河南省重点高中2025~2026学年高一上册检测数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.下列各选项正确的是（）A. B. C. D.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.设集合，则（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B.C. D.7.已知集合，且，则的非空子集的个数为（）A.7 B.8 C.15 D.168.已知表示中的最大者，若，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有（）A.若集合中只有一个元素，则B.已知，则“”是“”的必要不充分条件C.“是方程的一个实数根”的充要条件是“”D.“”是假命题10.已知，则下列命题错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.已知集合，则下列说法正确的是（）A.所有的奇数都是中的元素B.所有的偶数都是中的元素C.如果，那么D.如果，那么三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式的解集为___________.13.若，则的最小值为___________.14.设集合，则中元素的个数为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，．（1）求；（2）求，．16.已知集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.17.设是关于的方程的两个实数根.（1）若，求；（2）若，求的值；（3）若是两个不相等的正数，求实数的取值范围.18.已知正数满足.（1）求证：；（2）求的最小值；（3）求的最小值.19.假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.（1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式；（2）证明你提炼出的不等式；（3）求证：且.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由交集运算即可求解.解答过程：，所以，故选：D2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：根据题意，命题“”为存在量词命题，其否定为：．3.下列各选项正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据集合的定义和空集的定义逐项判断.解答过程：对于A，空集不含任何元素，故，故A错误；对于B，空集不含任何元素，而集合含有一个元素0，二者不相等，故B错误；对于C，空集是任何集合的子集，故C正确；对于D，0是一个元素，而是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误.故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先证明由“”可推出“”，再举例说明由“”不能推出“”，根据充分条件和必要条件的定义判断结论即可.解答过程：由“”可推出“”，又，所以由“”可推出“”，取，，此时，但，所以由“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5.设集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出集合，再利用补集和交集的运算求解.解答过程：因为，所以或，又因为，所以．故选：B.6.已知，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由不等式的基本性质以及取特殊值排除错误选项，即可得答案.解答过程：由，得到，又因为，所以，故C正确；当时，，故AD错误；，故B错误.故选：C7.已知集合，且，则的非空子集的个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16答案：C解析：思路：求出集合A的元素，可得到集合A的非空子集的个数.解答过程：因为，且，所以当时,；当时,；当时,；当时,.所以集合，且.所以集合A的非空子集有：,共15个.故选：C.8.已知表示中的最大者，若，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：思路：设，由最值性质建立的不等式，求出的范围，得到最小值.解答过程：设，则.因为，所以.所以，所以，所以，解得，所以的最小值为，即的最小值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有（）A.若集合中只有一个元素，则B.已知，则“”是“”的必要不充分条件C.“是方程的一个实数根”的充要条件是“”D.“”是假命题答案：BCD解析：思路：根据方程只有一个解，按照和分类讨论求解判断A；根据必要不充分判定可判断B；结合充要条件的概念将1代入方程求解判断C；举反例即可判断全称量词命题的真假判断D.解答过程：对于A，由题意得方程只有一个解，显然当时，有唯一解，当时，，解得，综上或，错误；对于B，中，，中，所以可以推出，但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，正确；对于C，当即时，是方程的一个实数根，当方程有一个根为1时，代入得即，故“是方程的一个实数根”的充要条件是“”，正确；对于D，当时，，故“”是假命题，正确；故选：BCD10.已知，则下列命题错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：ABD解析：思路：当时可判断A选项；当时可判断B选项；C选项利用不等式的性质即可判断；当时可判断D选项.解答过程：对于A选项，若，，则，故A错误；对于B选项，若，则当时，，故B错误；对于C选项，若，则，两边同时乘以得，故C正确；对于D选项，当时，满足，此时，故D错误.故选：ABD.11.已知集合，则下列说法正确的是（）A.所有的奇数都是中的元素B.所有的偶数都是中的元素C.如果，那么D.如果，那么答案：AC解析：思路：根据集合中元素的性质，结合代数式的变形，运算可判断AC，根据特殊值可判断BD.解答过程：设奇数为，则可变形为，其中，满足集合中元素的形式，所以所有奇数都是中的元素，故A正确；取偶数，若，则，所以或或或，解得或或或，不满足，故，故B错误；因为，所以设，则，其中，所以，故C正确；取，由A选项知，此时，由B知，故D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式的解集为___________.答案：解析：思路：直接解分式不等式即可.解答过程：由可得，即，解得.故答案为：13.若，则的最小值为___________.答案：##0.75解析：思路：由题可得，然后由基本不等式可得答案.解答过程：，当且仅当，即时取等号.故答案为：14.设集合，则中元素的个数为___________.答案：81解析：思路：由集合描述法转换成列举法，再由交集运算即可求解.解答过程：,，所以，又，所以中元素的个数为，故答案为：81四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，．（1）求；（2）求，．答案：（1）（2），或.解析：思路：（1）解不等式得集合A和B，再由交集的定义求；（2）根据集合的补集交集和并集的运算，直接求解即可；（1），，所以．（2）因为，,所以，又，所以．由（1）知，所以或.16.已知集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）若“”是“”的必要条件等价于是的子集，即可求出实数的取值范围.（2）根据交集的运算性质运算即可得出答案；（1）因为“”是“”的必要条件，所以是的子集，因为，所以解得，即的取值范围是.（2）因为，所以.若，则，可得；若，要使，则该不等式组无解.综上，的取值范围是.17.设是关于的方程的两个实数根.（1）若，求；（2）若，求的值；（3）若是两个不相等的正数，求实数的取值范围.答案：（1）（写也对）（2）或（3）或解析：思路：（1）将代入已知方程，利用分解因式法求方程的根；（2）由已知可得已知方程的判别式大于等于，由此可得，结合根与系数关系化简，解方程可得结论；（3）由条件可得，，，结合根与系数关系可得结论，（1）若，则方程为，即，故.（写也对）（2）由，可得.因为，所以，整理得，且，解得或，经检验符合题意.（3）因为是两个不相等的正数，所以，解得，所以或，即的取值范围是或18.已知正数满足.（1）求证：；（2）求的最小值；（3）求的最小值.答案：（1）证明见解析（2）24（3）50解析：思路：（1）根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可；（2）由可得，利用分式的性质变形结合基本不等式求解最值即可；（3）由，可得，又，从而将所求最值转化为即可得最值.（1）因为正数满足，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以；（2）由可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为24；（3）因为，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，则的最小值为50.19.假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.（1）根