苏科版九年级数学上册：反比例函数的图象与性质（基础达标）

1.2反比例函数的图象与性质

基础达标题

题型一画反比例函数的图象

1.画出下列函数的图象：

⑴y=5

（2）v=-y.

【答案】⑴解:列表:

11

X-2-112

~22•••

11

V・・・-1-221

22•••

描点、连线画出函数y=§的图象如图所示:

X•・•-5-4-2245•••

5_5

25-5-2

y•••2~2

描点、连线画出函数y=-弓的图象如图所示:

2.已知反比例函数y=：(k工0)的图象的一支如图所示，它经过点(3,-2).

⑴求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支;

(2)求当y45,且y。0时自变量"的取值范围.

【答案】(1)丫=一：，图见解析：

(2)%<一晟或%>0.

【详解】(1)把点(3,-2)代入y=V(kH0),即一2=；

X

解得：k=-6,

•••反比例函数的表达式为y=-p

补充其函数图象如下：

列表格：

x(x<0)•••-1-2-3-6•••

6

・・・6321・・・

(2)由图象得:

当x>0时，y<0,

•••y<5,

当y=5时，-：=5,

解得

则0VyW5时，x<-1,

二当y<5,且yw0时，x<一;或%>0.

3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点4、8的坐标分别为(0,1)、(4,1),反比例函数y=：(k>0)

的图象经过正方形45CD的中心.

⑴求反比例函数表达式：

(2)画出函数y=：(k>0)的图象，若图象与力B的延长线交于点E,与CD交于点F,连接力尸，EF,求尸的

面积.

【答案】(l)y=9

(2)图见解析，^AEF的面积为12

【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，画反比例函数的图象，熟练掌握相关知识是

关键.

(1)根据正方形的性质求出点C的坐标和点。的坐标，进而求出正方形4BCD的中心的坐标，代入反比例函

数的表达式，计算出k的值；

(2)使用描点法画出反比例函数的图象，根据反比例函数的表W式求出点E的坐标，进而求出尸的面

积.

【详解】(1)解：•••4(0,1),8(4,1),

=4,

•••四边形ABCD是正方形，

'-AB=BC=CD=AD=4,

•••点C的坐标为(4,5),点。的坐标为(0,5),

二正方形/WCD的中心的坐标为(2,3),

将点(2,3)代入y=：(k>0),得，

3=-,

2

解得k=6,

・••反比例函数表达式为y=%

(2)解.：反比例函数的图象如图所示，

将)，=1代入y=得,

1=-,

X

解得％=6,

•••点£的坐标为(6,1),

-'-AE=6,

SMEF="£MD=；X6X4=12.

4.己知y是3的反比例函数，且当％=m时，y=-4.

⑴求该反比例函数的表达式；

（3）当一4<x<一1时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为

【答案】⑴y=—：；

（2）填表、画图见解析；

（3）6.

【分析】（1）利用待定系数法可•求得反比例函数的解析式：

（2）先完成表格，再描点、连线；

（3）结合图象即可得到y的最大值.

【详解】（1）解：Yy是％的反比例困数，

•,•设y=H0）,

,当》=用寸，y=-4,

••.—4=解得：k=-6,

2

该反比例函数的表达式为y=-：；

A

（2）解：列表:

X•••-6-3-2-11236…

y・・・1236-6-3-2-1•••

描点:

连线：

画图象如下,

（3）解：根据函数图象可知函数y的最大值为：当％=-1时，y=-5=6,

故答案为：6.

题型二通过反比例函数图象求解析式

1.如图，该图像对应的函数表达式可能是（）

44Y

A.y=—-B.y=—4xC.y=-D.y=--

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数的图像.根据函数图像的形状和所处的位置判断即可.

【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像，

•••佟像位于第二、四象限，

•••对应的函数的解析式可能是y=-%

故选:A.

2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=：（kHO）的图象如图所示，则k的值可能是（）

A.-2B.IC.2D.6

【答案】D

【详解】解：由题意可得：攵的取值应该满足：（-2）x（-2）V/cV3x3,即4VkV9,

所以A的值可能是6：

故选：D.

3.反比例函数y=的图象如图所示，则k的值可能是（）

A.6B.10C.-5D.-1

【答案】A

【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知2x2=4,-3x=9,

结合图象得4y,

只有A选项在此范围内.

4.反比例函数y=：（A工0,x>0）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则Z的值可能为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【详解】解：由题图可知，当％=1时，y=y>3,即k>3,

当父=3时，y=^<2»即kV6,

•••3<fc<6.

选项中只有4在此范围内，

M的值可能为4.

题型三由反比例函数图象对称性求点的坐标

I.如图，双曲线y=§与直线y=mx相交于4,8两点，若点力的坐标为(1,2),则点B的坐标为(

【详解】解：•••双曲线y=5与直线y=相交于4B两点，

•••点4、8关于原点对称，

••,点力的坐标为(1,2),

•••点8的坐标为(一1,一2).

故选:A.

2.如图，若直线y=mx与双曲线y=£的一个交点坐标为(1,-3),则其另一个交点坐标是()

A.(1,3)B.(3,1)C.(-1,-3)D.(-1,3)

【答案】D

【详解】解：由题意知，

•反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称，

两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称，

,•・直线y=mx与双曲线y="的•个交点坐标为(1,一3),

X

•••另一个交点的坐标为(一1,3),

故选：D.

3.如图所示，点4(1,m)是反比例函数y=：上一点，点8是点/关于直线y=》的对称点，则△408的面积为

【详解】解：•.•点A(l,m)在反比例函数y=:的图象上，

4.

•••771=-=4,

・••点A的坐标为(1,4).

如图，过点工作AMly轴，过点8作8N1%轴，设直线y=x与4B交于点C.

••,直线y=4平分/xOy,

:/MOC=Z-NOC.

•••点B是点力关于直线y=x的对称点，

•••0C是力8的垂直平分线，

•-AO=BO,Z.AOC=Z.BOC,

•••乙40M=乙BON,

又4AM。=乙BN0=90°,

：.^AOM三△BON(AAS),

：.AM=BN=1,OM=ON=4,

延长M4,NB交于点、D,则。(4,4),

:・S4AOB~16—x1x4x2—x3x3=

222

4.如图，过原点的直线与反比例函数y=>0)的图象交于工(m,ri),8(TH-2,7i8)两点，则k的值为

【详解】解：•••过原点的直线与反比例函数y=£(k>0)的图象交于71(m,72),B(m2,n-8)两点,

・••点A与点8关于原点0对称，

点A和点8的横纵坐标互为相反数，

m+(zn-2)=0，n+(n-8)=0>

解得m=1,n=4,

二WL4),

把川(1,4)代入丫=：,得4=：,

解得k=4.

题型四反比例函数的增减性

1.若点4(%],-4),8(必,2),C(%3,5)都在反比例函数y=：的图象上，则％i，的的大小关系是()

A.x3<Xj<x2B.xr<x3<x2

C.Xj<x2<x3D.x2<x3</

【答案】B

【详解】解：•.•y=?中，2>0,

•••图象在一、三象限，在各象限，y随4的增大而减小，

v-4<。，U<2<5,

*"•Xj<0,0<XgV%2，

••%VX3V%2・

2.已知反比例函数y=下列说法错误的是()

A.当“<0,y的值随上•值的妈大而增大

B.图象必经过点(1,2)

C.图象是轴对称图形，也是口心对称图形

D.图象分别位于第二、四象限内

【答案】B

【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键.根据反比

例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可.

【详解】解：A、•••一2<0,.•.每个象限内y随着x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意：

B、当％=1时，y=-2,所以图象必经过点(1,-2),故本选项错误，符合题意；

C、反比例函数y=图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确，不符合题意；

D、•.」2<0,图象分别位于第二、四象限内，故本选项正确，不符合题意；

改选：B.

3.反比例函数y=—3当x>0时，y随x的增大而.(填“增大”或“减小”)

【答案】增大

【详解】解：二,反比例函数y=-=,-4<0,

A

二双曲线过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；

故当》>0时，y随x的增大而增大.

4.已知点力(1,%),8(爪,丫2)在反比例函数V=；的图象上，若、1>及，写出,个满足条件的m的值.

【答案】2（答案不唯一）

【详解】解：由反比例函数y=：,可得k=3>0,

••・函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随4的增大而减小，

将父=1代入y=得=：=3,

当n<。时，点8（m,y2）在第三象限，此时为<0<3=%,满足y1>y2»

当n>0时，点B（m,y2）在第一象限，由%>为结合反比例函数增减性可得m>1，

••.m满足m<0或m>1即可，

・•.取符合条件的值m=2.

题型五判断反比例函数图象所在象限

1.关于反比例函数y=：下列说法中错误的是（）

A.当“<0时，y随工的增大而减小B.图象位于第一、三象限

C.点（一4,一0.5）在函数图象上D.当时，y<-2

【答案】D

【详解】解：：反比例函数y=:中，k=2>0,

二函数图象位于第一、三象限，选项B正确；

且在每个象限内，y随工的增大而减小，

VA-<0对应第三象限，

・••当XV0时，y随工的增大而减小，选项A正确；

将无=一4代入解析式，得、=二二一0.5,与点的纵坐标一致，

-4-

点（一4,一0.5）在函数图象上，选项C正确；

当彳=-1时，y=-=-2,

>•<OH'J,y随x的增大而减小，

:.当％V-1时，y>—2,

因此D错误选项.

2.反比例函数y的图像可能是（）

【详解】解：••・反比例函数y=三中，々=3>0,

X

•••该函数的图像位于第一、三象限，即选项A符合题意.

3.反比例函数y=-一的图象分别位于（）

A.第一、第三象限B.第一、第四象限

C.第二、第三象限D.第二、第四象限

【答案】D

【详解】解：y=一些中，/^=-2026<0,

反比例函数y=—-的图象位于第二、第四象限.

4.点P（2,-5）在反比例函数y=£的图象上，则该函数图象所在象限为（）

A.一、三象限B.二、四象限

C.一、二象限D.三、四象限

【答案】B

【详解】解：将点P（2,—5）代入反比例函数y=三得上二一10,

,:k——10<0,

.••反比例函数的图象在第二、四象限.

题型五求反比例函数解析式

1.如果反比例函数y=?的图象经过点（一1,-2）,则k的值是（）

A.0B.4C.-3D.-4

【答案】A

【详解】解：：反比例函数y=g的图象经过点(一1,一2),

、2-k

.2=—>

解得k=0.

2.在反比例函数y=：(A<0)中，当1WXW3时，函数y的最大值和最小值之差为2,贝味=()

A.-6