2027高考数学复习：立体几何中的探索性问题

专题09立体几何中的探索性问题

【方法总结】

解决立体几何中的探索性问题的途径

解决探索性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如

果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而

对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.

考点一探究平行问题

【例题选讲】

|例1](2018•全国川)如图，矩形48CQ所在平面与半圆弧曲所在平面垂直，M是配上异于C,。的

点.

(1)证明：平面4WD_L平面3MC.

(2)在线段4W上是否存在点P,使得MC//平面P8O?说明理由.

解析(1)由题设知，平面平面力8C。，交线为CD.

因为BCLCD,〃Cu平面48CQ,所以8cL平面CMO,所以

因为M为＜1。上异于C,。的点，且QC为直径，所以QM_LCM.

又BCnCM=C,所以QM_L平面BMC.因为OMu平面AMD,所以平面4W)_L平面BMC.

(2)当夕为4W的中点时，〃平面P8O.证明如下：

连接力。交6。于。.因为四边形48。。为矩形，所以。为的中点.

连接OP,因为P为4W的中点，所以MC〃OP.

又MCU平面P6Q,。尸u平面尸4。，所以MC〃平面尸以).

[例2](2019•北京)如图，在四棱锥夕一川?CO中，R1_L平面44CO,底面44C。为菱形，E为。。的中

(1)求证：8O_L平面以C；

(2)若NX8C=60。，求证：平面以8_1_平面RJE；

(3)棱P8上是否存在点R使得b〃平面处E?说明理由.

p

解析(1)因为必_L平面48cO,&)u平面48CO,所以以_L8O.

因为底面为菱形，所以8QJ_4C.又Hn/C=/1,所以BO_L平面R1C

(2)因为R1J_平面力4CO,/lEu平面4BCD,所以必_1_4£

因为底面力3。。为菱形，ZABC=60°,且上为CO的中点，

所以力E_LCO.又因为44〃CO,所以/3_L/1£又所以/K_L平面

因为/l£u平面以上，所以平面以4_1_平面/ME.

(3)棱上存在点E,使得b〃平面以E.理由如下：

取尸8的中点扛刃的中点G,连接C凡FG,EG,则/G〃48,且产G=148.

2

因为底面48CQ为菱形，且七为CO的中点，所以CE〃力8,且氏

2

所以FG〃CE,且产G=CE.所以四边形CEG尸为平行四边形.所以C/〃EG.

因为CRZ平面以，EGu平面以E,所以C/〃平面E4E.

[例3](2016•北京)如图，在四棱锥。一力3c。中，PC_L平面44C'。，AB//DC,DCLAC.

(1)求证：QC_L平面arc.

⑵求证：平面总8J_平面以C

(3)设点E为44的中点，在棱P3上是否存在点凡使得巴〃平面CEr?说明理由.

解析(1)因为PC_L平面48CQ,所以PC_LOC.

又因为。C_L4C,SLPCC\AC=Ct所以。C_L平面均C.

(2)因为48〃OC,OC_L4C,所以48J_4C.因为PC_L平面为8CQ,所以PCL/18.

又因为PC"1C=C,所以/JB_L平面为C.又48u平面以8,所以平面以8J_平面刃C.

P

B

4E

(3)棱尸8上存在点F,使得以〃平面CEN.理由如下：

取PB的中点3连接E尸，CE,CF.因为E为的中点，所以〃必.

又因为P4C平面CER且EFu平面CEF,所以以〃平面CM.

［例4］(2014•四川)在如图所示的多面体中，四边形43乱4和/CG小都为矩形.

(1)若/C_L8C,证明：直线8C_L平面力。。|小；

(2)设。，E分别是线段AC,CG的中点，在线段48上是否存在一点使直线。七〃平面小MC?

请证明你的结论.

解析(1)因为四边形力8S4和力CG小都是矩形，所以力用_L/4,AAxLAC.

因为/出，/C为平面4SC内两条相交的直线，所以力小_1_平面力4c

因为直线4CU平面/出C,所以/4i_L3C.

又由已知，ACVBC,44和力。为平面力CG4内两条相交的直线，所以4C_L平面力CC4.

(2)取线段的中点M,连接4",MC,JiGACi,设点。为小C,4G的交点.

由已知，点。为力G的中点.连接MD,OE,则MZ),OE分别为△48C,△/1CG的中位线，

所以A/。414C,OE幺14C,因此统OE.连接从而四边形MDEO为平行四边形，则。七〃"O.

22

因为直线。平面小MC,〃OU平面小MC,所以直线〃平面小MC.

即线段AB上存在一点M(线段48的中点)，使直线。£〃平面4.MC.

［例5］如图，在四棱锥「一X8CQ中，△必。为正三角形，平面&Z)_L平面川比Q,AB//CD,ABLAD,

CD=2AB=2AD=4.

(1)求证：平面PCDI平面PAD：

(2)求三棱锥P—ABC的体枳；

(3)在棱PC上是否存在点E,使得8£〃平面玄。？若存在，请确定点£的位置并证明；若不存在，

请说明理由.

p

解析(1)因为力8〃CO,ABVAD,所以CQ_L4Q.

因为平面PADI平面ABCD,平面2/力G平而ABCD=AD,所以CDI平面PAD.

因为COU平面PC。，所以平面尸CO_L平面以D

⑵取力。的中点。，连接P0.因为△刈/)为正三角形，所以

因为平面R1O_L平面力BCO,平面"OA平面48CQ=/Q,P0<=平面以力,

所以POJ_平面力8。。，所以PO为三棱锥产一/3。的高.

因为△孙。为正三角形，CD=2AB=2AD=4t所以尸0=3.

所以展按d8C=；S%8c•PO=；X；X2X2X3=23.

(3)在棱PC上存在点E,当£为尸。的中点时，BE〃平面弘D.

分别取b,C。的中点&f，连接BF,EF,所以EF//PD.因为CD=2AB,

所以44〃/。，所以四边形力EU)为平行四边形，所以8/〃NO.

因为BFCEF=F,4DCPD=D,所以平面BEb〃平面PAD.因为BEU平面BEF,所以BE〃平面PAD.

［例6］如图1,已知菱形4EC。的对角线4C,DE交于点F,点、E为AB中点.将△力。£1沿线段。七折

起到△2/5月的位置，如图2所示.

(1)求证：OE_L平面PCT；

(2)求证：平面P8C_L平面PCr；

(3)在线段尸。，8c上是否分别存在点"，M使得平面CEM〃平面PEN?若存在，请指出点M，N

的位置.，并证明；若不存在，请说明理由.

图1图2

解析(1)折霞前，因为四边形/EC。为菱形,所以力CJ_。已所以折叠后，DE1PF,DE1CF,

又PFCCF=F,PF,CFL平面PCE所以。f_L平面尸CT.

(2)因为四边形力ECD为菱形，所以QC〃/凡DC=AE.

又点E为48的中点，所以DC〃E8,DC=EB,所以四边形。E8C为平行四边形，所以C8〃OE.

又由(1)得，OE_L平面PC凡所以C8_L平面PCr.因为C8U平面P8C,所以平面P8C_平面尸CK

(3)存在满足条件的点M,N,且M,N分别是PO和8c的中点.

如图，分别取PO和8c的中点M,N.连接EMPN,MF,CM.

因为四边形。E8C为平行四边形，所以EF〃CN,EF='BC=CN,

2

所以四边形ENCE为平行四也形，所以FC//EN.

在△POE中，河，尸分别为PD,。£的中点，所以MF〃PE.

又EN,PEU平面PEN,PECEN=E,MF,CEU平面CEW,M/n。尸=尸,

所以平面CFM〃平面PEN.

【对点训练】

I.(2016•四川)如图，在四棱锥Q一力BC。中，PAA.CD,AD//BC,ZADC=ZPAB=90°,BC=CD=)D.

(1)在平面距。内找一点使得直线CM〃平面为8,并说明理由；

(2)证明：平面以AJ_平面P&D.

‘工

AD

1.解析(1)取棱力。的中点平而R1。)，点”即为所求的一个点.理由如下：

因为4O〃8C,BC=XAD,所以BC〃AM,且8c=4",所以四边形4WC8是平行四边形，

2

从而CM〃AB.义4BU平面以B,CM2平面以8,所以CM〃平面以£

G兑明：取棱尸。的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

K

AMD

(2)由已知，PA工AB,PA±CD,因为AD//BC,所以直线48与C。相交.

所以以_L平面48CD,从而PAtBD.连接因为AD〃BC,BC=XAD,

2

所以4C〃A/O,且BC=MD.所以四边形8CQM是平行四边形.

所以BM=CD=、AD,所以BD工AB.^ABOAP=A,所以6O_L平面力18.义BDJ平面PBD,

2

所以平面平面PBD.

2.如图，在四棱锥产一中，底面为梯形，AB//CD,ABLBC,AB=2,PA=PD=CD=BC

=1,而%。，面48CO,E为力。的中点.

(1)求证:PALBDx

(2)在线段48上是否存在一点G,使得8c〃面PEG?若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理

由.

2.解析（1）取力8的中点产，连接OF.・・・。。〃力8且OC=；48,:・DC〃BF且DC=BF,

；・四边形BCO厂为平行四边形，又48_L8C,8C=CO=1,J四边形8COb为正方形.

在Rt^W/7。中，・：DF=AF=1,：.AD=2,在RtzXBCQ中，*：BC=CD=\,:.BD=2,

•:AB=2,；・AD2+BD2=”2,：.BDLAD,

•・・6Ou面ABCD,面P4DCI面4BCD=/iD,面心。_1面

・・・8。_1面以。，:/Mu面以D,：,PALBD.

(2)在线段48上存在一点G,满足/G=0从即G为力产的中点时，BC〃而PEG,证明如下:

4

连接EG,•・•£为4。的中点，G为力尸中点，:.GEHDF,

大BC,：.GE//BC,〈GEu面PEG,BCt而PEG,〃面PEG.

3.如图，在四棱锥P—48CZ)中，PO_L平面48CO,底面力8CZ)为正方形，BC=PD=2,E为PC的中点,

CB=3CG.

⑴求证：PCLBC；

(2)4。边上是否存在一点使得以〃平面M£G?若存在，求出4W的长；若不存在，请说明理由.

3.解析(1)因为PQJ_平面48CO,BCU平面力BCD,所以尸0_18c.

因为四边形力8CO是正方形，所以8C_LCQ.

又PDCCD=D,PD,COU平面尸C。，所以8C_L平面尸CQ.

因为PCU平面产力C,所以PC_L4C.

p

(2)连接力C,8。交于点。，连接E。，GO,延长GO交彳。于点M,连接EM,则h〃平面时EG.

证明如下：因为E为PC的中点，。是4c的中点，所以E。〃以.

因为反?仁平面MEG,24a平面MEG,所以24〃平面A"G.因为△OCG04O4M,

77

所以4A/=CG=：所以4U日勺长为:

4.在四楂锥产一/4C。中，底面力4。。是边长为6的菱形，且N/14C=60。，以_1_平面/14CQ,PA=6,F

是棱21上的一动点，E为PD的中点.

(1)求证：平面8QP_L平面4CR

(2)若4/=2,侧面必。内是否存在过点£的一条直线，使得直线上任一点M都有CM〃平面8。凡若

存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

4.解析(1)由题意可知，R1_L平面/4CO,则又底面打气?。是菱形，

所以4O_L/1C,PA,力C为平面以C内两相交直线，

所以BD上平面R4C,8。为平面8O/7内一直线，从而平面8Z/_L平面力。立

(2)侧面PAD内存在过点E的一条直线，使得直线上任一点W都有CM〃平面BDF.

设G是玄的中点，连接£G,CG,OF,则=平面CEG〃平面班小，

[CG//OF

所以直线EG上任一点"都满足CM〃平面BDF.

5.如图，四棱锥尸一44。。中，尸。，平面力4。。，底面44CO为矩形，PD=DC=4,AD=2,£为尸C的

中点.

(1)求三棱锥为一包花的体积；

(2MC边上是否存在一点使得以〃平面EDW?若存在，求出4W的长；若不存在，请说明理由.

P

5.解析(1)因为PO_L平面力8cO,所以PQ_L4。.又因力BCD是矩形，所以WQ_LCO.

因「。GCO=。，所以力O_L平面PC。，所以“。是三棱锥［一POE的高.

因为£为PC的中点，且PO=QC=4,所以S“DE=1SJDC=1XLX4X4)=4.

22

11Q

又AD=2,所以VA—PDE=^^PDE=X2X4=.

P

(2)取力。中点M,连接EM,DM,因为£1为PC的中点，河是X。的中点，所以反必〃RI.

又因为EMU平面EDU,P4(Z平面EDM,所以孙〃平面

所以4M=)C=5.即在4c边上存在一点M,使得以〃平面EDW,4M的长为5.

2

6.如图，在四棱锥S一48c。中，已知底面48C。为宜角梯形，其中/1O〃4C,NB4D=9。。,S4J_底面

2

ABCD,SA=AB=BC=2.tanZSDJ=.

3

(1)求四棱锥S-ABCD的体积：

(2)在棱SO上找一点£,使CE〃平面S/18,并证明.

7

6.解析（1）・・・5月_1_底面/也（?。，1211/5。4=；,SA=2,：.AD=3.

由题意知四棱锥S—48C。的底面为直角梯形，且S4=/I8=8C=2,

VS-ABCD=।xS/x1&BC+AD）xAB=1x2xjx（2+3）x2=10.

32323

s

(2)当点E位于棱SD上靠近0的三等分点处时，可使CE〃平面SAB.

取SQ上靠近。的三等分点为E,取S4上靠近力的三等分点为扛连接CE,EF,BF,

贝UE尸BCg'D,:、BCHEF、：,CE//BF.

又・.・8户U平面SZ8,CEC平面弘8,・・・C£〃平面S48.

7.如图，四棱锥P-48C。的底面48C。是圆内接四边形(记此圆为的，且为_L平面/8CQ.

(1)当4。是圆沙的直径时，PA=BD=2,AD=CD=3,求四棱锥夕一/1BC。的体积.

(2)在(1)的条件下，判断在棱以上是否存在一点。，使得8。〃平面0C0?若存在，求出4。的长：若

不存在，请说明理由.

7.解析(1)因为8。是圆邛的直径，所以8力_1_4。，因为8D=2,AD=3,所以48=1.

同理8。=1,所以S唳叫4伙?/)=力8弘。=3.

194

因为21_L平面力8c。，PA=2,所以四棱锥/MB。。的体积P=；S,皿,"8以=:

7

(2)存在，/Q=；理由如下.

延长力4,。。交于点瓦连接PE,则平面以4与平面PCQ的交线是尸£.

假设在棱刃上存在一点Q,，吏得8Q〃平面PCQ,则8Q〃?E,所以"Q="8.

PAAE

7

经计算可得8£=2,所以4E=AB+BE=3,所以4Q=；

故存在这样的点Q,使8Q〃平面PCQ,且4Qnj

8.如图，在四棱锥尸一W8CO中，AB//CD,AB=2CD,£为〃8的中点.

(1)求证：CE〃平面以Q；

(2)在线段48上是否存在一点R使得平面以。〃平面。以可若存在，证明你的结论，若不存在，请

说明理由.

H

I)C

8.解析(1)证明：取功的中点〃，连接£〃，DII.因为K为77?的中点，所以£〃〃月)，E!I=YAB,

入AB〃CD,CD=AB,即以EH〃CD,EH=CD,因此四边形。是平行四边形，林认CE〃DH,

2

义OHU平面刈。，CEQ平面R1。，故CE〃平面以。.

(2)存在点尸为的中点，使平面以。〃平面C£尸.证明如下：

取力4的中点厂，连接C£EF,所以4尸=。4,又CD=L1B,所以4F=CD,

22

比AFHCD、所以四边形4R：。为平行四边形，因此CE〃4D,又CRt平面玄O,所以〃平面玄。,

由(1)可知"〃平而玄，又CEAC尸=C,故平面CEE〃平面以，故存在48的中点尸满足要求.

9.如图，在直四棱柱48CO—48iG9中，已知DC=DDi=24D=2AB,AD1DC,AB//DC.

(1)求证:DiC±JC1;

(2)问在校CO上是否存在点上，使。£〃平面430.若存在，确定点E位置；

9.解析(1)在直四棱柱48CO—481Goi中，连接G。，・・・。。=。。，・••四边形。CG。是正方形，

/.DCi±DiC.又力。_LDC,4O_L。。］,DCCDDLD,，月。，平面。CG。，又。CU平面。CG。，

：.ADLD\C.•・【OU平面4DG,OGU平面力QG,且力O1QG=O,.•・QC_L平面力QG,

又力GU平面4。。|,：.D\CYAC\.

(2)假设存在点七，使。】石〃平面彳归。.连接力Oi,AE,01M设4。0小。="，

BDCAE=N,连接MV,'・•平面力。］ED平面=要使。।上〃平面力由。，可使MN〃D】E,

又“是力。】的中点，则N是4E的中点.又易知AABN^AEDN,：.AB=DE.即七是。C的中点.

综上所述，当上是QC的中点时，可使DE〃平面4BD.

1(),如图，在多面体/14CQEF中，四边形/4CO是梯形，AB//CD,AD=DC=CB=a,ZABC=60%四

边形/1CFE是矩形，且平面/CF£J_平面/"CQ,点”在线段针上.

(1)求证：4CJ_平面力CF2：

(2)当为何值时，/M〃平面8。尸？证明你的结论.

1().解析(1)证明：在梯形49co中，因为AB〃CD,AD=DC=CB=a,N/18C=6()。,

所以四边形力是等腰梯膨，且NOC%=N。4C=30。，NOC'8=120。，

所以N4C4=/。(方一NQC4=90。，所以《C_L8c.

又平面4CFEJ_平面力8co,平面/C此Cl平面14CQ=/1CBCu不面ABCD.

所以8C_L平面力

(2)当EM=；a时，4W〃平面BDF,理由如下：

如图，在梯形力8C。中，设/CnA/)=N,连接尸M

由(1)知四边形力8co为等腰梯形，且//8。=60°,所以48=2OC,则CN：N4=1：2.

24

易知EF=4C=3a,所以4N=a.因为EM=a,所以MF=EF=4,所以MF触AN,

3333

所以四边形力NEW是平行四边形，即以AM//NF,又NFu平面BDF,平面BDF,

所以4W〃平面BDF.

II.如图I,在矩形44c。中，/4=4,AD=2,"是C。的中点，将△力。月沿4E折起，得到如图2所示

的四棱锥。1—其中平面。〃E_L平面/4CE.

(1)证明：4£_L平面

(2)设尸为。。的中点，在线段48上是否存在一点M,使得〃平面。4石，若存在，求出"?的值;

AB

若不存在，请说明理由.

11.解析(1)连接8E,・・・48C。为矩形且4O=OE=EC=8C=2,AZAEB=90°t即

又平面O〃E_L平面48CE,平面DMEC平面力BCE=4E,BEU平面4BCE,.・.8E_L平面。

(2)AM=XAB,取OiE的中点L,连接/L,FL,*：FL//EC,EC//AB,：・FL〃4B且FL='AB,

44

，A/,F,3力四点共面，若MA/平面力。化，则M/〃/L

・・・4WZ为平行四边形，，幺故线段48上存在满足题意的点M,且'M=L

4AB4

12.如图(1),在正中，E,尸分别是力从AC边上的点，且BE=AF=2CF.点、P为边BC上的点,

将△4E/沿厅'折起到的位置，使平面小EE_L平面8EFC,连接小8,AREP,如图(2)所示.

(1)求证:AiELFP；

(2)若8P=8E,点K为棱力尸的中点，则在平面4b上是否存在过点K的直线与平面,4出E平行，

若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.

⑴⑵

12.解析(1)在正△力8C中，取8E■的中点。，连接OF,如图所示.

因为BE=4F=2CF,所以力尸=40,AE=DE，而/力=60°,所以△力为正三角形.

又力E=DE,所以EF上力。.所以在题图(2)中，JiElEF,

又从EU平面4EF,平面力出凡L平面且平面小EFH平面BEFC=EF,

所以4E上平面BEFC.因龙尸PU平面8EFC,所以4E_L”.

(2)在平面小F尸上存在过点K的直线与平面小BE平行.

理由如下：

如题图(1),在正^力^。中，因为BP=BE,BE=4F,所以BP=4F,所以FP〃4B,所以FP〃BE.

如图所示，取4尸的中点M,连接A/K,因为点K为棱4尸的中点，所以MK〃尸P.

因为FP//BE,所以MK〃BE.因为MKQ平面4BE,BEU平面小BE,所以"K〃平面/出£

故在平面小"上存在过点K的直线MK与平面4iBE平行.

考点二探究垂直问题

【例题选讲】

［例1］如图所示，平面4月CQL平面BCE,四边形43CO为矩形，BC=CE,点产为CE的中点.

(I)证明：4E〃平面BDF；

(2)点例为CO上任意一点，在线段力E上是否存在点尸，使得凡W_L8E?若存在，确定点P的位置,

并加以证明；若不存在，请说明理由.

AD

解析(1)连接力。交8。于点O,连接。F.

•・•四边形。。是矩形，,。为/C的中点.又F为EC抛中点、，：.OF//AE.

又OFU平面BDF,4EU平语BDF,.FE〃平面BDF.

(2)当点P为jE的中点时，有PM上BE,证明如下：

取BE的中点、H,连接QP,PH,CH.・・・。为4E的中点，H为BE的中点,：.PH//AB.

头ABHCD、：.PH//CD,：.P,H,C,。四点共面.

•:平面”CD上平面BCE,且平面48COn平面8CE=8CCDLBC,

CQU平面48C。，••・O)_L平面BCE.又BEU平面BCE,...CDLBE,

":BC=CE,且〃为BE的中点，：.CH±BE.

又CHCCD=C,且CH,CQU平面OP〃C,:・BE上平面DPHC.

又PMU平面DPHC,・・.PM_L8E.

［例2［在四棱锥中，底面4BC£＞是正方形，AC与BD交于点、O,及:,底面A9CO,点产为

BE的中点.

(1)求证：力E〃平面力ca

(2)若月4=2CE,在线段£0上是否存在点G,使CG_L平面8。£?若存在，求出g的值：若不存在,

请说明理由.

E

DA

解析(1)证明：连接。£由四边形48C。是正方形可知点。为8。的中点.又F为BE的中点、,

即以OFUDE.又。/U平面/。七DEQ平面4CF,所以〃平面力CE

(2)存在点G,此时EG=L证明如下：

E02

若CG上平面BDE,则必有CG_LOE,于是作CG_LOE于点G.

因为EC_L底面力8CO,所以BD工EC,又底面力8c。是正方形，所以4。，力C,

又ECC/C=C,所以BD工平面4CE.而CGU平面力CE,所以CG±BD.

5LOEQBD=O,所以CG_L平面8。七.又4B=2CE,所以CO=2AB=CE,

2

所以点G为E0的中点，所以EG=L

EO2

［例3］如图(1),在Rt△48c中，ZC=90°,D,E分别为4C,48的中点，点”为线段CD上的一点,

将△4QE沿OE折起到△4QE的位置.，使小尸_LCQ,如图(2).

(1)求证：〃平面4C9

(2)求证：AxFLBEx

(3)线段力山上是否存在点0,使小C_L平面OE。？请说明理由.

解析(1)因为。，£分别为.4C,的中点，所以。后〃8c.

又因为。网平面4c8,8CU平面小C8,所以。E〃平面小C8.

(2)由题图(1)得力C_L8C.且OE〃8C,所以OE_L/1C.所以。E_L4。，DELCD.

所以。E_L平面4DC.而4/U平面4OC,所以。£_1_小凡又因为小/<LCO,

所以力/_L平面8CDE,又BEU平面BCDE,所以小尸3_8反

(3)线段小5上存在点0,使小C_L平面。E0.理由如下：

如图,

分别取4C,小8的中点P,。，则尸Q〃8C.又因为DE//BC,所以DE//PQ.

所以平面。石。即为平面OEP.由(2)知，OEJ_平面4QC,所以

又因为尸是等腰三角形力4c底边4c的中点，所以小CJ-OP.所以小CJ■平面力EP.

从而由CJ•平面OE。.故线段/由上存在点Q,使得4cL平面。石Q.

［例4］如图，在三棱柱力〃。-441G中，侧棱/小_1底面力AC,M为棱/C的中点.AB=BC,AC=2,

AA\=2.

(1)求证：8c〃平面由8M：

(2)求证：4G_L平面小8M：

(3)在棱〃田上是否存在点M使得平面力。〉_1_平面/小CC?如果存在，求此时的值；如果不存

BB\

在，请说明理由.

解析(1)连接力81与小B,两线交于点。连接

在△卅力。中，VM,。分别为4C',力为的中点，B\C,

又〈OMu平面小用“，81az平面小・・.8IC〃平面小BM.

(2):侧棱44I_L底面力8C,3WU平面力BC,

又为棱力。的中点，AB=BC,：，BMLAC.

'：AA\V\AC=Ay力小，ACU平面力CG4,平面力CCMI,

VJC=2,・・・4W=1.又・・・44尸2,・••在RtA4CG和Rd/li/lM中，

tanZJCiC=tanZJhW(4=2,AZJC)C=ZA\MAt

即N/GC+/C/C=N小朋彳+NC/C=90。，：,AyMA.AC}.

V^WnjiM=A/,BM,4A/u平面小8M,，/G_L平面48M.

(3)当点N为“勺的中点，即6N=1时，平面，CN_L平面/UCC.

BBi2

证明如F：

设力G的中点为。，连接DM,DN.:。，M分别为/G,4C的中点，：,DM//CC\且。

y2

又TN为的中点，:.DM//BN,且DM=BN,工四边形8NDW为平行四边形，:・BM〃DN,

・・・8M_L平面4CG小，・・・ON_L平面44CC.又「ONu平面4GN,，平面力GN_L平面,44GC.

【对点训练】

1.如图，三棱锥尸一48C中，Rf_L平面49C,PA=\,AB=\,AC=2,ZBAC=60°.

(1)求三棱锥尸一人8。的体积；

(2)在线段尸。上是否存在点M,使得4c_L8”，若存在，请说明理由，并求名的值.

1q

1.解析(1)由题设48=1,AC=2,NA4C=60。，可得S*8c60。=

由总_L平面/8C,可知处是三楂锥尸的高，又21=1,

14

所以三棱锥产一相。的体积尸.

36

(2)在线段产。上存在点M,使得力C_L8W,证明如下：

如图，在平面力AC内，过点B作4N_L4C,垂足为N.在平面以。内，

过点、N作MN〃PA交PC干M,连接&W.由以J_平面/8C,PALAC,所以,“N_LAC.

因为BNCMN=N,所以/1CJ_平面MBN,又平面MBN,所以ACLBM.

在RQ84N中，AN=ABcosZBAC=i,从ENC=AC-AN=，,由MN〃必，得°"="N=I.

22MCNC3

2.如图所示,已知长方体48cz)—4万G。，点Oi为GA的中点.

⑴求证:Z8i〃平面4。。；

(2)若力在线段8s上是否存在点E使得4cL4E?若存在，求出若不存在，说明理

3DD\

由.

2.解析(1)证明：如图1所示，送接力。交小。1点G,・・・。为的中点，逐接。G,在△月BiDi中，

•・・。1为8。的中点,：.0\G/7ABit•••。＞(=平面4。1。,且44以平面40。，

；・Z3〃平面40g.

图1图2

(2)若在线段8小上存在点E便得小连接力由交力E于点M,如图2所示.

•••8C_L平面川弘?1小，4EU平面ABBMi,：.BC±AE.

又・・・小。n6。=。，且4C,8CU平面小8C,,・.力£_1平面48。.

•・1i8U平面48C,：,AELA\B,

在△4WB和△W8E中，N8ZA/+N/8M=90°,NB4M+/BEA=90°,：.4BM=/BEA.

DrAD

:.RtAABEsRtAAMB,：.=.

ABA

774RFA

*：AB=AA:.BE=AB=BB\,即在线段上存在点£使得4C_L/1£,此时力”=工

3]t39BB\9

3.如图，已知三棱柱48。一4夕。的侧棱垂直于底面，AB=AC,N84C=90。，点M,N分别为©8和夕C

的中点.

(1)证明：MN〃平面/4CC；

(2)设44=/UH,当%为何值时，CN_L平面4MM试证明你的结论.

3.解析(1)如图，取力'"的中点E,连接ME,NE.

因为M,N分别为A'B和BC的中点，所以NE〃A，C',ME〃AA',又力‘C'u平面44CC,jNu平面AAVC,

所以ME〃平面/M'CC,N£〃平面44'C'C,所以平面A/M?〃平面44'C'C,

因为MNu平面MNE,所以A/V〃平面AA'C'C.

(2)连接8M设/4=〃，则由题意知8C=2〃，CN=BN=〃+]2a2,

因为三棱柱ABC-A7TC'的侧枝垂直于底面，所以平面力,B'Cl.平面BBCC,

因为48=力。，点N是夕C的中点，所以48'=©。，HNLBC,

所以A'NA.平面BB'C'C,所以CNIA'N,要使CN_L平面A'MN,只需CN_L6N即可,

>_i_^2a2l

所以CM+BMuAC2,即2.2J=222a2,解得2=2,故当Z=2时，CALL平面/TMM

4.如图，在四棱锥Q—45C'O中，48C。是正方形，PD上平面4BCD.PD=AB=2,E,F,G分别是尸C,

PD,4c的中点.

(1)求证：平面平面EFG；

(2)在线段04上确定一点°,使尸C_L平面力并给出证明.

4.解析(1)・・•在△PCO中，E,尸分别是尸C,PD的中点、，,EF〃CD,又「四边形力8CQ为正方形,

：.AB//CD,：.EF//AB,YEF(Z平面PAB,48U平面左心：.EF〃平面RIB.同理EG〃平面以8,

VEF,£G是平面EFG内两条相交直线，・•・平面以8〃平面ER7.

(2)当。为线段24的中点时，尸C_L平面力。。.取尸4的中点。，连接。氏EQ,AQ,。。，

,:EQ〃BC"AD,ZAD^QE,,四边形/0E0为梯形，

由尸。_1_平面力8C。，4QU平面力8C。，得4Q_LPO,

rADICD,PDCCD=D,PD,CZ)u平面尸。。，.・.4O_L平面尸又尸Cu平面尸QC,工％。，。。.

•••△PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，・・・OE_LPC,

VJD,OE是平面力。0内的两条相交直线，・・・PC_L平面4)0.

5.如图，在四棱锥P—48CO中，底面48co是菱形，ZDAB=30°,PD上平面4BCD,AD=2,点E为

力4上一点，且"*=〃?，点尸为夕。中点.

AB

(1)若/〃=；,证明：直线〃'〃平面尸EC；

(2)是否存在一个常数机，使得平面尸ED_L平面均8?若存在，求出加的值；若不存在，说明理由.

5.解析(1)如图作EW〃C。，交PC于点、M,连接

因为点E为尸。的中点，所以产因为用=1，所以/E=，4B=FM,

222

入FMHCD"AE、所以四边形力£必/为平行四边形，所以/尸〃EM,

因为力网平面P£C,EMu平面PEC,所以直线平面PEC.

(2)存在一个常数〃?=；,使得平面尸£QJ_平面以