黑龙江省六校联考2025~2026学年高二下册7月期末数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（）A. B. C. D.2.曲线在处的切线斜率为（）A. B. C. D.3.已知随机事件，，，，则（）A. B. C. D.4.已知离散型随机变量的分布规律为，则（）A. B. C. D.5.子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（）A.40种 B.120种 C.200种 D.240种6.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（）A. B. C. D.7.已知函数，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.某智算中心由A，B两个各自独立的运算系统组成，任务随机分配给A，B的机会相等，A系统第一次运算成功的概率为0.9，B系统第一次运算成功的概率为0.8，若第一次运算失败，A系统会自动切换到B系统重新运算，B系统会自动切换到A系统重新运算，切换后A，B两个系统第二次运算成功的概率均为，每一个任务最多经过两次运算，若任务最终运算成功的概率为0.97，则下列说法正确的是（）A.B.任务分配给A系统且最终运算失败的概率为0.02C.第一次运算失败，第二次运算成功的概率为0.12D.最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为0.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（）X01234P0.10.4x0.20.2A. B.C.， D.，10.将含甲、乙的6名男性志愿者和含丙、丁的3名女性志愿者平均分配到A，B，C三个不同社区进行志愿者服务，则下列说法正确的是（）A.甲、乙被分配到不同社区的方法有1260种B.恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有2160种C.甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有1140种D.A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的图象是中心对称图形B.若有2个极值点，则C.在上不单调的充要条件为D.当时，过点作曲线的切线有且仅有2条三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.分别对三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为，则三组相关性的强弱从弱到强排序依次为_______________．13.设随机变量，若，且，则________.14.在的展开式中，含的项的系数为______________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表：机床类型产品质量合计良品次品新型国产机床17575250原有进口机床150100250合计325175500（1）以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率；（2）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.82816.已知，．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．17.某新材料实验室研发一种高强度碳纤维复合材料．研发人员发现，复合材料的拉伸强度y（单位：GPa）与生产过程中添加的固化剂比例x（单位：%）具有相关性，为确定最佳配方，研究人员进行了5次平行试验，数据如下表：试验编号12345固化剂比例246810拉伸强度11.52.54.55.5（1）求关于的经验回归方程；（2）求决定系数，并依据决定系数判断该线性回归模型的拟合效果是否较好；（3）根据（1）中求得的经验回归方程，若要求复合材料的拉伸强度不低于，求添加固化剂比例的最小值．参考公式：经验回归方程为，其中：，，．18.某芯片研发机构的研究人员对新研发的10片芯片进行人工质检，发现有3片次品，其余为正品．现随机不放回抽检片，若为片中次品的个数．（1）求的分布列与期望；（2）证明：；（3）该机构引进一台高精度光谱分析仪，用于检测新研发芯片的缺陷．为检验该光谱分析仪检测性能的稳定性，规定：高精度光谱分析仪从经过人工质检的10片（其中3片次品）芯片中随机不放回抽检片，若检测出次品数量少于3片，则该光谱分析仪检测性能稳定．记为该高精度光谱分析仪检测性能稳定的概率，当时，证明：．19.已知函数有两个不同的零点，．（1）求实数的取值范围；（2）证明：；（3）证明：．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据两点分布的性质及概率分布的基本特征，列出方程，求解即可.解答过程：因为随机变量服从两点分布，所以，又，所以，解得，所以.2.曲线在处的切线斜率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据导数的几何意义求解即可.解答过程：

.，故曲线在处的切线斜率为0.3.已知随机事件，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：

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4.已知离散型随机变量的分布规律为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用离散型随机变量分布列的概率和为1的性质求出参数m，再计算X取1、2的概率之和即可.解答过程：.将（）代入得：

得，解得，事件等价于或，两事件互斥，因此

.5.子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（）A.40种 B.120种 C.200种 D.240种答案：D解析：思路：将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可.解答过程：先把字相同的卡片看成一组，第一步：从这5组中选出一组有种选法.第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种.第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种.所以不同的分配方案有种.6.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先计算单次摸球中奖的概率，再利用独立重复试验的概率公式求解即可.解答过程：单次摸球中奖的概率，由于每次摸球后放回，三次摸球为独立重复试验，所以摸球三次仅中奖两次的概率为：

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7.已知函数，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用导数研究可得函数在上单调递增，且，从而将问题转化为对于任意实数恒成立，结合二次函数的图像与性质即可求解.解答过程：当时，，则，所以在上单调递增，且当时，，则，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递增，且，所以不等式恒成立，即恒成立，由于在上单调递增，则，即对于任意实数恒成立，所以，解得：，则实数的取值范围是.8.某智算中心由A，B两个各自独立的运算系统组成，任务随机分配给A，B的机会相等，A系统第一次运算成功的概率为0.9，B系统第一次运算成功的概率为0.8，若第一次运算失败，A系统会自动切换到B系统重新运算，B系统会自动切换到A系统重新运算，切换后A，B两个系统第二次运算成功的概率均为，每一个任务最多经过两次运算，若任务最终运算成功的概率为0.97，则下列说法正确的是（）A.B.任务分配给A系统且最终运算失败的概率为0.02C.第一次运算失败，第二次运算成功的概率为0.12D.最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为0.6答案：C解析：解答过程：对于A：若任务第一次运算成功，概率为，若任务第一次运算失败，第二次运算成功，概率为，因为任务最终运算成功的概率为0.97，所以，故A错误；对于B：任务分配给A系统且最终运算失败的概率为，故B错误；对于C：第一次运算失败，第二次运算成功的概率为，故C正确；对于D：最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为，故D错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（）X01234P0.10.4x0.20.2A. B.C.， D.，答案：ABD解析：解答过程：因为，所以，A正确；，，B正确，C错误；，则，D正确.10.将含甲、乙的6名男性志愿者和含丙、丁的3名女性志愿者平均分配到A，B，C三个不同社区进行志愿者服务，则下列说法正确的是（）A.甲、乙被分配到不同社区的方法有1260种B.恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有2160种C.甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有1140种D.A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种答案：ACD解析：思路：根据分组分配问题及分步乘法，分类加法计数原理分别判断即可．解答过程：对于A，甲、乙被分配到不同社区的方法有种，故A正确；对于B，恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有种，故B错误；对于C，甲、丙、丁都不在同一社区的情况有种，所有情况有种，所以甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有种，故C正确；对于D，A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的情况如下，①A社区分配2名男性志愿者且丁在A社区的情况有种；②A社区分配2名男性志愿者且丁在B社区的情况有种；③A社区分配3名男性志愿者且丁在B社区的情况有种；所以A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种，故D正确．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的图象是中心对称图形B.若有2个极值点，则C.在上不单调的充要条件为D.当时，过点作曲线的切线有且仅有2条答案：AB解析：思路：对于A项，令，由函数为奇函数进行求解；对于B项，转化为有2个变号零点求解；对于C项，转化为在上有解求解；对于D项，设切点为，整理得，判断方程根的个数求解．解答过程：对于A项，令，则，得函数为奇函数，它关于点对称，而，则函数关于点对称，故的图象是中心对称图形，故A项正确；对于B项，，若有2个极值点，则有2个变号零点，即有2个变号零点，令，则函数为偶函数，下面先研究当时的情况，，当时，，当时，则，故，故函数在上单调递增，且，当时，，由函数为偶函数，得，故要使有2个变号零点，则，故B项正确；对于C项，在上不单调等价于在上有解，即在上有解，由B项可知，函数在上单调递增，，即在上的值域为，故在上不单调的充要条件为，故C项错误；对于D项，当时，，则，设切点为，则切线方程为：，将点代入上式，得，整理得，设，，令，得，则函数在上单调递增，且，则当时，，得，当时，，得，故函数在上单调递增，故函数在上至多有一个零点，故方程至多有一个实根，则过点作曲线的切线至多只有一条，故D项错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.分别对三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为，则三组相关性的强弱从弱到强排序依次为_______________．答案：解析：思路：根据线性相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关性越强的性质，比较三组相关系数的绝对值大小即可完成排序.解答过程：线性相关系数的绝对值用于衡量成对数据线性相关性的强弱，越接近，线性相关性越强，的正负仅表示正相关或负相关，不影响相关性强弱的判定.计算三组相关系数的绝对值：，，，可得大小关系为，因此、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为.13.设随机变量，若，且，则________.答案：0解析：解答过程：根据正态曲线的对称性可得，，故，所以，解得.14.在的展开式中，含的项的系数为______________答案：17解析：思路：根据二项式定理进行求解即可.解答过程：，二项式的通项公式为，因此含的项的系数为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表：机床类型产品质量合计良品次品新型国产机床17575250原有进口机床150100250合计325175500（1）以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率；（2）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.828答案：（1）（2）认为产品的质量与使用机床的类型有关解析：思路：（1）用次品除以总数，即可求出次品率；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.（1）样品中，新型国产机床的次品频率为，利用样本估计总体，得新型国产机床的次品率约为．（2）零假设为：产品的质量与使用机床的类型无关．由列联表可得，，依据的独立性检验，推断不成立，即认为产品的质量与使用机床的类型有关．16.已知，．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）的单调递减区间是，单调递增区间是（2）解析：思路：（1）对函数求导得，利用导函数的正负判断函数的单调区间；（2）根据题意求出，再结合定义域分离参数可得，令，对求导，得到的单调性，再求出的最大值,从而得到的取值范围.（1）∵函数的定义域是，．令，得，解得，的单调递减区间是．令，得，解得，的单调递增区间是．综上，的单调递减区间是，单调递增区间是．（2），恒成立，恒成立．，在上恒成立．设，则．令，得，（舍去）．当时，，单调递增；当时，，单调递减．∴当时，取得极大值，也是最大值，且，若在上恒成立，则，故实数的取值范围是．17.某新材料实验室研发一种高强度碳纤维复合材料．研发人员发现，复合材料的拉伸强度y（单位：GPa）与生产过程中添加的固化剂比例x（单位：%）具有相关性，为确定最佳配方，研究人员进行了5次平行试验，数据如下表：试验编号12345固化剂比例246810拉伸强度11.52.54.55.5（1）求关于的经验回归方程；（2）求决定系数，并依据决定系数判断该线性回归模型的拟合效果是否较好；（3）根据（1）中求得的经验回归方程，若要求复合材料的拉伸强度不低于，求添加固化剂比例的最小值．参考公式：经验回归方程为，其中：，，．答案：（1）（2），拟合效果较好（3）解析：思路：（1）求出，结合公式求出，继而即可求解；（2）结合公式求出决定系数，由越接近1，模型拟合效果越好可判断；（3）结合（1）的结论得，解不等式即可求解.（1），，，，，所以.（2），，，，，所以，，，决定系数越接近1，模型拟合效果越好，因此该线性回归模型的拟合效果较好.（3），解得，所以添加固化剂比例的最小值为.18.某芯片研发机构的研究人员对新研发的10片芯片进行人工质检，发现有3片次品，其余为正品．现随机不放回抽检片，若为片中次品的个数．（1）求的分布列与期望；（2）证明：；（3）该机构引进一台高精度光谱分析仪，用于检测新研发芯片的缺陷．为检验该光谱分析仪检测性能的稳定性，规定：高精度光谱分析仪从经过人工质检的10片（其中3片次品）芯片中随机不放回抽检片，若检测出次品数量少于3片，则该光谱分析仪检测性能稳定．记为该高精度光谱分析仪检测性能稳定的概率，当时，证明：．答案：（1）分布列：0123.（2）总体，次品总数