中至少有一个“好点”的概率为________.答案：##0.7解析：思路：先判断出这五个点中“好点”的个数，再用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.解答过程：设此指数函数为，显然不过点，，若设对数函数为，显然不过点，当点为“好点”时，，得；当点为“好点”时，，得，所以“好点”有两个，分别为，，从五个点中选择两个点的样本空间为，共10个样本点，记“其中至少有一个好点”，则，共7个样本点，故所求概率为.故答案为：.14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.答案：解析：思路：由余弦定理结合面积公式化简得，利用辅助角公式求出，由正弦定理得，根据正切函数的性质求得，，最后利用对勾函数的单调性求解即可.解答过程：在锐角，由余弦定理可知，由面积公式可得，代入到已知条件可得，因为，化简可得，所以，根据恒等变换可得，因为锐角，所以，则，所以可得，即，所以，则，因为锐角，所以，，则，又在单调递增，则，令，所以，所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增，当时，取到最小值，当或时，最大值，则.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，复数，，在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点．（1）求的取值范围；（2）当A、B、C三点共线时，求实数a的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用复数相加求出，利用复数模长公式转化为代数式，结合基本不等式求最小值，进而求出模长范围；（2）求出复数对应复平面内点坐标，利用三点共线得出斜率相等构造方程，解方程求实数a的值．（1），，当且仅当时取等号，故的取值范围为．（2）由题意知，，当A、B、C三点共线时，直线斜率相等，，，则，，则，解得．16.网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人.（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）用容斥原理求出样本中移动支付和共享单车两种都没使用的人数，从而利用频率估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）利用列举法结合古典概型概率公式计算概率即可.（1）样本中使用过移动支付的人组成集合，使用共享单车的人组成集合，表示集合中的元素，由题意，，，所以，所以样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为，从而估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为；（2）由（1）知样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生有人，记为A，B，C，D，E，其中有3人坐过高铁的学生记为A，B，C.则从5人中抽取2人的所有抽取情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，其中2名学生都坐过高铁的有AB，AC，BC，共3种，故所求概率为.所以这2名学生都坐过高铁的概率为.17.在中，，若，，（1）求的大小；（2）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先处理向量关系，因为，所以可将用、线性表示，再结合的条件，展开数量积运算可得到的值，进而用向量数量积定义求；（2）第一问求出后，用余弦定理计算的长度，再用正弦定理求外接圆的半径，因为直三棱柱外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点，所以外接球半径、底面外接圆半径、棱柱高满足，代入已知外接球半径可求出，最后用柱体体积公式计算体积.（1）因为，所以．，解得，又，所以；（2）在中，由余弦定理，得到，解得，所以外接圆的直径为，解得，设直三棱柱的高为，其外接球的半径为，则，即，解得，又的面积为，所以直三棱柱的体积为18.为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立．（1）若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为：①求，的值；②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率；（2）若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值．答案：（1）①，；②（2）解析：思路：（1）①根据独立事件的乘法公式计算求解；②根据独立事件的乘法公式和概率加法公式计算求解；（2）根据独立事件的乘法公式结合基本不等式计算可解.（1）①由题意可得，解得或，