河南省驻马店市泌阳县第二高级中学2025~2026学年高二上册开学考试数学试卷【附解析】

数学本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B. C. D.2.复数（）.A. B. C. D.3.如图，是平行四边形的边上一点，且为的中点，则（）A. B.C. D.4.（）A B. C. D.5.经过点，且倾斜角是的直线的方程是（）A. B.C. D.6.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B. C. D.7.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（）A. B. C. D.8.已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（）A. B.C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.B.C.D.若且，则10.如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（）A.圆锥母线与底面所成的角为B.圆锥的侧面积为C.挖去圆柱的体积为D.剩下几何体表面积为11.对于直线，有以下说法，其中错误的有（）A.倾斜角为 B.在x轴上的截距为4C.原点到直线l的距离为2 D.直线l的一个方向向量为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12已知，若则______13.已知正三棱柱的棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________.14.在中，若，则最小值为________．四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，点在角的终边上.（1）求值：（2）求的值.16.已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．（Ⅰ）求直线的方程．（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．17.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．（1）求A；（2）若，的面积为，求a．18.如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是BC，，的中点.（1）证明:.（2）求异面直线MN与所成角的余弦值.（3）求三棱锥的体积.19.设直线的方程为．（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；（2）若不经过第二象限，求实数a的取值范围．

数学本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.解答过程：对于函数，令，解得，所以函数的定义域为.故选：A2.复数（）.A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用复数的除法运算化简即可求解.解答过程：，故选：C3.如图，是平行四边形的边上一点，且为的中点，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用平面向量三角形法则,用向量分别表示，然后即可得解.解答过程：因为所以易知,，又为的中点，所以，所以,，因此故选：A4.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用诱导公式可求代数式的值.解答过程：原式，故选：A.5.经过点，且倾斜角是的直线的方程是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用倾斜角先求斜率，根据直线的点斜式方程即可求解.解答过程：因为直线的倾斜角是，所以斜率，又经过点，所以直线的方程是.故选：B.6.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：函数的周期为，将函数的图象向右平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为，故选D.7.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据直接求解.解答过程：方法一、设矩形与相交于点，则原图形如下，，则，所以.方法二、由，所以.故选：C.8.已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得.解答过程：因为，所以，设直线的方程为且.因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离.由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）.所以直线的方程为.故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.B.C.D.若且，则答案：ABD解析：思路：根据指数幂的运算可判断AB的正误，根据对数的运算性质可判断C的正误，根据指对数的转化可判断D的正误.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，，故，故D正确；故选：ABD.10.如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（）A.圆锥母线与底面所成的角为B.圆锥的侧面积为C.挖去圆柱的体积为D.剩下几何体的表面积为答案：ACD解析：思路：根据题意，利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后即可逐项求解.解答过程：因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长，则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确；圆锥的侧面积，故B错误；因为为三等分点，所以，则圆柱的体积为，故C正确；圆柱的侧面积，剩下几何体的表面积，故D正确；故选：ACD.11.对于直线，有以下说法，其中错误的有（）A.倾斜角为 B.在x轴上的截距为4C.原点到直线l的距离为2 D.直线l的一个方向向量为答案：ABD解析：思路：A.根据直线求得斜率即可；B.根据直线，令求解判断；C.根据直线，利用点到直线的距离求解判断；D.根据直线，求得斜率判断；解答过程：A.因为直线，所以，因为倾斜角的范围是，所以倾斜角为，故错误；B.因为直线，令，得，所以在x轴上的截距为-4，故错误；C.因为直线，所以原点到直线l的距离为，故正确；D.因为直线，所以，则直线l的一个方向向量为，故错误.故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若则______答案：解析：思路：由平方关系及角的范围得，进而求.解答过程：由，而，则，所以.故答案为：13.已知正三棱柱的棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________.答案：解析：思路：根据题意结合正三棱柱的性质和球的性质即可求解.解答过程：设的中点为，易知，又因为面面，且为面与面的交线，所以面，所以题中所求交线即为以为圆心，为半径的一段圆弧．设该圆弧与，交点分别为，，球与侧面的交线如图所示，则，易知，所以该圆弧所对的圆心角为，故所求弧长为，故答案为：.14.在中，若，则的最小值为________．答案：解析：思路：先化简已知式可得，代入余弦定理，由基本等不等式即可得出答案.解答过程：由可得：，所以，设中，角对应的边为，所以，所以，所以，当且仅当时取等，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，点在角的终边上.（1）求的值：（2）求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由三角函数定义可求得的值；（2）利用弦化切可得出所求代数式的值.（1）由于点在角的终边上，所以，（2）.16.已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．（Ⅰ）求直线的方程．（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．答案：（1）（2）1解析：解答过程：（），解得，则点的坐标为．由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直，可设所求直线方程为．将点坐标代入得，解得．故所求直线的方程为．（）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积．17.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．（1）求A；（2）若，的面积为，求a．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理、三角恒等变换即可求解；（2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解.（1）因为，所以，即，即，因为，所以，所以，即，即，因为，所以，所以，解得；（2）由题意，解得，所以由余弦定理有，解得.18.如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是BC，，的中点.（1）证明:.（2）求异面直线MN与所成角的余弦值.（3）求三棱锥的体积.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）作出辅助线，得到四边形是平行四边形，，同理，，又平面，故，所以；（2）由平行关系得到为异面直线与所成角（或其补角），求出各边长，利用余弦定理得到异面直线夹角余弦值为；（3）等体积法求出三棱锥的体积.（1）取中点，连接，，为的中点，且，为的中点，，且.，且，四边形是平行四边形，，同理可证四边形为平行四边形，故，，又平面，平面，∴，所以；（2）由（1）得，为异面直线与所成角（或其补角），在正方形中，，为中点，故，，又，故，，，异面直线与所成角的余弦值为；（3），在正四棱柱中，平面，.19.设直线的方程为．（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；（2）若不经过第二象限，求实数a的取值范围．答案：（1）或；