第四章 三角形（12个知识归纳）-北师版七年级数学下册复习

第四章三角形（12个知识归纳）

1.在探索图形性质的过程中，经历观察、操作（包括测量、画、折）、想象、推理、交流等过

程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念、推理能力。

2.理解三角形及其内角、中线、高线、角平分线等概念，探索并掌握三角形的内角和及三角

形三边之间的关系，了解三角形的稳定性。

3.了解图形的全等，理解全等三角形的概念，经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三

角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。

4.在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。

5.尝试用多种方式表达自己的想法，表述问题解决的理由，发展初步的演绎推理能力和有条

理表达的能力。

知识点1三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；

记作：ZkABC,如图：其中：线段AB,AC,CA是三角形的边，A,B,C是三角形的顶

点，ZA,ZB,ZC是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.

知识点2三角形的分类

①按角分类

锐角三角形

斜三角物

钝角三角形

直角三角形

②按边分类

不等边三角形

底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形（正三角形）

知识点3三角形的三边关系：

三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

【拓展：三边关系的运用】

①判断三条线段能否组成三角形；

②当已知二角形的两边长时，可求第二边的取值范围。

知识点4三角形的稳定性

①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四

边形没有稳定性。

②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等

知识点5三角形的重要线段

三角形的电要线段概念图形几何语言表示

三角形的高线从三角形的一个顶AVAD是△ABC的BC

点向它的对边所在上高线

的直线作垂线,顶点.*.AD±BC

和垂足之间的线段4ZADB=ZADC=90°

§DC

三角形的中线三角形中.连结一个是的

.4VADAABCBC

顶点和它对边中点上的中线

的线段

••・BD=CD=-BC.

2

SiABD=Sz.ADC=；S二ABC

三角形的角平分线三角形一个内角的V.AD是ZSABC的

A

平分线与它的对边NBAC的平分线

相交,这个角顶点与••・N1=N2」ZBAC

交点之间的线段2

BJC

知识点6三角形的内角

①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

②证明方法；剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。

测量法：剪角拼角法：

k

知识点7直角三角形

①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“RS”表示,如RIAABCO

②有两个角互余的三角形是直角三角形

।

R

知识点8全等图形

全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。

（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。

（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化,

即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

知识点9全等三角形

（一）全等三角形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（二）全等三角形中的对应元素

1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边,

（1）字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。

（2）图形位置确定法

①公共边一定是对应边；

②公共角一定是对应角；

③对顶角一定是对应角；

（3）图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）

是对应边（角）。

（三）全等三角形的表示：全等用符号“且”表示，读作“全等于"。如三角形△ABC和aDEF

全等，记作^ABC丝4DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的

位置上。

知识点10全等三角形的性质

（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相

等。

VAABC^ADEF

AAB=DE,AC=DF,BC=EF（全等三角形的对应边相等）。

RACAEFNA=ND,ZB=ZE,ZC=ZF（全等三角形的对应角相等）。

知识点11判定全等三角形

1.边边边（SSS）

I、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。

A&4'6'U中.

-A€^AT\

“zl/.AABCgAJ71T(SSS).

2.（边角边SAS）

（1）用直尺和圆规作一个角等于己知角（己知角NAOB,求作NAOB二NAOB，）

①以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,0B于点C、Do

②画一条射线0A）以点0,为圆心，0C长为半径画弧，交于点C;

③以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D，；

④过点D画射线则NAg，B-NAOB。

（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。

•中.

-

：.ZUUC9A4

3.（角边角ASA）

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。

AA4取*

N加"，

-IW

zr»zr.

4.（角角边AAS）

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成”角角边“或“AAS”）。

5.（直角边、斜边HL）

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成”斜边、直角边“或“HL”）。

注意：用HL”证明两个直隹三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。

知识点12尺规作图

五种基本尺规作图

类型图示步骤作图依据

1.作一条线段等于已a（1）州曲线0P园1•.的点到园心

的距肉等IT：径

知线段0-A-----P（2）在射线0P上极取OA=a

<1）以点0为圆心，任意K为半径画孤，分别三边分别相等的

交OA,0B于点C,D两个三角形全

<2>前条射线P0,以点P为阴心，0C氏为半等；全等三角形

径画瓠，交P0「•点C'的对应用相等;

2.作一个角等于已知<3）以P为圆心，CD《为半径画瓠，。第两点确定♦条H

（2）步中所画的祠相交于点D'线

向

。

44（4）过点P、P画射线PB',则/B'P0=

ZBOC

（1）以直o为网心,适当匕为¥衿两融.交

0A于点M,交0B于点N.

（2）分别以点M、N为网心，大的

3.作一个角的平分线长为华径画孤，两弧在NAOB的内部交丁•点

C.

（3）通出射线0C,射线0C即为所求

到线段两个端点

C1.分别以点A、B为国心，以大于的长

距内相等的点在

A.为半径作强，两弧相交于、两点;

•-BACD

八2.作直线CD,CD为所求直线这条线段的垂H

4.作条垂直平分线平分线上；两点

确定一条直线

点在直（1）以。为阴心，适当长为。径通灵,交汽线等腰三角形“三

P

线上线合一”；两点

于点A