黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学考试时间：120分钟卷面分值：150分第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.53.已知，，，若，则等于（）A.6 B.5 C.4 D.34.在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（）A. B. C. D.5.设为两条直线，为两个平面，若，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6.如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（）A.是必然事件 B.是必然事件C.与一定互斥 D.与不可能互斥7.在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（

）A. B. C. D.8.在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则（）A. B.C. D.在复平面内对应的点在第四象限10.某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（）A.样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004B.如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策C.样本的中位数为520D.若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为46011.已知，则（

）A.若，则B.若，则C.的最小值为D.向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.___________.（为虚数单位）13.如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为______．14.如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围．（1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第三象限．16.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）；（3）估计这次考试的众数、平均分．17.2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；（2）求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.18.已知在中，，，．（1）求；（2）若为边上一点且，求的面积．19.已知四棱锥中，⊥平面，底面是平行四边形，且，，，，E为中点，F为中点．（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离．

数学考试时间：120分钟卷面分值：150分第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数代数形式的除法运算化简即可.解答过程：因为，所以.故选：A2.已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5答案：D解析：思路：根据百分位数的计算方法求解.解答过程：因为有8个数，且，所以分位数是第三个数5．故选：D3.已知，，，若，则等于（）A.6 B.5 C.4 D.3答案：C解析：思路：运用向量的坐标运算法则进行求解.解答过程：由题意可得，，所以，，所以，解得故选：C.4.在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用古典概型概率计算公式进行计算即可.解答过程：双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有9种不同的组合，其中只有双方都选白色或都选黑色时不符合要求，故不符合要求的概率为，符合要求的概率为．故选:D.5.设为两条直线，为两个平面，若，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：C解析：思路：根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.解答过程：对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A不正确；对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B不正确；对于C中，若且，如图所示，取点，过点，作，则，设，可得，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为与所成角的平面角，由，可得，即，所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确；对于D中，若且，则与平行、相交或异面，所以D不正确.故选：C.6.如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（）A.是必然事件 B.是必然事件C.与一定互斥 D.与不可能互斥答案：B解析：思路：用图示法，集合表示事件，集合表示事件，选项A，由图知不是全集，可判断选项A错误，选项B，由图知，即可判断出选项B的正误，因为可能为空集，也可能不为空集，即可判断出选项C和D的正误.解答过程：如图所示，集合表示事件，集合表示事件，对于选项A，如图，因为不是全集，所以选项A错误，对于选项B，由图知，即是必然事件，所以选项B正确，对于选项C，由图知不一定是空集，即与可以同时发生，所以选项C错误，对于选项D，由图知，若，则与互斥，所以选项D错误，故选：B.7.在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到结果.解答过程：由余弦定理可得，，故.故选：A.8.在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求解作答.解答过程：在中，，，，则，设外接圆半径为，则，即，令外接圆圆心为，三棱锥外接球球心为，半径为，有平面，由平面，得，又，取中点，于是四边形为矩形，则球心到平面的距离，因此，所以三棱锥外接球的表面积.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则（）A. B.C. D.在复平面内对应的点在第四象限答案：ABC解析：思路：根据复数的基本概念，复数的模，以及复数的乘法运算和复数的几何意义，逐项判定，即可求解.解答过程：由复数，则，所以A正确；由，所以B正确；由，所以C正确；由在复平面内对应的点为位于第二象限，所以D错误.故选：ABC.10.某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（）A.样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004B.如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策C.样本的中位数为520D.若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460答案：BD解析：思路：根据频率分布直方图的有关概念计算可得结果.解答过程：由，得，故样本数据落在区间内的频率为，A错误；样本数据低于600的频率为，B正确；对应的频率为，对应的频率为，所以中位数在内，故中位数为，C错误；若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为，D正确．故选：BD11.已知，则（

）A.若，则B.若，则C.的最小值为D.向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为答案：ABC解析：思路：根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D.解答过程：对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，故B正确；对于C，，则，当时，，故C正确；对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，由得，所以的取值范围为，故D错误.故选：ABC.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.___________.（为虚数单位）答案：解析：思路：利用的周期性及复数的加减运算法则即可求解.解答过程：由题意，的周期为4，所以原式.故答案为：.13.如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为______．答案：##0.5解析：思路：根据独立事件和对立事件的概率公式计算即可求解.解答过程：由题意知，，则，所以线路为通路的概率为.故答案为：14.如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________．答案：##解析：思路：作出直线与平面所成的角，求出OD的长，解直角三角形即可求得答案.解答过程：连接，因为是圆锥的高，故平面，平面，故，又点C是底面直径所对弧的中点，则，平面，故平面，则即为直线与平面所成的角，因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，故，，则,故,在中，,即直线与平面所成的角的正切值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围．（1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第三象限．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；（2）根据复数对应的点在复平面的特征进行求解即可.（1）因为是纯虚数，所以；（2）因为对应的点在复平面的第三象限，所以，因此实数m的取值范围为.16.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）；（3）估计这次考试的众数、平均分．答案：（1）（2）73（3）众数是75，平均分71解析：思路：（1）根据频率和等于1，即可求解；（2）根据中位数平分直方图的面积，列出方程求解即可；（3）根据众数的定义及平均数的计算公式求解即可.（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：直方图如图所示．（2）成绩在的频率为成绩在的频率为：，中位数在内.设中位数为，中位数要平分直方图的面积，解得即中位数为.（3）频率最大的是组，则众数是；利用组中值估算抽样学生的平均分为：估计这次考试的平均分是分．17.2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；（2）求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.答案：（1）将2位男教师记为，3位女教师记为，则样本空间，共10个样本点.（2）解析：思路：（1）写出所有可能发生的情况即可；（2）写出所有满足题意的情况数，根据古典概型即可计算概率.（1）略（2）设事件表示“选出的2名教师中至多有1名男教师”,则，中包含9个样本点,所以.18.已知在中，，，．（1）求；（2）若为边上一点且，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理求得，然后依次求得和.（2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得的面积.（1）由，得，由余弦定理得，所以，则为锐角，且.（2）由于，所以为锐角，且，所以，在三角形中，由正弦定理得，所以.19.已知四棱锥中，⊥