七升八数学暑假预习-三角形全等的判定

第08讲三角形全等的判定（学生版）

知识归纳

―：三边分别相等的两个三角形全等（简写成"SSS"）：

基

边角边

本|_F碉而日布的跖豆就於瞬而相褫忍辱7曲藐"刀式5二〉

事-r越而自布的翅湎布藤前而不三菌修基*7而藐-记m）~~~]

实

角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成"AAS"）.

斜边、直角边，融而二渠直备函旃布富向而阳於山■参一（西官加哈F）二

三角形全等的判定

已知条件寻找的条件选择的判定方法iT2

两角夹边或其中一组等角的对边ASA或AAS

•角及其对边任一角AAS

解题思路角的另一邻边或边的另-

一角及其邻边SAS或ASA或AAS

邻角或边的对角

两边夹角或另一边或宜角SAS或SSS或HI.

【知识点1判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】

1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

2.数学语言表达：如图所示，AB=AE,AC=A'C,BC=B'C,则ZUBCgZVT夕U

【知识点2判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】

1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

,,

2.数学语言表达：如上图所示，AB=ABf/B=NBlBC=BC,则ZV/BCgZUSC：

【知识点3判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】

1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

2.数学语言表达：如上图所示，BC=BC,NC=NC,则ZU8CW4*U

【知识点4判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】

1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.

2.数学语言表达：如上图所示，=NB=NBlBC=BC,则//BCZZVTBC.

【知识点5直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】

1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“旦L”）.

2.数学语言表达：如图所示，AB=AB,BC=B'C,则乌ZUBU

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第08讲三角形全等的判定(学生版)

举一反三

【题型1利用SSS证明三角形全等】

【例1】如图，E是4C上一点，BC=CE,BC+AE=DE,AB=CD.求证：△ABCdDCE.

【变式1・1］如图，已知4E,F,C在同一条直线上，AB=CD,BF=DE,AE=CF.

【变式1・2】如图，在四边形48CD中，LB=LD=90。，点£,厂分别在48,40上，AE=AF,CE=CF,

判断CB与CO的数量关系并加以说明.

A

【变式1・3】如图，在线段BC上有两点在线段BC的异侧有两点40,且满足4B=DC.AE=DF,

CE=BF,连接4工

⑴求证：AABE会4DCF；

(2)若乙B=40。,(DFC=20。,4尸平分4B4E时\求44bB的度数.

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第08讲三角形全等的判定(学生版)

【题型2利用SAS证明三角形全等】

【例2】如图，在△ABC和△OEC中，AC=DC,BC=EC,延长BC,EO相交于点凡

且乙=求证：乙A+乙CDF=180°.

【变式2・1】如图，AB=ACfAD=AEf^BAC=^DAEf4/=25°,42=30°,连接8E,点。恰好

在BE上,求乙3的度数.

【变式2・2】如图，已知在RtZMBC中,"B4=90°,AB=BC,在Rt△DBE中/OBE=90。，DB=EB,

连接DC,AEt延长AE交。C于点?试说明：△AEB三△CDB.

【变式2・3】如图，在△4BC中，BE1AC,CF1AB,垂足分别为E、F,点P在CF的延长线上，点

。在线段BE,且CP=AB,BD=AC,连接AP、AD.

(1)求证：△4BOwZkPC4；

⑵求”的度数.

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第08讲三角形全等的判定（学生版）

【题型3利用ASA证明三角形全等】

【例3】如图，点。是△ABC的边AC延长线上一点，月.DC=AC,过。作DEIICB,5.DE=DC,

连接AE交8C于点尸，若乙CAB=4CFA,求证：△4BC三△E40.

【变式3・1］如图，已知4C=CD,乙1=乙2=乙3,求证：△4BC三△OEC.

【变式3-2］如图，在四边形ABCD中，AB||CD,连接力C,点E在AC上，AE=CDf连接BE,zD+

^BEC=180°.求证：BE=AD.

【变式3・3】如图，已在△ABC与△40E中，AB=AC,匕BAC=4DAE,

AD=AE.

【题型4利用AAS证明三角形全等】

【例4】如图，在四边形4BCD中，BC=CD,CE=CF,^BAF=^DAE,乙8=NO.求证：AE=AF.

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第08讲三角形全等的判定(学生版)

【变式4・1】如图，点A,B在射线C4CB上，C4=C£点E,F在射线C。上，NBEC=/CFA,

NBEC+NBC4=180°.

心D

E\

CA

(1)求证：△BCE々ACAF.

⑵试判断线段EF,BE,AF的数量关系，并说明理由.

【变式4-2】如图，N4CB=90。，AC=BC.AD1CE,BEICE,垂足分别为。，E,4。=2.4cm,

DE=7.6cm.求BE的长.

CA

【变式4・3】如图，在四边形4BCD中，乙BAD=LCBF=90°,CEtBD,垂足为E,CE的延长线

交于点入BD=CF.

(1)请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由；

(2)连接AC,交BD于点P,若乙CPD=H5。,求B的度数.

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第08讲三角形全等的判定（学生版）

【题型5利用HL证明三角形全等】

【例5】如图，已知力尸在线段DC上,DE与//交于点。，且AB=CD,BE=CF,

求证：尸三RtZ\OCE.

【变式5・1】如图，/W=AC,D、E分别是HC、AS上的点，M、N分别是CZ?、3。上的点，若?IMJLCE、

AN1BDfAM=AN,求证：Rt△ABN三Rt△ACM.

【变式5・2】如图，在△ABC中，AC=BC,直线/经过顶点C,过力，B两点分别作/的垂线4E,BF,

E,广为垂足，且4E=CF；

求证：(1)4E4C="CB

(2)AC1BC.

【变式5・3】如图，在RtaABC中，乙4c8=90。，CA=CB,。是4c上一点，上在BC的延长线上，

且4E=B0,BO的延长线与4E交于点E试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与4E有何特殊

的位置关系，并证明你的猜想.

E

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第08讲三角形全等的判定（学生版）

【题型6添加条件使三角形全等】

【例6】如图，在△ABC中，O、E两点分别在边上，5.CE=AD,现增加一个条件，使得△A8E三

△CB。一定成立，则该条件可以是下列中的.

①BD=BE；®/,BAC=®LBAE=/.BCD；®AELCD.

【变式6・1】如图，乙I=乙2,AC=AD.给出下列条件：@AB=AE；②BC=ED,③NB=4E,

④”=4O.从这四个条件中再选一个使△ABC三△AED,符合条件的有（填符号）.

【变式6・2】如图，在△ABC和△BAO中，48为公共边，且ZC==90。，O为AD、8c的交点.要

证明△A。。BOD,需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①OC=OD；②乙4BC=Z.BAD；

③4CAB="B4®AD=BC,能作为添加条件的是.（填写序号）

【变式6・3】如图，48=AC,0,E分别为4C,48上的点，8。与CE交于点。，连接04.要aABDACE,

还须添加一个条件，如添加40=4E,可运用SAS,证得△/B0三△ACE.请写出添加的其它一个

条件，仍能证得△4BD三△7!（：£：.（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能）

【题型7两次证明全等】

【例7】如图所示，已知=4C/8=4C,8。=交CD于点。，连接40.试说明：484。=4/40.

A

A

BC

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第08讲三角形全等的判定（学生版）

【变式7・1】如图，在五边形ABCTE中，（E=（F=90。，AB=BC,AE=CFf点。是E/上一点,

连接40、CD,有ZB4D=乙BCD=90。，求证：ED=FD.

【变式7-2］如图，BE1AC于E,CF148于F,CF、BE相交于点D,且80=CD.求证：AB=AC.

【变式7・3】如图，在Rta/BC中，Z,ACB=90%CO_L48于点Q,AB=FF,且=CE,过C

作CH||AB.

(1)求证：乙ACH=KBCD；

(2)求证：CD=CH.

【题型8全等三角形的实际应用】

【例8】如图，为了测量水池两边片,8间的距离，可以先过点力作射线4E,再过点B作BOLAE

于点Q,在40延长线上截取DC=40,连接BC,则BC的长就是4,8间的距离，以此来判断三

△CBO的理由是（）

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第08讲三角形全等的判定（学生版）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【变式8・1】要测量48间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案：

方案I：①如图1,选定点。；②连接4。，并延长到点C,使0。=。4,连接图1：BO,并延长到

点O,使。0=08；③连接DC,测量OC的长度即可.

方案II：①如图2,选定点O；②连接40,B0,并分别延长到点凡E,使0F=0B,0E=0A：

③连接EE,测量E尸的长度即可.

对于方案I、II,下列说法正确的是（）

A.I可行、II不可行B.I不可行、II可行C.I、II都不可行D.I、II都可行

【变式8・2】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4）,你认为

将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第一块去，这利用了三

角形全等中的—原理.

【变式8・3】小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置力处，0A与地面垂

直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面/.2m高的。处接住他后用力一推，爸爸在8处接住他,

若妈妈与爸爸到。4的水平距离CO、8E分别为/.4m和2m,乙B0C=90°.

（l）Z\0BE与△C00全等吗？请说明理由;

⑵爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？

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第08讲三角形全等的判定（学生版）

能力提升

1.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）

A.AB=5,BC=4,AC=1B.=4俨，乙B=50。,乙C=90。

C.AB=5,AC=4,乙B=60。D.44=30。，乙B=60。,AB=5

2.如图，已知4E=DF,AB=CD,CE=BF,以下结论：①△ACE三△DBF；②乙4=4。；

③=CD+。/；®Z-1=z.2；⑤S&ACE=S^DBF，其中正确的个数为（）

/

F

A.5个B.4个C.3个D.2个

3.如图，已知△力BC,尸为小明根据△4BC所作的图形，若△4BC三△DE凡则他作图的根据

是（）

A.SSSB.ASAC.AASD.SAS

4.如图，点4,B,C,。在同一条直线上，点E,/分别在直线力8的两侧，且AE=8凡乙A=iB,

乙DCE=LCDF,若AB=16,AC=4,则CO的长为（）

A.4B.6C.8D.10

5.在△4BC中，zfi=ZC=50。，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（）

6.如图所示，AB=AC,AD=AE,ABAC=ADAE,Z/=25°,z2=30。，则，3=

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第08讲三角形全等的判定（学生版）

7.如图，已知=^BAD=^CAE,要使△4BC三△4ED,还需添加一个条件，这个条件可

以是_______

8.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在44。8的两边04、OB

上分别在取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P

的射线OP就是乙408的平分线.这里构造全等三角形的依据是

9.如图，在△A8C中，。是边4。上一点，按以下步骤作图：①以点力为圆心，以适当长为半径作

弧，分别交AB、AC于点、M、N；②以点。为圆心，以4M长为半径作弧，交0B于点M'；③以点M'

为圆心，以MN长为半径作弧，在48AC内部交前面的弧于点N’；④过点N作射线ON'交8C于点及若

△A=44。,(B=60。，则々BED=

10.生活情境•滑滑梯如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度4c与右边滑梯水平方向的

长度D/湘等，且左边滑梯水平方向的长度48与右边滑梯的高度。E相等，若“84=32。，则

Z.EFD=

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第08讲三角形全等的判定(学生版)

11.如图，在△ABC中，点。分别在边4sBe上，且BD=CE,乙DEF=LB=乙(：.求证:

△BDEMCEF.

12.如图，点E在的边4B上，点。、下分别在BC、C8的延长线上，连接OE、EF,乙4=N。,

BC=EF,乙DEF+乙ABF=18()。,求证：AB=DE.

13.三知：如图，在△ABC、△40E中，LBAC=LDAE=90°fAB=AC,40=4E,点C、D、E

三点在同一直线上，连接BD.

(1)求证：△BAD三△C4E；

(2)请判断BD、CE有何关系，并证明.

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第08讲三角形全等的判定(学生版)

14.如图，力。是44BC的中线，ABAD=4c4D,DE1AB于E,DF1AC^F.求证：Rt△BDE三Rt△

CDF.

15.如图，在△ABC中，BE,CF分别是8C,4B两条边上的高，点。在BE上满足8。=AC,点G

在CF的延长线上满足CG=AB,连接/D,AG.

(1)求证：△480三△GCA；

(2)若连接OG,请判断△AOG的形状，并直接写出结论.

16.如图，在△ABC中，高BD,CE交于点F,且80=CD,

(1)判断4D,FD的数量关系，并说明理由;

(2)若CE平分N4CB,BE=1.5,求CF的长.

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第08讲三角形全等的判定（学生版）

17.如图，在四边形ABCD中，LBAC=90%过点。作DE，4c交BC于点E.若DE=BC,AC=4f

S^CDE=6,求CE的长•

18.如图，已知在△ABO中，AB=AD,射线4F交8。于点O,^LBAC<^DAC,点、E、b在射线

4F上，且乙BCF="EF=4BAD.试判断4c与EO的数量关系，并说明理由.

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第08讲三角形全等的判定（解析版）

知识归纳

―,三边分别相等的两个三角形全等（简写成"SSS"）：

基

边角边r

本|一"F碉而己布的贿务百I於叠西函三确至辱7福藐-仁4）7']

事-r碗而电布的翅旃而瞬而苫菌修至彳7而引r渴-）7-；

实-

角角边|_；一而希芬丽柏落熊不二西凝而睡相毒的而不三鬲影荃摹，出百版^AAS-）-'-：

斜边、直角边i斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"HL"）.：

三角形全等的判定

已知条件寻找的条件选择的判定方法》

两角夹边或其中一组等角的对边ASA或AAS

一角及其对边任一角AAS

解题思路角的另一邻边或边的另-

一角及其邻边SAS或ASA或AAS

邻角或边的对角

两边夹角或另一边或宜角SAS或SSS或HI.

【知识点1判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】

1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

2.数学语言表达：如图所示，AB=AE,AC=A'C,BC=B'C,则ZUBCgZVT夕U

【知识点2判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】

1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

,,

2.数学语言表达：如上图所示，AB=ABf/B=NBlBC=BC,则ZV/BCgZUSC：

【知识点3判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】

1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

2.数学语言表达：如上图所示，BC=BC,NC=NC,则ZU8CW4*U

【知识点4判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】

1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.

2.数学语言表达：如上图所示，=NB=NBlBC=BC,则//BCZZVTBC.

【知识点5直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】

1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“旦L”）.

2.数学语言表达：如图所示，AB=AB,BC=B'C,则乌ZUBU

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

举一反三

【题型1利用SSS证明三角形全等】

【例1】如图，E是4C上一点，BC=CE,BC+AE=DE,AB=CD.求证：△ABCdDCE.

【答案】见解析

【分析】由已知可得4c=OE,由SSS可证明△ABC三2\DUE.

【详解】证明：・.・BC=CE,BC+4E=0E,

•••CE+AE=DE,

即AC=DE.

(AB=DC

在aABC=△OC£中，BC=CE,

\AC=DE

••.△ABC三△DCE(SSS).

【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定(SSS)这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要

求学生应熟练掌握.

【变式1・1］如图，已知AE,F,C在同一条直线上，AB=CD,BF=DE,AE=CF.

【答案】证明见详解

【分析】根据三角形全等的判定定理.，即可得到结论.

【详解】'：AE=CF.

：.AE+EF=CF+EF.AF=CE,

(AB=CD

在aAB尸与△COE中，♦：BF=DE,

AF=CE

•・.△ABFSACDE(SSS)

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定定理，掌握SSS判定三角形全等，是解题的关键.

【变式1・2】如图，在四边形/BCD中，LB=LD=9。。，点£,厂分别在4B,4D上，AE=AF,CE=CF,

判断与的数量关系并加以说明.

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

D

【答案】CB=C。，见解析

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，连接力C,先证△AECwaARYSSS),

得到乙C4E=乙C4F,结合角平分线性质求解即可得到证明；

【详解】证明：CB=CD,证明：

连接AC,

24c=4C

在△.4EC与中，•・•CE=CF,

AE=AF

：.^AEC三△AFC/SSS),

：.£.CAE=Z.CAF,

VzB==9俨,

：.CB=CD.

【变式1-3］如图，在线段BC上有两点在线段BC的异侧有两点儿。,且满足4B=DC.AE=DF,

CE=BF,连接4尸.

(1)求证：△ABE丝△DC尸；

(2)若乙B=40。,(DFC=20。,4尸平分4B4E时\求44尸B的度数.

【答案】⑴证明过程见解答；(2)80。

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理.

(1)利用SSS即可证明^ABE让DCF；

(2)根据三角形内角和定理即可解决问题.

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第08讲三角形全等的判定（解析版）

解决本题的关键是得到aABE=△DCF.

【详解】(1)证明=B凡

・•・CE+EF=BF+EF,

••・CF=BE,

(AB=CD

在△ABE和△DCF中，4E=DF,

[BE=CF

.--AABE三△OCFrSSS)；

(2)解：•••△力8£g△DCF,

・•・乙AEB=乙DFC=20。,

・•・乙EAB=180。一乙B—乙AEB=120°,

，.。力小平分NB/E,

^BAF=^BAE=60°,

A"FB=1800-Z-BAF—B=180。-60°-40°=80°.

【题型2利用SAS证明三角形全等】

【例2】如图，在和△/)回中，AC=DC,BC=EC,延长8C,EO相交于点尸,

fizfiCF=Z.ACD.求证：乙A+乙CDF=180°.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证△4BC三△OEC即可求解.

【详解】证明：・・・2BCE=44CD,

：.2LBCE-Z-ACE=Z.ACD-Z.ACE,

即4BCA=乙ECD,

AC=DC

.48。和4OEC中,z_BCA=乙ECD,

BC=EC

・•・△ABC三△OEC,

/.Z.A=乙EDC.

又•：乙EDC+乙CDF=180°,

+=180.

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

【变式2・1】如图，AB=ACfAD=AEf^BAC=^DAEfLl=25°,22=30°,连接BE,点。恰好

在BE上，求23的度数.

【答案】55。

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形外角性质，证明△480三△ACE,利用全等

三角形的性质和三角形外角性质计算即可.

【详解】解：/-BAC=Z.DAE,

:.Z.BAC-Z.DAC=Z.DAE-Z.DAC

:.乙BAD=乙CAE,

AC=AB

在△,4CE和△4BD中，｛乙CAE=LBAD,

AE=AD

.*.△ACE三△ABD(SAS),

.・.乙ABD=乙2=30。,

••・Z3=/.ABD+Z7=25°+30°=55°.

【变式2・2】如图,已知在RtZi42C中，ZTB已=90°,AB=BC,在Rt△DBE中，乙DBE=90。,DB=EB,

连接DC,AE,延长4E交。。于点立试说明：AAEB三2CDB.

【答案】见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键,先证出

Z-ABE=乙CBD,再利用SAS定理即可得.

【详解】解：:“BA=90。,乙DBE=90。,

J./.CBA=乙DBE=9俨，

：./-CBA-乙CBE=乙DBE一乙CBE,^^ABE=乙CBD,

AB=CB

在△,4£8和4CDB中，/.ABE=乙CBD,

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

:AAEB=△COB(SAS).

【变式2・3】如图，在△ABC中，BE1.AC.CF上AB,垂足分别为E、F,点P在CF的延长线上，点

0在线段BE,且CP=AB,BD=AC,连接4P、AD.

(1)求证：

⑵求乙P的度数.

【答案】(1)见解析;(2)4=45。

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角

形全等的判定与性质是解题的关键.

(1)由余角的性质得到乙根据三角形全等的判定定理即可得证；

(2)根据全等三角形的性质得：AO=P4根据余角的性质得到NB4O+ZJMF=9。。，进而得出

△P/D是等腰直角三角形，即可求解.

【详解】(1)证明：•••BE上AC、CflAB

二.乙BEA=^CFA=90°

乙EAF+乙ABD=90。,^.EAF+乙PCA=90%

・•・Z-ABD=乙PCA,

AB=PC

ABD^APS中^ABD=Z.PCA

BD=AC

/.△ABD三△PC4(SAS)；

(2)由(1)得△ABD受△PS(SAS),

乙BAD=ZP,AD=PAf

・・•Z-AFP=90。,

.・.NP+Z.PAF=90。,

4BAD+^PAF=90。,

即NE40=90。，

又•••AO=PA,

.•・△P40是等腰直角三角形，

=45.

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

【题型3利用ASA证明三角形全等】

【例3】如图，点。是△ABC的边AC延长线上一点，月.DC=AC,过。作DEIICB,5.DE=DC,

连接4E交8C于点R若乙CAB=^CFA,求证：△4BC三△E40.

【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键：由题意易得

DE=CA,Z.E=Z.AFC,Z.D=^ACB,贝ij有4E=ZC4B,然后问题可求证.

【详解】证明：・・・OC=AC,DE=DC,

：.DE=CAf

,:DE||CB,

Z-E=/-AFC,乙D=Z.ACB,

9：^CAB=Z.CFA,

・"E=Z.CAB,

：.^ABC三△EAO(ASA).

【变式3・1】如图，已知力C=CD,乙I=乙2=乙3,求证：AABC必DEC.

【答案】详见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键.

首先利用乙/=23以及对顶角相等，利用三角形内角和得出44=20.然后通过乙/二乙2,在等式

两边同时加上乙HC8,从而得出乙4cB=乙DCE,最后利用ASA判定△ABCDEC.

【详解】证明：•・•』/=43,乙AHC=CDHG,

/.Z.A=乙D.

又•・•乙/=乙2,

AZ/+乙HCB=z2+乙HCB,

即=ADCE.

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第08讲三角形全等的判定（解析版）

(/.ACB=乙DCE

在△.4RC与△OEC中，AC=DC，

乙4=乙D

•••△4BC三△OEC(ASA).

【变式3・2】如图，在四边形ABCD中，AB||CDf连接4C,点石在AC上，AE=CD,连接BE,4D+

^BEC=180°.求证：BE=AD.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用互补的性质可得N4EB=4D,据此证明

△4BE三△4CZ）即可.

【详解】证明：・・・48||0

：.^BAE=乙4CD,

*：^AEB+乙BEC=180。,乙D+2BEC=180。,

Z.AEB=乙D,

(Z-BAE=/-ACD

在△4BE和△ACD中，AE=CD,

(乙AEB=CD

•・.△ABE三△4CD(ASA),

：.BE=AD.

【变式3・3】如图，已在△ABC与△AOE中，AB=AC,£.BAC=^DAEfBD1AB,ECLAC,求证:

AD=AE.

【答案】证明见解析.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题中条件证明出三角形全等是解题的关键.根

据BD1AB,EC1AC,匕BAC=匕DAE,从而得HlzBAO=乙CAE,乙ABD=Z-ACE=90。,结合48=

AC,即可得出△4CE（ASA）,进而可以解决问题.

【详解】证明：'：Z.BAC=^DAEf

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

C./.BAC-/-DAC=/-DAE-4D4C,

即4B40=^CAE,

•・・BD_LAB,EC1AC,

：.^ABD=乙ACE=90。,

(/.ABD=/-ACE

在△4BD与中，AB=AC,

\ABAD=/-CAE

△ACE(ASA),

：.AD=AE.

【题型4利用AAS证明三角形全等】

【例4】如图，在四边形4BC0中，BC=CD,CE=CF,£.BAF=Z.DAE,nB=40.求证：AE=AF.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据线段之间和差关系，角度之间和差关系证

得BE=DF,^BAE=^DAF,利用AAS即可证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题

的关犍.

【详解】证明：*：BC=CD,CE=CF,

则BC—CE=C。-C产,

:・BE=DF,

•：^BAF=Z.DAE,

则乙BA尸-^EAF=^DAE-Z-EAF,

：.^BAE=4DAF,

(/.BAE=乙DAF

在△ABE和△405中，乙B=(D,

BE=DF

：.AABE三△40尸(AAS),

：.AE=AF.

【变式4・1】如图，点4B在射线C4CB上，C4=CB.点E,F在射线CO上，NBEC=NCFA,

ZBEC+ZBCA=]80°.

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

(1)求证：4BCE冬ACAF.

(2)试判断线段EF,BE,AF的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)EF+AF=BE,理由见解析

【分析】(1)由“44S”可证

(2)由全等三角形的性质可得4F=CE,CF=BE,可得结论.

【详解】(1)证明：・.・NBEC+NBCA=180。，

・•・ZBEC+ZECB+ZACF=]80°,

NCFA+N力CF+NF力C=180。，NBEC=NCFA,

：.ZBCF=ZFAC,

(ZBEC=ZCFA

在△BCE与△以尸中ZBCF=ZFAC,

CA=CB

：./^BCE^/^CAF(AAS)；

(2)解:AF+EF-BE,理由如下:

■:△BCE々/\CAF,

1・AF=CE,CF=BE,

;CE+EF=CFt

：.AF+EF=BE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

【变式4・2】如图，44cB=90。，AC=BC,AD1CEfBEICE,垂足分别为。，E,AD=2.4cm,

DE=/.6cm.求BE的长.

【答案】0.8cm

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第08讲三角形全等的判定（解析版）

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出乙E=44DC=9O。，利用

AAS得出△CEBgaADC,就可以得出BE=DC,就可以求出BE的值.

【详解】解：:BELCE,ADICE,

：.^E=乙ADC=90。,

，乙EBC+乙BCE=90。，

*：Z.ACB=90。,

•・•乙BCE+4ACD=90。，

:•乙EBC=乙DCA,

Z-E=LADC

?EACF5flAADC中,乙EBC=乙DCA,

BC=AC

•••△CEBgZ\4DC(AAS),

:・BE=DC,CE=AD=2.4cn\,

■;DC=CE-DE,DE=1.6cm,

,\DC=2.4—1.6=0.8cm,

BE=0.8cm.

【变式4・3】如图，在四边形4BCD中，乙BAD=MBF=90°,CEtBD,垂足为E,CE的延长线

交AB于点F,BD=CF.

（1）请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由；

（2）连接AC,交BD于点、P,若乙CPD=//5°,求“尸8的度数.

【答案】（口△8/0三△C8F,理由解析；

⑵"F8=70°,

【分析】（/）根据同角的余角相等得出乙CF8再由全等三角形的判定方法证全等即可；

（2）由第一问全等可得△ABC是等腰直角三角形，推出乙笈4。=45。，再用三角形内角和即可求解:

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，同角的余角相等，掌握相关知识是

解题的关键.

【详解】（1）,理由如下：

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

,：CE

:•乙CEB=乙BEF=90。，

ZCFB=4BDA=90°-乙FBE,

(Z.BAD=Z-CBF

在△CB尸和△B40中，4B£M=4CFB,

(BD=CF

：.ABAD三ZkCB产(AAS)；

(2)由(/)知△BAOwZkCBF.理由如下，

：.AB=BC,乙ADB=^CFB,

,：z.CBF=90。,

：.^BAC=45°,

*：^CPD=U5。=乙APB,

・••乙4BO=180。-乙APB-ABAC=20。,

:•乙CFB=90。-20。=70°.

【题型5利用HL证明三角形全等】

【例5】如图，已知AB4F,C0_L0E,瓦尸在线段BUh,DE与AF交于点0,且4B=CD,BE=CF,

求证：Rt^ABFRtADCE.

【答案】见解析

【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由8E=CF推出8F=CE,利用HL进行判

定.

【详解】证明：••・BE=CF,

BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

vAB±AF,CD±DE,

・•・44=40=90。,

・・.△OCE都为直角三角形，

在Rt△力BF和RtaOCE中，［?£=££，

(48=CD

・•・Rt△ABF=RtADCE(HL).

【变式5・1】如图，4B=4C,D、E分另ij是上的点，M、N分别是CE、BD上的点，若AM_LCE\

AN工BD,AM=AN,求证：Rt△4BN三Rt△ACM.

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

A

【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键.利用“HL”证明全

等即可.

【详解】证明：•.•4MJLCE、ANLBDf

・•・乙ANB=^AMC=90°

在RlA/BN和RIZX4CM中，f丝=^£，

UN=AM

・•・Rt△ABN三Rt△ACM(HL)

【变式5・2】如图，在△4BC中，4C=BC,直线/经过顶点。，过48两点分别作/的垂线4E,BF,

(\)Z-EAC=乙FCB

(2)AC1BC.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明RtZ\4ECwRtA

CFB(HL)是解答的关键.

(1)证明RtaAECwRtaCFB(HL),利用全等三角形的对应角相等可得结论；

(2)根据直角三角形的两个锐角互余证明乙=90。即可得结论.

【详解】(1)证明：・・・4E_U于E点，BF上［于尸点

・・・在Rt△4EC与Rt△CFB中怨=能

ML=BC

：.Rt△AEC=RtACFB(HL)

：.^EAC=AFCBI

(2)证明：在直角三角形/EC中，AAEC=90°

：.z.EAC+Z.ECA=90°

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第08讲三角形全等的判定(解析版)

：./.ECA^Z.FCB=90。

♦：E、C,1三点共线

：.^ACB=180°-(NEC4+乙FCB)=180°-90°=90°

：.ACIBC.

【变式5・3】如图，在中，乙4cB=90。，CA=CB,。是4c上一点，E在BC的延长线上，

且4E=B0,BO的延长线与AE交于点凡试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊

的位置关系，并证明你的猜想.

【答案】BF1AE,证明见详解

【分析】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和.先由乙ACB=9俨，得==9。。,

结合4E=BO,CA=CB,则证明△BCD三△4CE(HL),故NCBD=々C4E,结合三角形内角和以及

对顶角相等，即可作答.

【详解】解：・."ACB=90。

C.Z.ACE=Z.ACB=90°

'：AE=BD,CA=CB,

・'.△BCD三△4CE(HL)

・"CBD=^CAE

■:乙CDB=Z.ADF

：.180°一乙CDB-乙CBD=180°-Z-ADF-^CAE

即Jr8=Z-BCA=90°

故BF1AE

【题型6添加条件使三角形全等】

【例6】如图，在44BC中，D、E两点分另I］在4B、BC边上，且CE=AD,现增加一个条件，使得△ABE三

△CBO一定成立，则该条件可以是下列中的.

①BD=BE；®Z,BAC=^BCA；③乙BAE=(BCD；®AELCD.

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第08讲三角形全等的判定（解析版）

A

【答案】①②③

【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断.关键是掌握全等三角

形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分

析即可.

【详解】解：①由CE=4O,BD=BE,得到48=CB,又乙B=4B,由SAS判定△ABECBD,

故①符合题意；

②由乙84c=4BC4推出48=C8,而CE=40,可得BO=BE,结合NB=由SAS判定△4BE三

△CBD,故②符合题意；

③如图，记AE,CD交点为N,

■:乙BAE=LBCD,乙AND