广西钦州市2025-2026学年高一年级下册期末教学质量监测数学试题（试卷+解析）

2026年春季学期高一期末教学质量监测

数学

（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字

笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，请将答题卡上交.

4.本卷主要命题范围：北师大版必修第二册第一章〜第四章、第六章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.下列各角中，与2170。终边相同的是（）

A.10°B.110°C.-10°D.-110°

2.cos(a+/7)sin/?-sin(a+〃)cos4=()

A.-sin/?B.sin/?C.sinaD.-sincr

3.已知向量1=(8,2),6=(6,九)，若2〃(万一〃)，则实数4=()

33_

A.-B.--C.1D.—1

22

jr771

4.已知一扇形的圆心角为；，面积为二则该扇形的弧长为：）

33

3兀2717t

A.2兀B.——C.D.-

2T2

5.己知tana二=5，则sin2a+cos2a-)

11113

A.B.—C.D.3-

262655

6.如图，VWOZ'是水平放置的平面图形△408按照斜二测画法得到的直观图，若O'4=3,

0'8'=8,则△408的周长为（）

7.如图，正四棱锥尸—4BCO的所有梭长均为2五，〃为梭PC的中点，N为棱P4上一动点、,则三棱

锥N-5DM的体积为（）

士

AB

84

A.-B.8C.4D.-

33

8.己知△dBC是锐角三角形，f自4,B,。的对边分别为。，b,c•，且

T^cosC+asinC-®>=0c=2,点、D在边BC上,且丝二£,则/£）的取值范围为（）

DCb

a-[fTb-[-孚可C.律,叫D.但明

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知。£（0,兀），sin^+cos^=—,则下歹J结论正确的是（）

.__60•八八17

A.sincos（9=----B.sin<9-cos<9=---

16913

C.日加八12

D.tan^=—

5

10.已知函数/（x）=0sinxcosx+J5cos2;V--,则下列结论正确的是（）

2

<3、

A./（x）的最小正周期为兀B./（x）的图象关于点-71,0对称

（87

C./（X）在区间-g，°上单调递增D.若/仁=：，则sin2a=-1

11，。x

11.如图，在直四棱柱ZBCQ—481GA中，ABLAD,ABI/DC,AB=AD=DD]=2,

。。=4,点石为的中点，点M为线段。出上的动点，则（）

A.BD1BC

B.8E〃平面4。。/

C.//+MC的最小值为2后

D.三棱锥4-45C外接球的表面积为44兀

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

ZX/2>

12.已知函数〃x）=tanOX+2（0〉0）的最小正周期为2兀，则/—=.

13.如图，四边形48C。是矩形，且加9=2,40=1,M,N分别为48,CO的中点，将四边形

AMND沿着MN折起，使得平面ADNM1平面BCNM，则折起后直线DM和NB所成角的大小为

14.窗花是贴在窗户•上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之•，上图是•个正八边形窗花隔断，该正八

边形48co七FG”的边长为I,P是正八边形力8COER7H内的动点（含边界），则"•（逐-的

最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.如图，在四棱锥£一力8。。中，点P是BE中点，DE工平面48CD,底面48c。是正方形,

DA=DE=2.

(1)求四棱锥E-43c。的体积;

(2)求证：DE〃平面P4c.

16.已知函数/(x)=2cos2-1.

(1)求/(x)的最小正周期及对称中心坐标；

(2)求函数/(X)在区间彳,另上的最大值与最小值.

『4(n\

17.已知cosa=一一，且不兀.

5【2)

sin(2TI+«)-2cos(3n-6r)

(1)求.(兀)./、/、的值：

sinl—+al-sin(7t-a|+cos(-ez)

(2)已知,且sin(a+〃)=9,求sin/7的值.

\2y13

18.已知△ZBC的三个内角4,B,C的对边分别为mb,c,向量历二(Jisin4-sinC,sin力一sin8),

万=(Q+〃,C),且而/历.

(1)若a/BC外接圆的半径为血，求岳

(2)若a=，b=6.

①求4

②若△NBC是锐角三角形，点G为平面内一点，且晶+G与+2元=0,求△G/8的面积.

19.如图，在四边形力4c。中，.44=8,8C=4近，40=8=4,且4。_LQC.将△D4C沿着4c

翻折成二棱锥?一力8。•日〃A=4JJ.

(1)求证：8C_L平面尸NC；

(2)求直线04与平面R4C所成角的正弦值;

(3)求二面角P——C的余弦值.

2026年春季学期高一期末教学质量监测

数学

(试卷满分：150分，考试时间：120分钟)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字

笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，请将答题卡上交.

4.本卷主要命题范围：北师大版必修第二册第一章〜第四章、第六章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.下列各角中，与2170。终边相同的是()

A.10°B.110°C.-10°D,-110°

【答案】A

【解析】

【详解】因为2170°=10°+6x360°=-350°+7x360°,

结合选项知与2170°终边相同的是10。.

2.cos(cr+/?)sin/?-sin(<74-/?)cos^=()

A.-sinPB.sin/?C.sinaD.-sina

【答案】D

【解析】

[详解]cos(<7+/?)sin/?-sin(6if+/7)cos/?=-[sin(<z+^)cos/?-ccs(<2+^)sin/?]=-sin[(«+/?)-/?]=-sin«.

3.已知向量5=(8,2),5=(6,7),若刃/(万一B),则实数4=()

33

A.—B.—C.1D.—1

22

【答案】A

【解析】

【详解】由题意得,”6=（2,2-孙

a

则8（2—4）=2x2,得几=：

4.己知一扇形的圆心角为四，面积为三，则该扇形的弧长为（）

33

3n2兀n

A.2兀B.—C.—D.-

232

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件，可得弧长、半径和圆心角的关系，结合面积公式,即可得答案.

【详解】设扇形的半径为小弧长为/,

,71

I=—xr

3

则＜,c，解得/«=2,

11H271

S=—//•=-x—xr2=——

2233

LL,,,7T-2兀

所以/=—x2=—.

33

5.已知tana=5，则sin2a+cos?a=()

11113一3

A.——B.—C.一D.0-

26265

【答案】B

【解析】

【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角公式即可求解

【详解】因为311。=*吆=5,所以5布。=585。,

cosa

sma=5cosa,1,25

联立《.,2,»解得C5<a=—,siira=一

sirra+cosa=12626

所以sin2a+cos2a=2sinacosa+cos2a=10cos2a+cos2a=\\cos2a=11x-=-

2626

6.如图，VH。'9是水平放置的平面图形△408按照斜二测画法得到的直观图，若。%'=3,

0'8'=8,则△408的周长为（）

A.18B.20C.22D.24

【答案】D

【解析】

【分析】由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解.

【详解】由直观图可得，在△。力8中，。4=2。'4=6,。8=0归'=8,且。力_LOB,

所以4B=JO42+OB2=10,

所以aONB的周长为6+8+10=24.

7.如图，正四棱锥p的所有棱长均为2、汇，M为棱尸。的中点，N为棱刃上一动点，则三棱

锥的体积为（）

84

A.-B.8C.4D.-

33

【答案】D

【解析】

【分析】由等积法匕VMDM=匕-8.=嗫-/皿进行求解・

【详解】连接力。交8。于点石，再连接如图所示：

则点f为4C的中点，得为△P4C的中位线，得EM//PA,

而EMu平面BDM，PAU平面BDM，得PAH平面BDM，

连接PE,因为在正四棱锥P—48c。中，所以尸E_L平面48CO,

Vxxx2

V=^wABD=-P^D=---^x272x2=-.

vA-BDM

贝IVN-BDMJVT-/\nUor~"AnlJ2323

8.已知△ABC是锐角三角形，角4,B,C的对边分别为。，b,c,且

JizcosC+QsinC—辰=0,c=2,点。在边8c上，且器=三,则4。的取值范围为（）

C.亍，亍,

【答案】C

【解析】

71

【分析】根据边角互化及三角恒等变换可得/8%。二一，再在△49。与△4CQ中，分别用正弦定理可得

3

NBAD=j根据△力片。中的正弦定理及三角函数性质可得取值范围.

6

【详解】在△/IBC中，由正弦定理及GzcosC+QsinC—后=0可知

J5sinZBACcosC+sinZ^CsinC-VJsinB=0，

又在△NBC中，sin=sin(Z.BAC+C)=sin/BACcosC+cosZ.BACsinC,

则石sinNB/ICcosC+sinNB/CsinC-V3(sinZ.BACcosC+cosZ.BACsinC)=0,

即sinZBJCsinC-y/3cosZ.BACsinC=0，

又A/BC为锐角三角形，ZBAC,B,CE(0,]),sinBwO,sinC^O,

即5抽/84。=635/8/。，1@!1/84。=6，即/助C=：，

BDAD

又在△ABO中，由正弦定理可得

sin/.BADsinZ.ADBsinA

CDb

在A4C。中，由正弦定理可得

sinZ.CADsinZ.ADC

又/ADB+NADC=兀，即sin=sinN4OC,且处二£

DCb

7T

可得sinN3/!Q=sinN。。，/BAD+NCAD=一,

3

则==所以N/Q8=乃一B-NBAD=空-B,

66

cAD

即.(5九sinB,

sin----B

I6

J/)=csin^2sinB4

[V31

sin|-—cos^+—sinB+6

I622tanB

0<T

又乙4台。为锐角三角形，C=TI—A—B,即《

2

解得—<B<—,则tan8€

62兴T

4（2亚4@

则/。二一^/

33

-----+。3v

tanB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

7

9.已知。€（0,兀），sin/9+cos6>=—,则下列结论正确的是（）

1

A.sin6>cos6>=--B.sin^-cos6»=-

16913

C.2■，兀D.tan^=—

（25

【答案】AC

【解析】

【详解】对于A,因为sin9+cos0=[,所以

13

49

(sin9+cose)~2=sin2^+cos28+2sin，cosg=l+2sin，cos£=---

'7169

所以sin6cos6=———,A正确;

169

对干B,C,因为。£(0,兀)，所以sin9>0,因为sinOcosOc0,所以cos<9<0,sin<9-cos>0

兀

所以-,7l,C正确;

(2)

(一也错误;

sin0-cos0=J(sinO-Cos。)?=Jl-2sin0cos〃=/l—2x

(169J13

sin^+cos^=—sin<9=—.

；13所以I，,所以tan$1n

对于D,因为《y,D错误.

5cos9

sing-cos”——cos<Z7l=---

1313

巨,则下列结论正确的是（

10.已知函数/(x)=^2sin.rcosx+V2cos2x)

2

（3、

A./（X）的最小正周期为九B./"）的图象关于点-7T,0对称

[8J

TT17

c./"）在区间-5,0上单调递增D.若/'y=-,则sin2a=-

39

【答案】ABD

【解析】

【分析】化简/（x）的解析式，得/（x）=sin（2x+：

,然后根据三角函数的周期性、单调性、对称性等

知识判断ABC,利用诱导公式和二倍角公式判断D.

【详解】函数/(x)=0sinxcosx+0cos2

=—sin2x+^-(cos2x+l)--

=sin2x4--,

22i72I4)

2兀

所以/a）最小正周期为7=《■=兀，A正确;

,/3兀、..3TI兀、._

f(—)=sin(—十一)=sin兀=0,

-844

3）

故f（x）的图象关于点三兀,0对称，B正确:

8

当了w,则2x+Je[一手百,

2J444

由于正弦函数在[-尊,-3单调递减，故/（外在-上单调递减,

42]_28_

正弦函数在单调递增，故/。）在-9,0上单调递增，

24o

It

即，(x)在区间-5,0上不单调，C错误；

由，匕后，即叫2x,+力叫a+力"

I•c(r兀)Lc.2，兀X八2'7

则sin2a=-cos2a+—=—l-2sina+—=-1——=——D正确.

<2JI\^))\9,9

II.如图，在直四棱柱45CQ-44GA中，ABLAD,ABI/DC,AB=AD=DD】=2,

。。=4,点E为的中点，点”为线段。田上的动点，则（）

：\"

A.BD1BC

B.BE〃平面4DDM

C.4M+A/C的最小值为2石

D.三棱锥片-48。外接球的表面积为44兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】取CQ中点为尸，连接B/，根据勾股定理即可判断选项A,取。口中点为尸，连接心,04,

利用平行四边形得到线线平行，进而利用线面平行判定定理判断选项B,根据力。的长，即可判断选项C,

利用底面外接圆圆心与球心位置美系，结合勾股定理即可判断选项D.

【详解】对于A,取CO中点为尸，连接8尸，

因为/B_L力。，ABHDC,AB-AD=DF=2=—DC,

2

所以四边形44"。是正方形，

所以引71。。，

所以BC=BD=>jAB2+AD2=2y[2，

所以+=co?,BDA.BC,A正确;

对干B,取。A中点为尸，连接P瓦产力，

因为点E为。C的中点,

所以尸E〃Z)C,且PE」DC=2,

2

所以PE〃肛PE=AB,

所以四边形48EP是平行四边形，

所以BE-AP,

又APu平面ADD14,BE<T平面ADD.A,,

所以BE〃平面B正确；

对于C，因为NCUJLQ'+QC?=12?+42=2小

所以当“在4C上时，满足4M+MC=26，

而点〃为线段。声上的动点，且4C与异面，

所以/团+MC不能为2石，C错；

对于D,如图，三棱锥中，Q为△46C外接圆圆心，，,为其半径,

AB?+BC?-AC?4+8-20&

在△/BC中，cosZ.ABC=---------------=--------产=-----»

2ABBC2x2x2722

所以480=135。,

AC二26今成

由正弦定理得，sin48c〜近,

所以〃二W，记球心。到平面15c的距离为方，球。半径为R,

则00]=h,OB\=0A=OB=OC=R,

在RtZ\O«/中，在=/+力2,

在用中，/?2=r2+(2-/7)2,

上式联立即可得到，h=T,

所以浦=r2+h2+12=11>

所以三棱锥片一45。外接球的表面积为4兀xl1=44兀，D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/(%)=tan(3x+()(°>0)的最小正周期为2兀，则

【答案】―6

【解析】

【分析】根据正切函数的周期性求得0=再求/(与)的值.

【详解】因为函数/")=tan(+yj(0〉0)的最小正周期为2兀,

所以T=—=2K,解得69=—,

0J2

即/(x)=tan

(23)

712兀

+—=tan——=-6

33

13.如图，四边形N5CQ是矩形，且/8=2,AD=1,M,N分别为49,CQ的中点，将四边形

AMND沿着MN折起，使得平面ADNM1平面BCNM，则折起后直线DM和NB所成角的大小为

【答案】60°（或巴）

3

【解析】

【分析】构造正方体，平移法将异面直线转化为相交直线，从而在三角形中求解角度.

【详解】根据题意，折起后4W=M8=8C=4O=ON=MV=1,

且平面NONA/_L平面4CMW,所有条件都符合棱长为1的正方体的局部结构，

我们可以直接将折起后的几何体补形为棱长为1的正方体，

所有边长、面面垂直关系都和正方体性质一致，

连接BP,NP,则由正方体的性质可知8P//DW,

-----------气

因此DM与NB所成的角等于BP与NB的夹角4PBN,

在.PNB中:NP=NB=BP=正=正，

因此△PN8是等边三角形，/PNB=60°，

结合异面直线所成角的范围（0,90］，可得直线。M和N8所成角为60。（即g）.

故答案为：60°.

14.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，上图是一个正八边形窗花隔断，该正八

边形4BCDEFGH的边长为1,P是正八边形力BCDEFGH内的动点、（含边界），则万•（而一场）的

最小值为

FE

AB

【答案】一①##一!也

22

【解析】

【分析】利用向量数量积的几何意义求解.

【详解】~AP{CB-CA]=7PH,

根据向量数量积的几何意义可知彳》/方等于NA在AB上的投影的数量与AB的模的乘积，

所以当点尸在G"上时，力..48的值最小，^j-ixcos—xl=-cos45°=-—

82

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.如图，在四棱锥E-N3CO中，点P是BE中点，DEL平面力BCD,底面45CO是正方形，

DA=DE=2.

（1）求四棱锥E-48CQ的体机;

（2）求证：DE〃平面P4c.

O

【答案】（1）-

3

（2）如图，连接8。交4C于点。，再连接。户，

•・•四边形45。。是正方形，是8。的中点,

又＜P是EB的中点，，OP〃DE,

又。£U平面产力C,OPu平面尸力C,

DE〃平面P4c.

【解析】

【分析】（1）根据棱锥的体积公式可求解.

（2）连接交NC于点0,再连接。。，结合中位线和线面平行的判定求证.

【小问1详解】

•「OE_L平面，底面43CZ）是正方形，且£M=OE=2,

।।8

^E-ABCD~§S正方形.a）,DE=-X22X2=--,

【小问2详解】

略.

16.已知函数/（X）=2cos±-1.

（1）求/（X）的最小正周期及对称中心坐标；

（2）求函数/口）在区间：,另上的最大值与最小值.

【答案】（1）T=K,—+—,0,kwZ

\82）

（2）最小值为-2,最大值为

【解析】

【分析】（1）首先化简函数解析式，进而根据公式可得最小正周期，由整体法可得对称中心坐标;

（2）结合整体法及正余弦函数的图象性质可求解.

【小问1详解】

I_nn

/'(x)=2cosx-+cos2x-l=2cos2x-

8l4JI4

27r

/(x)的最小正周期7二万=兀,

令2X一色=女兀+色，ksZ,解得x=+@

,kwZ,

4282

3兀kn

所以/(x)的对称中心的坐标为---F一,0,keZ；

I82

【小问2详解】

兀23兀.一c兀717157r

当工£时，有―

424443

,A兀兀715兀

当2x——G—,71时，/(x)单调递减：当—K,T时，/(X)单调递增,

44

当2%一7=7，即工=^时，/(")取得最大值，为/彳)二’^；

444

571

当21一百=兀，即1=彳时，/(x)取得最小值,为——|=-2

48kO7

综上，/⑴在:笥

上的最小值为-2,最大值为J5.

「j4(兀］

17.已知cosa二一二，且。兀.

5

sin(2兀+a)—2cos(3兀-a)

(1)求.71—sin(7r—a)+cos(—a)的值:

sm—+a

(2

,且sin(a+/?)=K，求sin/7的值.

(2)已知力

【答案】(1)专

⑵3

65

【解析】

【分析】(1)利用平方关系求出sina,再利用诱导公式化简求值即可;

（2）利用平方关系求出cos（a+/7）,将£表示为（。+4）-。，再利用差角的正弦公式计算即可.

【小问1详解】

4兀71/--

因为cosa=一4一，且ac—,n,所以sina=，l-

55

sin(2兀+a)-2cos(3兀-a)

所以

sin]+aJ-sin(兀一a)+cos(-cz)

3_8

sin«-2(-cosa)_sina+2cosa_555_

cosa-sina+cosa2cosa-sina

55

【小问2详解】

,nAf八兀1“一兀c3兀

因为as-,n,Pe0)-I,所以5<。+/?<彳,

(222

又sin(«+/?)=­，所以cos(a+/?)=-Jl-sin2(a+/7)=---

1313

由(1)知，sina=3,cos«=--

55

所以sinp=sin[(tz+/)-a]=sin(a+/?)cosa-cos(a+〃)sina

5412

=­x

135)\13；565

18.已知的三个内角力，B,。的对边分别为mb,c,向量而=（JIsin4-sinC,sinN-sin3）,

n=(a+b,c)t且比/方.

（1）若△/BC外接圆的半径为近，求b；

(2)才r0=3>/6>b=6.

①求力；

②若△N8C是锐角三角形，点G为平面内一点，且至+至+2元=0,求△G/B的面积.

【答案】（1）b=2

⑵①N或/年②¥

【解析】

【分析】（1）根据向量共线及正弦定理得出血农，-。2=/-〃，再结合余弦定理得出3=:，最后利用

正弦定理可得；

（2）①利用正弦定理可得；

②取线段48的中点为。，得出G为。。的中点，利用SMI8=；S=8C可求.

【小问1详解】

因为比〃万，所以（加sin月一sinC）c=（sin/-sin6）（a+h）,

由正弦定理得（0。-c）c=（。一力）（。+6）,即&"一/=/一/,

所以/+,2-62=缶。，所以cos8=止亡三=也竺="，

laclac2

因为0＜8＜兀，所以8==，

4

b=_b_=2五

由正弦定理得忑万一近一，所以〃=2；

T

【小问2详解】

,3766

aD=___

①因为a=3«,b=6,所以由正弦定理：—~~~■，得sin/•兀，

sinAsinBsin—