2025-2026学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷

2025・2026学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共30分，每小题3分）

1.（3分）下列体育运动的图案中，是轴对称图形的是（）

A必B.叁c.W.2

2.（3分）在平面直角坐标系xQy中，已知点4(-2,3),B(2,3),C(1,1),Z)(-1,1).下列说

法正确的是（）

A.点A与点B关于x轴对称

B.点力与点3关于），轴对称

C.点人与点8关于直线OC对称

D.点A与点B关于直线0。对称

3.（3分）下列运算正确的是（）

A-4->)

A.a-*a—aB.(鼠3)2=(?

C.(3。)2=3/D.a9-i-n3=a3

4.（3分）芯片制造过程中，一种金属连线的宽度为0.000000000025米.某一层介质的厚度为〃米.已知

该层介质的厚度是金属连线的宽度的20倍,则〃的值用科学记数法表示应为（）

A.2.5XIO'10B.5.0X10”C.2.5X1。-“D.5.0X1()-10

5.（3分）下列各式从左到右变形正确的是（)

%+11ryy+1y

A.-----=-BR.--=~C.--=-+1D.

x+22-xzxxx4Xs=-X

6.（3分）在△ABC和△AEC中，AB=A'B\AC=A'C,若添加一个条件可使△ABCg/XABC,则添加的

这个条件不能是（）

A.BC=B'CB.NA=NA'

C.NB=N8=90°D.ZC=ZCZ

7.（3分）如图，在△43C中，ZABC=50°,ZC=30°,AO是△ABC的角平分线，将△ACO沿A。所

在直线折叠，得到44石Q,则/8D七的大小为（）

A

R

D-C

E

A.10°B.20°C.30°D.40°

8.（3分）过直线48外一点C,用尺规作A8的垂线，如图所示，其中点尸是分别以点。和点E为圆心,

QE为半径的两弧的交点.若NCQF=130",则NEC厂的大小为（）

ADEB

A.35°B.30°C.25°

9.（3分）已知等腰三角形/WC的周长为30,则下列结论中错误的是（）

A.当N4=30°时，△48C的形状、大小唯一确定

B.当NA=130°时，△ABC的形状、大小唯一确定

C.当48=4时，△ABC的形状、大小唯一确定

D.当A8边上的高为12时，AABC的形状、大小唯一确定

10.（3分）如图1是一个3X3的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：

①两人轮流将网格中的白色方格涂黑，每次涂一个格子；

②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色；

③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜.

如图2,甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为（）

二、填空题（本大题共18分，每小题3分）

11.（3分）若分式：工有意义，则实数x的取值范围是

2x+l

12.（3分）分解因式：12-3/=.

13.（3分）在△A8C中，设N8,NC的角平分线相交于点O.若点O也是△A8C的重心（三角形三条中

2

线的交点），则/80C=°.

14.（3分）化简：蔡•（总了=-----------------------

15.（3分）如图，4ABC中，ZCAB=60°,ZB=I5°,AC=4,点。，E分别是线段C8,48上的动

点，当4O+OE最小时，AE的长是

16.（3分）某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同一

件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才能进

行其它工序.现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间如下:

修复师清洁去污结构修复与加固画面修补与全色

甲60天30天120天

乙60天20天90天

丙80天20天80天

在不考虑其他因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短天可以修复一件文物；最短

天可以完成全部文物的修复工作.

三、解答题（本大题共52分,第17-19题，每小题4分，第20-23题，每小题4分，第24题6分，第25-26

题，每小题4分）

17.（4分）计算：（-1）2+（兀-2026）。+（》7.

18.（4分）已知1=0,求代数式（x+3）（x-I）+（x-3）2的值.

⑸（4分）计算：（击+白）+击|3

20.（5分）如图，P为NAO8内部的一点，PN1OB,垂足分别为N.写出命题“若/AOP

=ZBOP,则夕例=PN”的逆命题，并证明该逆命题.

R

21.（5分）如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=120°.

3

（1）请用无刻度的直尺和圆规作线段A8的垂直平分线。£分别交A8,8c于点。，E：（保留作图痕

迹，不写作法，标明字母）

（2）用等式表示线段C£与8K的数量关系，并证明.

22.（5分）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征.近年来，某村成立合作社，新增柿

子的种植面积300亩.已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立

合作社后年产量达到135万千克.求该村成立合作社前柿子的种植面积.（列分式方程解答）

23.（5分）如图，AO与灰?相交于点O,AB=CD,ZOAB=ZOCD,求证：AC//BD.

24.（6分）若P和。是关于％的两个分式，且P・Q=L（K是一个整数），则称。是P的'”相关分式”,

例如：P=g，Q=若，则。是。的“-3相关分式”.

（1）若「二$（4是关于］的整式）”二昌,且。是尸的“2相关分式”,则4=；

（2）若p=。+。+?（计叱Q=（%+cy+i）（「从c都是整数，且。＜）），且。是。的“5相关分

式"，求力的所有可能取值.

25.（7分）在平面直角坐标系中，对于线段4B和线段。。给出如下定义：若存在点尸（不在直线48

和直线CZ）上），使得NPBA,/PCD,NPDC的大小均不超过。，则称和CZ）具有性质Pe.

（1）如图1,点A（-2,0）,B（1,0）,。（0,1）,D\（2,1）,Q（0,2）,Di（2,2）,C3（0,-1）,

。3（2，-1）.在线段C1D1,。3。3中，和A8具有性质尸45°的是:

（2）如图2,点A（2,0）,8（4,0）,点C,。在第一象限内以原点为端点的同一条射线上，且/AOC

=60°,点C,。的横坐标分别记为“，I，，满足0V〃〈也

4

①若AB和CZ）具有性质P60°，则当时，u的取值范围是

②若和C/）具有性质尸90°,且不具有性质。60°,直接写出〃，v还应满足的关系.

图1图2

26.（7分）如图，在RtZXABC中，NAC8=90°,作N84C的角平分线AO交BC于点。，过点A作AE

_LA。交8c的延长线于点E

（1）①依题意补全图形：

②求证：ZZyA£+ZCA£=18（r；

（2）若人B+2AC=AE,求//18C的大小.

5

2025・2026学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷

选择题、填空题答案速查

题号12345678910

答案cBADBDBDAD

b

11a#-0.512.3(2+y)(2-y)13.12014—15.216.160；300

选择题、填空题解法提示

10.解：如图：

,/甲先涂r1号方格，乙随后涂r2号方格，

・•・甲第2次只能涂3号方格，

当乙第2次涂4号方格时，甲第3次只能涂5号方格，游戏结束；

当乙第2次涂5号方格时，甲第3次只能涂4号方格，游戏结束；

・•・最多次数是甲涂了3次获胜；

故选：B.

15.解：将△A8C沿翻折得到aA'BC,则NA'BC=ZABC=\5°,NCA'B=ZCAB=60°,

连接A'。并延长交AB于F,连接4'D,

由釉对称的性质可知人'。=4。，

：.AD+DE=A,D+DE2A'E,

，当A、D、E共线时，且AE_LAB时，AD+DE的值最小,

「NA'BF=ZATBC+ZABC=30°,ZCA1B=60°,

・・・NA'/8=90°,

.\AF±AB,

与尸重合时，AQ+QE的值最小，此时

在Rt^AC/中，NC48=60°,

AZACF=30°,

11

：.AF=^AC=^X4=2,

6

,当AO+QE最小时，4E的长为2,

解答题参考答案

17.解：原式=1+1+3

=2+3

=5.

18.解：1=0,

A?-Zv=1,

原式=7-x+3x-3+x2-6x+9

=2J2-4x+6

=2(x2-2x)+6

=2X1+6

=2+6

=8.

19.解：原式=[/c+6)+"(""2?

L(X+2)(X-2)(X+2)(X-2)7(%-2)2

2x.%

=(x+2)(x-2)x^2

2xx—2

=(x+2)(x-2)'—

2

=x+2-

20.解：命题“若/AOP=NBOP,则PM=QN”的逆命题是：P为NAOB内部的一点，PMLOA,PN

工OB,垂足分别为M,M"若PM=PM则N4OP=/BOP”，

证明：VPM1OA,PN1OB,

：./ONP=/OMP=9S,

在Rt^ONP和RtAOA/P中，

7

PN=PM

OP=OP"

.•.RtAO/VP^RtAOMP(HL)、

，ZAOP=ZBOP.

21.解：（1）如图所不：

（2）CE=2BE,理由如下:

连接八七，

*：AB=AC,ZB4C=120°,

AZ«=ZC=1x(180°-120°)=30°,

•••。石垂直平分AB,

；・AE=BE,

・・・N84E=N8=30°,

工NCA£=NBAC・28AE=90°,

：,CE=2AE,

:,CE=2BE.

22.解：设该村成立合作社前柿子的种植面积为x亩，则该村成立合作社后柿子的种植面积为（x+300）

亩，

根据题意得：一=—―

xx+300

解得：x=600,

经检验，x=600是所列方程的解，且符合题意.

答：该村成立合作社前柿子的种植面积为600亩.

23.证明：在△CMB和△OCD中，

8

Z.AOB=乙COD

Z.OAB=乙OCD,

AB=CD

:.△OABmXOCD(AAS),

：.OA=OC,OB=OD,

：.ZOAC=ZOCA,/OBD=/ODB,

•・•NAOA=NOAC+ZOCA=NOBD+/ODB,

：.ZOAC=ZODB,

：.AC//BD.

24.解：(1)YQ是P的“2相关分式”，

AP-0=2,

整理得A=-4X2-4A+8,

故答案为：-4f・4x+8：

(2)•・•。是P的“5相关分式”，

:・P_Q=5,

即(o+a+DO+匕)_(x+c)(x+l)=$

XX

整理得(a+b-c)x+(ab+b-c)=5x,

Afl+Z?-c=5,ab+b-c=0,

'•c=a+b-5,

代入ab+b-c=0中，得ab+b-(a+b-5)=0,

整理得a(/?-!)=-5,

Va,〃都是整数，且aVb,

a»b-1都是整数，

，当。=1时，b-1=-5,此时b=-4,不满足4Vb,舍去，

当a=5时，Z?-1=-1,此时/?=0,不满足aVZ>,舍去，

当a=・l时，b-1=5,此时〃=6,满足〃V4

当〃=-5时，b-1=1,此时〃=2,满足aV/b

综上，力的可能取值为6或2.

25.解：(I)•・•存在点P,使得NPB人的大小均不超过45°,

9

・•・点尸在以A8为对角线的正方形的边上或内部.

VZPCD,NPDC的大小均不超过45°,

・••点P在以CD为对角线的正方形的边上及内部，

・♦•两个正方形有公共点，即满足48和C。具有性质P45°.

・•・线段。。I、C303和48具有性质P45°；

故答案为：ClDl.C303；

(2)0V6=60°,

・••点P在以A8和CO分别为边的上下两个等边三角形的边上及内部,

・•・点。为以人8为边的等边三角形和以CD为边的等边三角形的交点.

V0<w<v,

10

，点。在点C的右上方，点。是定点，

当点D运动时，以CD为边的两个等边三角形随着CD的增大而变大.

当等边三角形的顶点厂落在4E上时，是v的最小值.

作轴于点〃，交C广7点G,过点。作CK_Lx轴于点K.

；CF=0A=2,

ACG=LKH=[,

3

：.0H

乙

故答案为:v>|;

②过点A、3分别作x轴的垂线，则两条垂线及垂线之间的部分满足/例8290°,NPBA290。，

过点C、。分别作直线0c的垂线，则两条垂线及垂线之间的部分满足NPCQ290。，/POC290。，

・••两个区域的公共部分即为性质处。对应的点P的轨迹.

和CD不具有性质P60,

・•・ACDF"ABE无公共点：

当点"与点E重合时，O