湘教版八年级数学上册-提公因式法（分层练习）

1.2提公因式法分层练习（学生版）

基础过关练

题型一找公因式

1.将多项式6//-3/63因式分解时，应提取的公因式是（）

A.3//B.3abC.3。2bD.3//

2.多项式2“T_4X，（刑,"均为大于1的整数）各项的公因式是（）

A.4xm-'yx-'B.2xm-}yn-]C.2xmynD.4xmyn

3.把多项式4犬歹7-12922-6冷/分解因式时，应提取的公因式是（）

A.叩B.2xyC.2乎D.2x2y2z2

4.将多项式-4/+16/+12a分解因式，应提取的公因式是（）

A.4/B.4a2C.-4a2D.4a

5.多项式-&竟声+口^^—今一田的公因式是（）

A.一切zB.TxVjC.4平D.-x^y^3

6.用提取公因式法因式分解54工-），）-1昉（工-y）,提出的公因式应当是（）

A.5a-IObB.5a+106C.5(x-y)D.NT

7.将%（y-x）用提公因式法分解因式，应提的公因式是（）

A.3a—bR.x-yC.3(x-y)D.^a+b

8.下列多项式中，没有公因式的是（）

A.a(x+y)和(x+y)B.32(。+〃)和(-。+b)

C.35(x—.力和2(x-y)D.(3。-38)和6(b-a)

题型二提公因式法分解因式

9.把下列各式分解因式正确的是（)

A.-0=^(/+^y)B.9xyz-6x~y2=31yz(3-2xy)

C.3a2x-6Z)x+3x=3x((z2-2b)Dn.-1xy2+-1-v2y=-1xy(/x+y)\

10.把-a(x-y)-6(y-x)+c(x-v)分解因式,正确的是()

A.(x_y)(一〃-8+c)B.-(x-^)(r/-/>-c)

C.-(x-y)(a-h+c)D.-(x-y)(a+b-c)

第1页共22页

1.2提公因式法分层练习（学生版）

11.分解因式:

3323

(1)3x+x;(2)7X3-21X2;(3)Sab-\2abc+ab.

12.把下列各式因式分解:

(1)-20aSax；(2)-4a3b3+6a2b-2ab;(3)-100%+15庆2-20加小

13.因式分解:

⑴x(x-城-y(y-x『；(2)(x+y)2(x-y)+(x+y)(x-y)；

(3)n(x-y)"+\5x(y-x)\(4)2(.r-2y了(x+29+3(2y-x)(x+2力；

题型三利用提公因式法分解因式变形求值

14.三知二=2x+y=4,贝！j12y+＞的值是（）

A.8B.-8C.2D.-2

15.已知〃J+/=25,m”=12,则〃〃J+机，的值为（）

A.-84B.84C.±84D.300

16.巳知实数x,yf满足丹-封2=20,xy=5f则工-夕的值为.

17.如图，长宽分别为。、6的长方形周长为16.面积为⑵则。（"8）（。-力）-。（。+”的值为（）

b

A.193B.-192C.384D.-384

第2页共22页

1.2提公因式法分层练习(学生版)

18.先因式分解,再计算求值：4x(w-2)-3x(m-2),x=1.5,w=6.

2D22

19.2知：a-b=-202\-ab=-^.求—+2020的值.

题型四利用提公因式法分解因式变形进行简便运算

20.利用因式分解计算2024x2025-2024?等于()

A.1B.-2024C.2024D.2025

21.计算32x2024+42x2024+72x2024的结果为()

A.2024B.20240C.202400D.2024000

22.(-2广+(-2严计算后的结果是()

A.22023B.-2C.—22023D.-1

23.(⑹必+(-8)2°”能被下列数整除的是()

A.3B.5C.7D.9

24.简便计算:

20253-20252-2024

(1)21x3.14+62x3.14+1.7x31.4；(2)

20253+20252-2026

能力提升练

题型一利用提公因式法分解因式变形证明整除问题

25.若〃为正整数，试说明2〃(〃+1)-〃(2〃-4)一定能被3整除.

第3页共22页

1.2提公因式法分层练习(学生版)

26.【阅读材料】用“割尾法'’判断一个三位数能否是7的整数倍.

方法：三位数而割掉末位数字C得两位

举例：对于三位数364,割掉末位数

数ah，再用ah减去c1的2倍所得的差为注：

字4得36,36-4x2=28,因为28是7

ab-2c,若出)-2c是7的整数倍,则ahc是abc-100。+10〃+。

的整数倍，所以364是7的整数倍.

7的整数倍.

(1)尝试用“割尾法噢断455能否是7的整数倍.

(2)材料中的判断方法是“若五一2°是7的整数倍，则正是7的整数倍”，请证明这种方法的正确

性.

27.命题“若〃是自然数，则代数式(3〃+1)(3〃+2)+1的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你

认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明.

题型二提公因式法分解因式变形的错题复原问题

28.下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题.

a1(ni-n)+b2(n-m)

解：原式=/(/“-〃)+〃(加-〃)..............第一步

=(/„-«)(a2+Z?2)...............第二步

=(m-n)(a-b)(a+b)...........第三步

(1)小颖的因式分解过程从第步开始出现错误；

(2)请写出正确的因式分解的过程.

第4页共22页

1.2提公因式法分层练习(学生版)

拓展培优练

29.(1)已知。+8=2,ab=2,求2q%+2<7〃的值；

变式题本质相同：逆向思维

若实数力满足a+b=5,a2b+ab2=-10,则的值为.

(2)己知方程组[广二厂3求代数式(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)的值.

30.阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：

分解因式：1+X+X(X+1)+X(X+1)2.

解：原式=(1+X)+X(l+X)十%(1十4

=(l+x)[l+x+x(l+x)]

=(l+x)[(l+x)(l+x)]

=(l+x))

(1)上述分解因式的方法是,共应用了次；

(2)分解因式：l+x+x(l+x)+i(l+x『+x(l+x)’；

(3)猜想：l+x+Ml+x)+x(1+J+…+x(1+x)”分解因式的结果是.

31.【新定义】如果。，人都是非零整数，且。=弘，那么就称。是“4倍数1

【验证】嘉嘉说：10()2_962是“4倍数”，淇淇说：12x11+9x11-19x11也是“4倍数1通过简便计算

判断他们说得对错？

【证明】设三个连续偶数的中间数是2〃(〃是整数)，通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4

倍数”.

第5页共22页

1.2提公因式法分层练习（学生版）

32.【观察思考】

毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数.如图1,当小石子的数是1,3,6,…

时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数.如图2,当小石子的数是1,4,9,…时，小石子

能摆成正方形，这些数叫正方形数.

第1个第2个第3个第4个第1个第2个第3个第4个

图1图2

【规律发现】

（1）图1中，第〃个三角形数是；图2中，第〃个正方形数是；（请用含〃的式子表

示）

【猜想验证】

（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：1+3=4,6+10=16,请证明:

任意两个相邻三角形数之和是正方形数.

第6页共22页

1.2提公因式法分层练习（解析版）

基础过关练

题型一找公因式

1.将多项式6"方-3力/>3因式分解时，应提取的公因式是（）

A.3//B.3abC.3a2bD.

【答案】A

【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最

低次慕，据此即可求解.

322322

【详解】解：6ab-3ab=3ab（2a-b）t

故6。万-3〃方因式分解时，应提取的公因式是3/〃，

故选:A.

2.多项式（用，。均为大于1的整数）各项的公因式是（）

A.产7B.2xm-]yn-'C.2xmynD.4xmyn

【答案】B

【分析】此题主要考查了公因式，直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式.

【详解】解:2xV1-4xw-y=2xm-lyn-\x-2y）,

・••各项的公因式是

故选B.

3.把多项式4//2-12»2-6书屋分解因式时，应提取的公因式是（）

A.VzB.2盯C.2xyzD.2x2y2z2

【答案】C

【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键.公因式的确定方法：各项

系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幕的积.

【详解】解：把多项式4//Z-12孙%-6平2分解因式时，应提取的公因式是2.3,

故选：C.

4.将多项式-4/+161+12。分解因式，应提取的公因式是（）

A.4/B.4a2C.-4a1D.4。

【答案】D

【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键.

根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次累，进行求解即可.

第7页共22页

1.2提公因式法分层练习（解析版）

【详解】解：-4/+16/+12。=4。（-。2+4。+3）,

・•・应提取的公因式是4a,

故选：D.

5.多项式-8凸力+12k53-24/田的公因式是（）

A.一盯zB.-4x3/z3C.4xyzD.-x3^3z3

【答案】C

【分析】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母

取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可.

【详解】解：多项式-8/户+129%3-24丁尸2的公因式是4xyz,

故选：C.

6.用提取公因式法因式分解”|丁-田-106（%-田，提出的公因式应当是（）

A.5iZ-10/>B.5a+10bc.5（x-y）D.y-x

【答案】C

【分析】本题主要考查公因式的定义，提取公因式，把。-歹）看作一个整体，（x-V）就是各项公共

的部分，也就是公因式.整体思想的利用比较关键.

【详解】解：5a（x-y）-\Ob（x-y）=5（x-y）（a-2b）.

所以公因式是5（・y）.

故选：C.

7.将3。（工-#-泌（y-x）用提公因式法分解因式，应提的公因式是（）

A.3a-bB.x-yC.3（x-y）D.3a+b

【答案】C

【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的

定义：多项式*+P〃+pc的各项都有一个公共的因式P,我们把因式〃叫做这个多项式的公因式；

需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母,

还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的

一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项

的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）

的指数的最低次幕.

根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案.

第8页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

【详解】解:将3。(》-力-%(工-外用提公因式法分解因式,应提的公因式是3(工-力，

故选：C.

8.下列多项式中，没有公因式的是()

A.“x+y)和(x+y)B.32(a+/))和(一。+3c.和2(工一歹)D.(3"-3力)和69一“)

【答案】B

【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键.根据公因式的定

义可得答案.

【详解】解：A、4》+#和(x+y)有公因式(x+y),不符合题意；

B、32("“和(-"6)没有公因式，符合题意;

C、35(x-y)和2(A»有公因式(x-y),不符合题意;

D、(3。-3与和6(方-〃)有公因式3("/)),不符合题意;

故选：B.

题型二提公因式法分解因式

9.把下列各式分解因式正确的是()

A.4-。=》俨+町,)B.9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)

C.3a2x-6bx+3x=3x^a2-2/))D.-xy(x+y)

【答案】D

【分析】本题考查提公因式分解因式，熟练掌握用提公因式法分解因式是解题的关键.

按提公因式号分解因式并判定A；按提公因式3盯分解因式并判定B;按提公因式3x分解因式并判

定A；按提公因式《个分解因式并判定A；

22

【详解】解：A.xy-xy=xy(y-x)f原计算错误，故此选项不符合题意;

22

B、9xyz-6xy=3x)^z-2x^f原计算错误，故此选项不符合题意；

C、3八-6云+3X=3X(/_2"1),原计算错误，故此选项不符合题意;

D、?、_/+?，),=:孙(.丫+田，正确，故此选项符合题意；

z22

故选：D.

10.把一。(工一月一〃(歹—x)+c(x—y)分解因式，正确的是()

A.(x-y)(-a-b+c)B.

第9页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

C.-{x-y)(a-h+c)D.-(x-y)(a+h-c)

【答案】B

【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意

提取符号时，各项符号得变化.

将一。(彳一歹)一b(y-x)+c(x—y)变形为-a(x-y)+“x-y)+c(x-y),再提公因式即可.

【详解】解：-a(x-y)-b(y-x)-c(x-y)

=(.r-^)+/>(x-y)+c(x-y)

=(x-y)^-a+b+c)

故选：B.

11.分解因式：

(1)3x+x3;

(2)7x3-21/;

(3)8a3b2-l2ab3c+ab.

【答案】(1)工(3+巧

(2)7X2(X-3)

(3)ab^a2b-l2b2c+])

【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟记利用提公因式法分解因式的方法是解决问题的关键.

(1)利用提公因式法分解因式即可得到答案；

(2)利用提公因式法分解因式即可得到答案；

(3)利用提公因式法分解因式即可得到答案.

【详解】(1)解：3x+/

=%(3+/)；

(2)解：1X3-21X2

=7X2(X-3)；

(3)解：Serb2-12ab3c+ab

="(婷b-12/c+l).

12.把下列各式因式分解：

第10页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

(1)-20〃-1Sax；

(2)-4。/+6/6-2"；

(3)-\0a2bc+\5bc2-20ab2c.

【答案】(1)一5a(4+3x)

(2)-2aK2a2b2-3a+\)

(3)-5bc(2a2-3c+4ab)

【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法.

(1)利用提取公因式法直接分解因式即可；

(2)利用提取公因式法直接分解因式即可；

(3)利用提取公因式法直接分解因式即可.

【详解】(1)解：-20a-15ax

=-5M4+3x)

(2)-4ayb'+6a2b-2ab

=-2ab(2a2b2-3a+\)

(3)-\0a2bc+\5bc2-20ab2c

=-5bMa2-3c+4ab)

13.因式分解:

(1)x(x-y)2-y(y-x)2-

(2)(x+y)'(x-y)+(x+y)(x-y)；

(3)12(x-y)^+15x(v-x)2；

22

(4)2(x-2y)(x+2y)+3(2y-x)(x+2y).

【答案】⑴(x-4

(2)(x+>')(x-^)(x+y+l)

(3)3(.r-y)2(9x-4y)

(4)(2y-x)(x+2y)(\Qy+x)

【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式进行因式分解成为解题的关键.

(1)先凑出公因式(y-力2,然后直接提取公因式即可解答；

(2)直接提取公因式。十#G-力即可解答;

第11页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

(3)先凑出公因式3(》-)，)\然后提取公因式，最后整理即可解答；

(4)先凑出公因式(2y-x)(x+2y),然后提取公因式，最后整理即可解答.

【详解】(1)解：x(x-y)2-y(y-x)2

=x(x-yf>-y(x-y^

=(x-y)2(x-y)

=(r-.y)J.

(2)解：a+y『(x-y)+(x+y)(x-y)

二(f)(x-y)(x+y+l).

(3)解：12(1-田3+154(N一司2

=12(.v-y)5+15x(x-y)2

=3(x-»[4(x-y)+5x]

=36-y)2(9x-4y).

(4)解：2(x-2y)2(x+2y)+3(2)，-x)(x+232

=2(2y-x)2(x+2y)+3(2y_x)(x+2yj

=(2j，r)(x+2J，)[2(2y-x卜31+2y)]

=(2y-x)(x+2y)(4y-2x+3x+6y)

=(2y-x)(x+2y)(10y+x).

题型三利用提公因式法分解因式变形求值

14.E1知孙=-2,X+J，=4,贝Ij/y+xy2的值是()

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】B

【分析】本题考查了提公因式法分解因式，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

先提公因式肛因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解.

【详解】解：:号=-2,x+y=4,

x2y+xy2-xy(x±y)--2x4-S,

故选：B.

第12页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

15.Z2知阳*+“2=25,mn=12,则〃〃?'+机、的值为()

A.-84B.84C.±84D.300

【答案】D

【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的因式分解，先整理用/+=

把〃/+〃2=25,加=12代入计算，即可作答.

【详解】解：:25,〃姑=12,

=«?〃(〃'+m*2)—12x25=300,

故答案为：D.

16.已知实数x,〃满足/7-92=20,个=5,则工-V的值为.

【答案】4

【分析】本题考查的是利用提公因式的方法分解因式，求解代数式的值，由条件可得

O-xy2=xy(x-j0=20,再把孙二5代入计算即可.

【详解】解：x2y-xy2=xy[x-y)=20.

5=5,

/.x-y=20+5=4,

故答案为4.

17.如图，长宽分别为。、6的长方形周长为16.面积为12,则。(a+b)(a-b)-a("”的值为()

i

b

A.193B.-192C.384D.-384

【答案】B

【分析】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解.根据题意得出"6=8,必=12,

然后将整式因式分解化简整体带入求解即可

【详解】解：・・•边长为。，6的长方形周长为16,面积为12,

/.a+/?=—=8,ah=12,

2

则a(a+b)(a-b)-a(a+b)~

=a(a+8)[(〃—力)一(a+6)]

=a(a+b)(-2b)

第13页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

=-2ab(a+b)

=-2x12x8

故选：B.

18.先因式分解，再计算求值：4x(m-2)-3x(m-2),x=1.5,w=6.

【答案】皿〃-2),6

【分析】本题考杳因式分解求俏，直接提取公式因式分解，再代入求解即可得到答案.

【详解】解：4x(〃1-2)-3x(”?-2)

=x(m-2)(4-3)

=.¥(77;-2),

把x=L5,=6代入得,

原式=L5x(6—2)=6.

2f)22

19.已知：u-b=-2O2\-ab=-^.求/匕一仍2+2020的值.

【答案】-2

【分析】先求解黑，再把/人加+2020化为外(4-6)+2020,再整体代入计算即可.

2022

【详解】解：:a-b=-202\,-ah=-

2021

2021

/.a2b-ab2+2020

=ab(a-6)+2020

—,(-2021)+2020

2021''

=-2022+2020

=-2.

【点睛】本题考直的是因式分解的应用，掌握''利用提公因式法分解因式，再整体代入求解代数式

的值”是解本题的关键.

题型四利用提公因式法分解因式变形进行简便运算

20.利用因式分解计算2024x2025—2024?等于()

A.1B.-2024C.2024D.2025

【答案】C

第14页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

【分析】本题考查了提公因式法进行分解因式，先整理原式2024x(2025-2024),再运算括号内，即

可作答.

【详解】解：2024x2025-20242=2024x(2025-2024)=2024,

故选：C.

21.计算32x2024+42x2024+72x2024的结果为()

A.2024B.20240C.202400D.2024000

【答案】C

【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解后，进行计算即可.

【详解】解：原式=2024x(3,42+72)

=2024x(9+42+49)

=2024x100

=202400.

故选：C.

22.(一2)2+(-2-”计算后的结果是()

A.22023B.-2C.一22°23D.-1

【答案】A

【分析】该题主要考查了因式分解的应用，直接提取公因式22必，进而得出答案.

［详解］解：(-2)2024+(-2)2023=22024-22023=2X22023-22023=22023,

故选：A.

23.18)如+(-8广$能被下列数整除的是()

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】本题主要考查因式分解，将2025拆成2024+1是解本题的关键.

先将算式因式分解，找到含有选项的因数即可.

【详解】解：解8产+(-8产

=(-8产+(-8严晨(-8)

=(-8IM24X(1-8)

=-7W

・••能被7整除.

第15页共22页

1.2提公因式法分层练习（解析版）

故选；C.

24.简便计算:

(1)21x3.14+62x3.14+1.7x31.4；

⑵20253-2025?-2024

’20253+20253-2026,

【答案】(1)314

【分析】本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用，

（1）先提出公因式数3.14,然后在进行计算即可;

（2）先将分子和分母分别进行因式分解，再进行计算即可;

利用提公因式法进行因式分解是解题的关键.

【详解】⑴解:21x3.14+62x3.14+1.7x31.4

=3.14x(21+62+17)

=3.14x100

=314；

（2）20253-20252-2024

20253+20253-2026

_2025?x（2025-1）-2024

-20252x（2025+1）-2026

2024X（20252-1）

-2026X（20252-1）

1012

"1013,

能力提升练

题型一利用提公因式法分解因式变形证明整除问题

25.若〃为正整数，试说明2〃（〃+1）-〃（2〃-4）一定能被3整除.

【答案】见解析

【分析】此题考查因式分解的运用，首先利用提取公因式法进行因式分解，根据数据特点，进一步

证得结论即可.

【详解】解:原式=2小+1）-2〃（〃-2）

=+1-〃+2)

2〃x3,

第16页共22页

1.2提公因式法分层练习（解析版）

・・・2〃（〃+1）-〃（2〃-4）一定能被3整除.

26.【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍.

方法：三位数而割掉末位数字C得两位

举例：对于三位数364,割掉末位数

数瓦，再用益减去C的2倍所得的差为注：

字4得36,36-4x2=28,因为28是7

ab-2c,若ab-2c是7的整数倍,则abc是abc=100a+10/>+c

的整数倍，所以364是7的整数倍.

7的整数倍.

（1）尝试用"割尾法''判断455能否是7的整数倍.

（2）材料中的判断方法是“若益-2c是7的整数倍，则正是7的整数倍”，请证明这种方法的正确

性.

【答案】（1）是，理由见解析

（2）证明见解析

【分析】本题主要考查了列代数式，分解因式及其应用，解题关键是正确理解题意.

（1）按照已知条件的举例和方法进行解答即可；

（2）按照多位数的表7K方法表不出a6c和,利用是7的整数倍,设ab-2c=\0a+b-2c=7k

（左为正整数），得10。+6=74+2°,再整体代入/=100"10A+<7=10（10。+人）+。即可解决.

【详解】（1）解：对于三位数455,割掉末位数字5得45,

45-5x2=35,

因为35是7的整数倍，

所以455是7的整数倍；

（2）解：由题意，得：abc=1OOtz+10/>+c，ab-2c=\0a+b-2c

・・•法-2c是7的整数倍,

设直-2c-lOa+Z?-2c，=74（%为正整数），

\0a+b=lk+2c,

abc=100a+106+<?

=10（10a+6）+c

=10（7k+2c）+c

=70k+21c

=7（10^4-3c）,

・・・正是7的整数倍.

第17页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

27.命题“若〃是自然数，则代数式(3〃+1)(3〃+2)+1的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你

认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明.

【答案】真命题，证明见解析

【分析】要判断命题是真命题还是假命题，只需代数式是否能分解成含因数3的整式.

【详解】命题是真命题，理由如下：

(3〃+1)(3〃+2)+1

=9M2+9H+2+1

=9〃2+9〃+3

=3(3/+3〃+1),

由〃是自然数可知，3〃、3〃+1是自然数，

则3(犷+3〃+1)是3的倍数，

即代数式(3〃+1)(3〃+2)+1的值是3的倍数，

，命题是真命题.

【点睛】本题考查命题与定理、因式分解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

题型二提公因式法分解因式变形的错题复原问题

28.下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题.

a1(〃?-〃)+力2(n-m)

解：原式=a?(“-〃)+/(〃L〃)..............第一步

22

=(/W-/?)(«+A)................第二步

=(m-n)(a-b)(a+b)...........第三步

(1)小颖的因式分解过程从第步开始出现错误；

(2)请写出正确的因式分解的过程.

【答案】(1)一

(2)(力-〃)(a+b)("b),过程见解析

【分析】本题考查了因式分解、平方差公式：

(1)公因数不同，所以第一步出现错误；

(2)根据因式分解计算即可；

正确计算是解题的关键.

【详解】(1)解：a2(m-n)+b2(n-ni)

第18页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

=a2(»7(w-

=,

・•・在第一步就出现了错误，

故答案为：一；

(2)解：a2(m-n)+b2(n-m)

=a2(m-n)-tr(w-n)

=)

=(m-n)(a+b)(a-b),

拓展培优练

29.(1)已知a+b=2,ab=2,求2a2/>+2a/的值；

变式题本质相同：逆向思维

若实数。，力满足。+%=5,a'b+ab1=-10,则。力的值为.

(2)已知方程组［J'?”；,求代数式(2x+y)(2."3y)+3x(2x+j，)的值.

5工一3y=-2

【答案】(1)8；变式题：-2；(2)-6

【分析】本题考查因式分解，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握提公因式法分解因式.

(1)利用提公因式先将2a2"2必2变形为2"(a+b),再将〃+b=2,仍=2代入求解，即可解题；

变式题：根据a%+R/=M(a+b)将"6=5代入求解，即可解题；

(2)利用提公因式先将(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)变形为(2%+力(5%-3历,再将2》+y=3,5x-3y=-2

代入求解，即可解题.

【详解】解：(1)2a2b+2ab2=2ab(a+b).

把a+6=2,ab=2代入上式，

原式=2x2x2=8.

变式廖a2b+ab2=ab(a+b)=-\0,a+b=5,

5ah=-\0,B|Jah=-2,

故答案为：-2.

(2)原式=(2x+y)(2x-3y+3x)=(2x+y)(5x-3y).

把2x+y=3,5x-3y=-2代入上式，

原式=3x(-2)=-6.

第19页共22页

1.2提公因式法分层练习(解析版)

30.阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：

分解因式：l+x+x(x+l)+x(x+l)2.

解：原式=(l+x)+x(l+x)+x(l+x/

=(1+x)[l+x+x(l+x)J

=(l+x)[(l+x)(l+x)]

=(11x)3-

(1)上述分解因式的方法是,共应用了次；

(2)分解因式：l+.r+x(l+x)+x(l+x)2+x(l+.r)'；

(3)猜想：l+x+.r(l+x)+.Y(l+A)2+---+x(l+x)n分解因式的结果是.

【答案】(1)提公因式法，2

(2)(1+x)4

(3)(l+x)”"

【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法以及多次使用提公因式的方法是

解题的关键.

(1)由题干提示的分解因式的方法可得答案；

(2)逐步提取公因式(1+x),从而可得答案：

(3)逐步提取公因式(1+x),从而可得答案.

【详解】(1)解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次.

故答案为：提公因式法，2；

(2)原式=(1+%)+%(1+十)+%(1+%)2++(1+4)3

=(l+x)[l+x+x(l+x)+x(l+x)]

=(1+X)[1+X+X(1+X)]

=(l+x)2[(l+x)(l+x)]

=(l+x),；

(3)原式=(1+》)+彳(1+%)+X(1+》)-+-・+