2027年高考数学一轮专项复习（北京专用）-函数与方程（原卷版+解析版）

函数与方程

鼓型ILoi求函数的零点及零点个数

1.已知函数/(%)=Inx,则函数y=/(/(%))的零点为()

A.1B.0C.eD.\[e

2.函数/(%)=温的零点是()

A.1B.(1,0)C.(-1,0)D.-1或1

r2

’—则=/(%)_；的所有零点之和为()

3.己知函数/G)=y

\X+1],X<02

.V2+1c1-V2--nc

B.C.2D.0

A。22

4.函数/'(%)=sinx•-cosxcos(M+；)在区间上的所有零点之和为()

A.TTB.2ITC.3irD.4

5.函数/(%)=2sin卜工+三)+1在区间(0,2n)内的零点个数为1)

A.4B.3C.2D.1

6.函数/(无)=21g%-无lg2,则函数/(%)的零点个数是()

A.2B.3

C.1D.0

7.己知函数/•(%)=[*-?”‘°’则函数y=f(f(x))的零点个数为()

.In(-x),x<0,

A.1B.2C.3D.4

敢型用零点存在性定理判断零点所在区间

8.函数f(x)=In%-：的零点所在的大致区间是()

A.Q,l)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

9.函数八幻二乃+log2》的零点所在的区间为()

人(弱B.(1,1)C.(辅D.(Q)

10.函数/(%)=Inx+%2-6的零点所在区间为()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,3)

11.函数f(x)=Inx+x2-ex的零点所在的区间是()

A.Q,l)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

12.函数f(x)=cosx-x的零点所在区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

13.关于工的方程：2%-炉=0的实根可能分布在区间()内

A.(0.5,1)B.(1,1.5)C.(1.5,2)D.(2,2.5)

14.设/(X)=ex+Inx,满足<0(0<a<b<c).若函数/(%)存在零点右,则()

A.x0<aB.x0>aC.x0<cD.x0>c

鼓型Ik03求方程的根及根的个数

15.方程lnx=4-2%的根所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

16.方程log3%+X=2的根所在区间是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

17.方程无+Inx—3二0的根所在区间为（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

=总的根，贝属于区间（

18.若均是方程G）、)

A50B.（浦

C-D.（词

19.方程9x+3*-修=0的根为为],方程x+Iog3（x-2）=0的根为%2，则％1+%2=（)

7c9c11n13

AA.-B.-C.~D.—

2222

20.若定义在R上的函数/V)满足f(%+洒=f(%)且Jw[-1,1]时,/(x)=|x|,则方程/G)=10g3㈤

的根的个数是

A.4B.5

C.6D.7

21.已知函数。当拉时，方程/(%)=-"+m的根的个数为()

A.1B.2C.3D.4

22.已知函数人%)=1之二:'、：(1，则方程/(/a))=1的根的个数为()

<1)1,王；1

A.7B.5C.3D.2

敢型

23.函数y=cos%与y=|]gx|的图象的交点个数是（）

A.2B.3C.4D.6

24.函数/a）=ln（x+3）的图像与函数g（x）=\x2-2|的图像的交点个数为（）

A.2B.3C.4D.0

25.当文€（0,2TT）时，曲线y=singy=sin6+g）的交点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

26.直线y=2X-2与曲线y=sinirx+」Y-1的交点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

27.函数/a)=sinx与g(x)=L的图象有()个交点

ig1一“十人人X<U

A.5B.6C.7D.8

我型IL05根据零点、方程的根及图象交点求参数范围

28.若函数/(%)=mx-m+1在区间[0,1]上无零点，则〃?取俏范围为()

A.0<m<1B.m>1C.m<0D.m<1

29.函数/•(%)=2》一：一0的一个零点在区间(1,3)内，则实数Q的取值范围是()

A.(7,+oo)B.(—co,—1)

C.(-co,-1)U(7,+co)D.(-1,7)

30.已知函数f(x)={['：；：，若存在用使得关于x的方程f(x)=m有两不同的根，则t的取值范围为()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-1,0)U(1,4-oo)

C.(-oo,-1)U(0,1)D.(-oo,-1)U(1,+co)

rl.X<0

31.己知函数/(x)=1%>o,则使方程无+/(无)=m有解的实数m的取值范围是()

I/

A.(1,2)B.(-oo,-2)C.(-8,1)u(2,+8)D.(-co,1]U[2,+oo)

32.设函数/角0n，若/(x)-k=O有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,+oo)

C.(0,1]D.[0,+oo)

33.已知函数/(%)=%3—3%的图像与直线y=m有3个不同的交点，则实数〃?的取值范围是()

A.(—2,+oo)B.(—2,2)C.(—8,2)D.(—8,—2)U(2,+oo)

34.设函数f(x)=a(x+一1,g(x)=cosx+2ax,当时，曲线y=/(乃)与y=g(x)恰有一个

交点，则Q=()

A.-1B.\C.1D.2

2

35.已知函数/■(%)=片2Ho的图像与直线y=kr有3个不同的交点，则实数人的取值范围是

xin(ATIi,%>u

A.(一：,+8)B.(0,+oo)C.(一：,2]D.(0,2]

36.函数f（%）=Inx与函数g（x）=mi+；有两个不同的交点，则小的取值范围是（）

A.（-col）B.（-8城C.（0假）D.（0,表）

37.已知函数/■（%）=%：；；）［（:H），若方程/'2（盼-20。）+g=0有4个不相等的实数根，则实数a

取值范围为（）

A.(当,2信+8)B-（拳竟］。（2,+8）

C.弓,2)D.信+8）

38.若方程炉也无2一加二o与方程加/十不一1二。共有6个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）

A.（一，。）B•(-M

仁(-?-；)D.…)

02

L’幅铤]下列函数在区间(L2)内存在零点的是()

A./(%)=x3B.fM=x+\nx

C./(x)=x2-2D./(%)=x2+Inr

2.、新考法|根据下列表格的对应值:

X0.590.600.610.620.63

x2+x

-0.0619-0.04-0.01790.00440.0269

-1

判断方程d+%-1=0一个解的取值范围是（）

A.0.59<x<0.61B.0.60<x<0.61

C.0.61<x<0,62D.0.62<x<0,63

X

3.1新考法|已知偶函数/(%)满足f(x)=f(2-x),且当xe[0,1]时，/(x)=2-1.若函数y=/(x)-lognx

恰有4个零点，则a的值为()

A.5B.4C.3D.2

logix,x>0

4.已知函数/(%)=2，若关于x的方程/(%)=々有两个不等的实数根，则实数々的取值范围是()

.2x,x<0

A.(0,1)B.(0,1]C.(-oo,0)D.(l,+oo)

5-已知函数/(%)=(X+^，X>Q，则方程八力-a=0有四个实根的充要条件为()

(-x2-4x-1,x<0,

A.a>1B.a<3

C.1<a<3D.1<a<3

6.函数/Xx)=%+(-4在(0,3)上有两个不同的零点，则a的取谊范围是()

A.(0,4)B.(-oo,4)C.[3,4)D.(3,4)

7.孑新考法|若aG(1,+oo),贝!方程a"-％-a=0有()个实数根.

A.0B.1C.2D.3

8.已知关于x的方程|X2+Q%|=4有四个不相等的实数根，则《的取值范围是()

A.a4或a>4B.a=4或Q=-4

C.-4<a<4D.0<a<4

9.已知函数/(x)=，函数9(%)=fM十%十小，若9(切有两个零点，则m的取值范围是()

A.[-l,+oo)B.(-oo,-1]C.[0,+8)D.[-1,0)

10.已知实数Q>0,且aHi,若函数/(无)=a"+log。》在(1,2)上存在零点，则()

224

A.a+loga2<0B.a-log2a<0C.a+loga2>0D.a-loga2<0

函数与方程

01求函数的零点及零点个数

1.己知函数/(无)=Inx,则函数y=/(/(%))的零点为()

A.1B.0C.eD.\[e

【答案】C

【详解】由/(%)=Inx可得/(/(%))=ln/(x)=In(lnx),

由/(/(%))=。可得，In%=1,解得％=e.

故选：C.

2.函数/■(%)=篇的零点是()

A.1B.(1,0)C.(-1,0)D.-1或1

【答案】A

【详解】由2x+l>0,即

所以函数/'(%)=的定义域为(一3+8)。

令/(冷二焉?=。，解得“=-1(舍去)或％=1,

所以函数/•(%)=篇的零点是1.

故选:A.

3.已知函数/•(>)=］(：一?。"？?，则y=/(x)—；的所有零点之和为()

(|x+l|,x<02

AV2+1c1-V2…-CC

A.---B.---C.2D.0

22

【答案】D

【详解】令y=/(%)-，=0,则；vNO时,(x-l)2-1=0,得4=1土圣

X<0时，由得或%=一去

所以四个零点和为1+亨+1—~—"—|=0.

故选：D.

4.函数/(%)=sinx-cosxcos(弓+：)在区间(一上的所有零点之和为()

A.TTB.2ITC.3irD.4

【答案】B

［详解］由/(%)=0得黑=cos偿+：),即tanx=cos(y+^)»

函数/•(%)的零点即方程tanx=cos(£+：)的根，

作出函数y=cos管+：)和y=tan%的图象,如图,

由图可知两个图均关于0,0)中心对称且在2n)上有两个交点，

故函数/(%)在区间(-ir,2n)上有4个零点，所以4个零点的和为27T.

故选：B.

5.函数/•(%)=2sin(2%+以+1在区间(0,2TT)内的零点个数为1)

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【详解】令/(%)=2sin(2x+^)+1=0,可得sin(2)+)=-1；

所以2%+；=——•+2kir,kWZ或2x+—=—7+2ku,/cEZ,

3636

解得力=——4-kn,kGZ或3=--+ku,kEZ；

124

又因为x£(0,2n),

因此当k=l时，X=割中当A=2时，％=岩或g；

即可得f(%)在区间(0,2n)内的零点个数为4个.

故选：A

6.函数/•Q)=21gx—;dg2,则函数/(x)的零点个数是()

A.2B.3

C.1D.0

【答案】A

【详解】由题意可得%>0，

^/(x)=21gx-xlg2=0,所以>詈=log2%,

令N=；，y=】og2%，则y=f,y=log2》在(0,+8)上都为增函数，

且易得当x=2或％=4时，=log2x,

当xw(0,2)时，易得y=log2%在y=5的下方，

当x€(2,4)时，易得y=log?%在y=］的上方，

当x6(4,+8)时，对数函数的增长速度小于一次函数，故此时y=log2%在y=；的下方.

综上：函数/(%)有两个零点分别为2,4.

故选：A.

7.已知函数/(%)=卜一则函数y=/(/(%))的零点个数为()

Jn(—x),x<0,

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】对于/■(/■(%))=0,令/'(x)=3由/'(0=0得二°或｛1n(l1)°=o,解得亡=：或士

所以八乃=-1，

1(x>0(x<0

当/O)=T时，卜==2.或卜n(-x)=>解得％=1或%=-怎・

x>0(Y01

(%」=-1或｛历(7)=-「解得》=一］(舍)或

所以函数y=/(/(X))的零点为义=1或乂=—e5或X--e-1,

故选：C.

鼓型I：02用零点存在性定理判断零点所在区间

8.函数=的零点所在的大致区间是()

A.B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

【答案】C

【详解】/(2)=ln2-l<0,/,(e)=l-|>0,

由/(x)=lnx-j可知，函数在(0,+8)内单调递增，

根据零点存在定理，函数/(幻=Inx—：的零点所在的大致区是(2,e).

故选：C

9.函数/(x)=%+log2%的零点所在的区间为()

【答案】C

【详解】由已知得/'(X)=X+log2%为(0,+8)上的递增函数,

/(I)=1+10g21log23V。，/(I)=1+10g21=-1<°»

/(I)=j+log2|=^-log23=1(5-log227)>0,/(l)=l>0,

由零点存在定理可知，/(X)在区间内存在唯一零点.

故选：C

10.函数f(x)=Inx4-x2-6的零点所在区间为()

A.(0,1)B.Q,l)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】D

【详解】由题可知/(%)=lnx+x2-6在(0,+8)上单调递增，

又fQ)=一ln2—彳<0,/(1)=-5<0,/(2)=ln2-2<0,/(3)=ln3+3>0,

故函数y=/'(%)的零点所在区间为(2,3).

故选：D.

11.函数f(x)=Inx+/一眨的零点所在的区间是()

A.Q,l)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

【答案】C

【详解】由于/(%)=：+2%-e=-二:'+\x>0,且2必-ex+1=0中A=e2-8v0,

故/’(%)>0,/•(%)在(0,+8)单调递增，

因此/(x)至多一个零点，

/(2)=ln2+4—2e<0,/(e)=Ine+e2—e2>0/(3)=ln3+32—3e>0,

因此/(x)=Inx+x2-ex的零点所在的区间是(2,e),

故选：C

12.函数外R=cos%-%的零点所在区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】B

【详解】因为函数y=cos%在(0m)上单调递减，函数y=x在(0,R上单调递增，

所以函数f(x)=COSX-3在(O,TT)上单调递减，

又/(0)=1，/(I)=cosl-1<0,/(2)=cos2-2<0,/(3)=cos3-3<0,

所以函数f(x)=cos%x在(0,1)内存在零点，在区间(1,2),(2,3)不存在零点，

当时，cosx>0,cosx-x>0.

所以函数/(x)=cosx一％在区间(一1,0)内不存在零点，

故选:B.

13.关于％的方程：2、-％3=0的实根可能分布在区间()内

A.(0.5,1)B.(1,1.5)C.(1.5,2)D.(2,2.5)

【答案】B

［详解］令f(%)=2X-%3,

当人€(31)时，2*6(企,2),炉此时/(x)无零点，排除A.

当彳«2,习时，2”£(4,2，炉«8,等)，此时/•(%)无零点，排除D.

当XW(1,2)时，2xln2e(102,4102),3x26(3,12),而4M2=ln24=lnl6VInF=3,

所以f'(%)=2X-3x2<OJG)单调递减,

而/(0)=1>0,/(l)=1>0,f(2)=-4<0,故沏e(1,2).

又/(1.5)=停-(|)］且8〈仔了，故/所以与E〔1,1.5).

故选：B

14.设/'(%)=e*+Inx,满足f(a)f(b)f(c)V0(0VaVbVc).若函数f(x)存在零点%o,则()

A.x0<aB.XQ>aC.x0<cD.x0>c

【答案】B

【详解】函数f(%)=M+In》的定义域为3%>0),且y=e\y=hur均为单调递增函数,故函数/(%)=e"+

加是增函数，

由于0<a<b<c,故f(a)<f(b)</(c),

满足/(a)/(b)f(c)<0(0<Q<匕<c),说明f(a)J(b)J(c)中有1个是负数一定是f(a),两个正数或3个负

数，

由干/(x)存在零点，故Xo>a.

故选:B.

及型求方程的根及根的个数

15.方程Inx=4-2%的根所在的区间是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【详解】令/(%)=Inx+2%-4,显然f(x)=Inx+2x-4单调递增，

又因为f(l)=2-4=-2<0,f(2)=ln2+4-4=ln2>0,

由零点存在性定理可知：/'(幻=111%+2%一4的零点所在区间为(1,2),

所以Inx=4—2%的根所在区间为(1,2).

故选：B

16.方程log?%+x=2的根所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【详解】设/"(x)=log3%+x-2,则方程log3%+%=2根所在区间即为/"(%)零点所在区间，

y=log3》与y=x-2在(0,+8)上均为增函数，/(%)在(0,+8)上单调递增；

对于A,f(l)=log31+1—2=-1，二当xe(0,1)时，/(x)<-1,A错误；

对于B,7/(1)=-1<0,/'(2)=log32+2-2=log32>0,即/(1)/(2)<0,

・••3x0G(1,2),使得/(&)=0,B正确;

对于CD,当％>2时，/(%)>/⑵>0,.••/(%)在区间(2,3)和(3,4)上无零点，C错误，D错误.

故选:B.

17.方程x+ln%-3=0的根所在区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【详解】由/(%)=x+Inx-3在定义域内递增，且/'(2)=2+ln2-3=ln2-l<0,/(3)=3+ln3-3=

ln3>0,

所以，方程的根在(2,3)区间内.

故选：C

18.若勺是方程=£的根，贝ko属于区间()

【答案】C

【详解】由《尸=1,得以)x-W=0,设"幻=弓尸一

因为函数y==-W在R上单调递减，

所以函数/'(x)在R上单调递减，且函数/(%)的图象是一条连续不断的曲线，

w(o)=i＞o,/Q)=Q)1-(i)1＞。/(＞(»-醉＜。/(I)=虏-3＜。/⑴7＜。，

所以居)6)vo,

故函数〃X)的零点所在的区间为G，9,

即方程弓尸=总的根&属于区间g3

故选：C

19.方程9%+3"—£=0的根为%1，方程％+log?。-2)-g=0的根为%2，则与+次=()

A.-B.-C.—D.—

2222

【答案】C

【详解】令t=%-2,方程9%+3万一£=0化为。-2)+3尸2_|=o,即3,=T一3它的根为函数/1(t)=3,

与直线y=|一£交点P的恒坐标G,方程％+log3a-2)-^=0化为(％-2)+log3(x-2)-|=0,即log3t=

|一3它的根是函数g(£)=log3t与直线y=3一£交点Q的恒坐标G，作函数/«)=3,和g(t)=log3t的图象，

作直线y=g-t,易知/(£)和g(t)是反函数，它们的图象关于直线y=t对称，而直线y=^-t与y=£垂直，

•••尸(关于直线、=t对称，由［、二之二，得「一口即而直线y=与y=t的交点为弓,：)，・F+£2=

：X2=看+%2=+2)+(«2+2)=(G4-12)+4=y.

故选：C.

【点睛】本题考查方程根的分布问题，解题方法是把方程的解转化为直线与函数图象交点的横坐标，再由

对称性求得结论，解题关健是转化。

20.若定义在R上的函数/(z)满足/'(%4-2)=/(%)且比G［-1,1］时,/(x)=|%|,则方程/(%)=log3|x|

的根的个数是

A.4B.5

C.6D.7

【答案】A

【详解】因为函数外幻满足fa+2)=f(x),所以函数外幻是周期为2的周期函数.

又［—1,1］时，/(x)=|%|,所以函数f(%)的图象如图所示.

再作出y=log3|x|的图象，易得两图象有4个交点，所以方程/(%)=Iog3l%|有4个零点.故应选A.

【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与工轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.

21.已知函数/'(%)={/(工;：：［()当拉时，方程/(乃二一］+血的根的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】画出函数/(x)的图像,

有图可知方程/'(%)=-5%+m的根的个数为3个.

O

故选C.

【点睛】本题考杳分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力,

是中档题.

22.已知函数/(%)=，则方程/(/('))=1的根的个数为()

A.7B.5C.3D.2

【答案】A

【详解】令u=/(x),先解方程f(〃)=1.

(1)当〃时，则/(〃)=2〃一1=1,得%=1；

(2)当〃>1时，则/(〃)=|ln(n-1)|=1,即lnQ-l)=±l,解得〃2=1+｝，u3=1+e.

如下图所示：

直线〃=1,u=1+〃=1+e与函数〃=/(%)的交点个数为3、2、2,

所以，方程/[/(%)]=1的根的个数为3+2+2=7,故选A.

【点睛】本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的

若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题.

及型求图象的交点及交点个数

23.函数y=cos》与y=|lgx|的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【详解】画出y=cos无与y=|lgx|的图象如图所示:

故选：C.

24.函数f(x)=ln(x+3)的图像与函数g(x)=\x2-2|的图像的交点个数为()

A.2B.3C.4D.0

【答案】C

(详解]/(%)在(-3,4-8)上是增函数,。(%)在(-oo,-&)和(0,a)上是减函数，在(-四,0)和(或,+co)

上是增函数，/（-2）=0,g（-V2）=g（&）=0,g（0）=2>/（0）=ln3,

作出函数f（%）g（%）的图像,如图,由图像可知它们有4个交点.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【详解】依题意，曲线'=向%与、=5皿5+?）的交点个数即为方程而％=5皿5+5）根的个数,

由无€（0,如）,得;+々€（々号）,%+（；+々）W（g，手）,

则x=：+弓或％+：+g=7T或％+5T=3n，

解得％=g或％=费或%=与，因此方程sinx=sin（；+“在（0,2冗）上有3个解.

所以当xG（0,2n）时，曲线y=sin无与y=sin（|+g）的交点个数为3.

故选：A

26.直线y=23-2与曲线y=sinnx+W-1的交点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【详解】由题意可得、=sinnx+七-1=sinnX+」p所以其与直线y=2%-2的交点,

等价于求sinn无=2%-2的零点，等价于sinirx=2x-2一人的零点,

等价于求函数f(%)=sirnrx与函数h(x)=2(x-1)一匕•的交点，

易得函数/(x)=sirurx为周期为2的函数，且x=1时，/(I)=sinn=0,

所以(1,0)是函数/(%)=sinnx的一个对称中心，

对于/i(x)=2(x—1)—/i(l+x)+/i(l—x)=2(x+1—1)---；~~-+2(1—x—1)--~~--=0,

X—1x+1—11-X—1

所以九0)关于点(1,0)对称，且y=2(%-1)为增函数，y=--=为增函数，

所以力(%)=2(%-1)一白•在(一8,1),(1,+8)上单调递增,

所以可以作出f(%)和九㈤图象如下图,

由图可得其有2个交点，故A正确.

故选:A.

27.函数/"(x)=siru:与g(x)=的图象有()个交点

xigl“十工人X、U

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【详解】f(x)=sinx为奇函数,

当《>0时，则一#VO所以g(-x)=-lg(x+1)=-g(x),

当xV0时，则一为>0,所以g(-T)=lg(-x+1)=-g(x),

所以总有g(一无)=一。(%)，g。)也是奇函数，

且sin弓=1>lg(y+1)»sin9<Ig(9+1)=1,

画出/■(%)=sinx与g(x)在［0,+8)的函数图象，

o\23X_5y6789^^

y=")

由图象可知函数fG)与g(x)在［0,+8)上有4个交点,

由奇函数的对称性可知，在(-8,0)上有3个交点，

所以函数/(%)与g(x)的图象总共有7个交点，

故选：C.

及型根据零点、方程的根及图象交点求参数范围

28.若函数/(x)=7HX-m+1在区间［0,1］上无零点，则〃?取值范围为()

A.0<m<1B.m>1C.m<00.m<1

【答案】D

【详解】当m=0时，则=此时/(%)无零点，符合题意，

当m=0时，令/'(%)=0,则x=—,故％=巴二<0或工=—>1,解得0VmV1或m<0,

mTHm

综上可知/(%)=mx-m+1在区间［0,1］上无零点，则m<1,

故迄D

29.函数/■(无)=2'-：一。的一个零点在区间(1,3)内，则实数Q的取值范围是()

A.(7,+8)B.(—8,—1)

C.(-co,-l)U(7,+co)D.(-1,7)

【答案】D

【详解】由于/'(%)=2*-：一。在(1,3)上单调递增，

故命题等价于/(I)<0</(3),HJ2—3—a<0<8—1—a,解得—1<a<7.

故选：D.

30.已知函数/(无)=；，若存在用使得关于x的方程f(x)=m有两不同的根，则I的取值范围为()

XXfXNC

A.(―1,0)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)

C.(-oo,-1)U(0,1)D.(-oo,-1)U(1,+co)

【答案】B

【详解】由函数/'(%)=『3,”［；.可得函数丫=/(均在(_8"),亿+8)上为增函数，

IXfXNc

当X<t时,/max(x)TR当％N匕时,fmin(x)=t,

若存在m使得关于x的方程f(x)=m有两不同的根，只需户>3

解得-1Vt<0或£>1,所以Z的取值范围为(-1,0)U(1,4-00).

故选：B.

(l,x<0

31.已知函数/(无)=g%>0,则使方程％+/(%)=m有解的实数m的取值范围是()

A.(1,2)B.(—8,—2)C.(—8,1)U(2,+8)D.(-co,1]U[2,+co)

【答案】D

【详解】设g(x)=x+f(x),则g0)=]4J.Y>n.

I人I■人U

IX

因为方程％+/(%)=m有解，

所以y=g(x)的图象与y=血的图象有解.

当4>0时，g(x)=无+：,

根据对勾函数的性质可得g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且g(%)mm=g(i)=2.

作出函数y=g(x)的图象如图所示：

由图可得，丫=成")的图象与丫=爪的图象有解,

则me(-oo,i]u[2,+co).

故选：D.

32.设函数/■(好二1；)：：]。，若/(%)-k=0有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,+8)

C.(0,1]D.[0,+8)

【答案】C

【详解】函数y=e>在(-8,0]上单调递增，函数值集合为(0,1]；

函数y=-Inx在(0,1]上单调递减，函数值集合为[0,+8)；

函数y=In%在[1,+8)上单调递增，函数值集合为0+8)；

作出函数y=/(x)的图象与直线、=k,如图，

一小/子及

o\1x

观察图象知，只有当0<kWl时，函数y=/(无)的图象与直线y=k有3个交点，

所以/(乃-k=0有三个不同的实数根，实数A的取值范围为(0川；

故选：C

33.已知函数fCr)=炉一3%的图像与直线y=m有3个不同的交点，则实数加的取值范围是()

A.(-2,4-oo)B.(-2,2।C.(-oo,2)D.(-oo,-2)U(2,+oo)

【答案】B

【详解】对函数/(%)=%3-3%求导得：/(x)=3x2-3=3(%+1)0-1)，

当无<-1或%>1时，/(%)>0,当一1V%V1时，/(x)<0,即/'(%)在(一8,-1),(1,+8)上单调递增,

在(一1,1)上单调递减，

在％=-1处取得极大值/(-1)=2,在x=1处取得极小值/(I)=-2,

在同一坐标系内作出函数f(x)=x3-3%的图像和直线y=m,如图，

观察图象知，当一2<根<2时，函数/(幻=炉一3%的图像与直线y=?n有3个不同的交点，

所以实数〃，的取值范围是(-2,2).

故选:B

34.设函数/(x)=a(x+-1,g(x)=cosx+2ax,当x€(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(%)恰有一个

交点，则Q=()

A.-1B.1C.1D.2

【答案】D

【详解】解法一：令f(x)=g(x),即a(xII)21=cosxI2ax,可得a/।1=cos%.

令F(x)=ax2+a—1,G(x)=cosx,

原题意等价于当“6(-1,1)时，曲线y=FQ)与y=G(x)恰有一个交点，

注意到F(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2,

若a=2,令F(x)=G(x),可得2/+1—cosx=0

因为万€(-1,1),则2x2>0,1-cosx>0,当且仅当％=0时，等号成立，

可得2d+1-cosx工0,当且仅当％=0时，等号成立，

则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线y=FQ)与y=G(x)恰有一个交点,

所以a=2符合题意；

综上所述：Q=2.

解法二：令九(二=/(x)—g(x)=ax2+a-1-cosx,x€(—1,1),

原题意等价于九O)有且仅有一个零点，

因为八(一%)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x),

则力(%)为偶函数,

根据偶函数的对称性可知九(%)的零点只能为0,

即力(0)=a—