2027年上海高考数学一轮复习-函数与基本初等函数（原卷+解析）

函数与基本初等函数

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题H的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题(本大题共12题，第题每题4分，第7〜12题每题5分，共54分.)

1.函数y=而互的定义域为_______.

x-2

2.已知函数y=/(x)周期为1,且当0<x«l时，/(》)=«,则/《)=.

3.已知函数)，=o"Jlog“(x+2)+l(。>0且。工1)的图像经过定点A,则点A的坐标为—

4.设awR,困数y=/(x)是奇函数.若/(l)=e"-3,/(-1)=1,.

5.已知幕函数y=/(x)的图像过点(3,日)，则该幕函数的值域是.

6.已知1%2=%则logz48=.(请用含。的代数式表达)

7.已知函数y=g(x)的图象是折线段月8C,且力(0,0),呜,g|,C(l,0),则函数一-g(x)(0WE)的图

象与工轴围成的图形面积为.

X

/、----,x>0,1

8.已知函数/(x)满足：/(%)=x+1则不等式/(x)+：^0的解集为______.

-〃<0,

%’性则由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为”.则以下命题为真命题的

序号是.

①对于任意的若y=/(x)为奇函数，则y=/'(x)为偶函数；

②存在使得y=/(x)为非奇非偶函数，但y=/'(x)为奇函数或偶函数：

③对于任意的/(x)eM，若J，=/(x)为减函数，则F=/'")为增函数；

④存在使得y=r(x)在定义域上单调，但y=〃x)在定义域上不单调.

10.已知。>0,函数？=/")的定义域是［0,+功，且满足/(4)=/(占)记函数y=/(x)的值域为可，

若存在b>a,使得对于任意符合要求的函数y=/(x),均满足：伊)，=/(4),抄}}=4,则实数

。的取值范围是.

11.已知函数/(力=》+且+八XW电+8),其中力〉0,〃eR,若/(X)的最小值为2,则实数。的取值范

X

围是.

12.已知函数y=/(x)和y=g(x),其中/(x)=10gr，且)，=8行)是定义在R上的函数，其图像关于原点

对称，当xe(0,1］时，g(x)=x2-mx-m+5.若对任意的士£；,2,存在£［-覃］，使得/(内)=8(/)，

则〃?的取值范围是.

二、选择题(本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正

确选项。)

13.设函数歹=/(x)—f是奇函数若函数g")=/(x)+5,/(4)=9,则g(-4)=()

A.28B.33C.38D.43

14.已知。为正数,则“a>4"是">/,,的()

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

15.设函数“外的定义域为R.%(%=0)是/(X)的极大值点，则()

A.一工0是/(-X)的极小值点B.-%是-/(工)的极大值点

C.-%是-f(-x)的极小值点D.是/(国)的极大值点

16.，^^］设函数/(X)的定义域为。，若存在实数7(7>0),使得对于任意xe。，都有/(x)</(x+7),

则称/'(X)为”「-严格增函数"，对于"7一严格增函数”，有以下四个结论：

©"7一严格增函数”/(x)一定在。上严格增；

②"7—严格增函数”/(x)一定是"“一严格增函数"(其中〃eW,且〃22)

③函数/")=卜］是"7-严格增函数”(其中国表示不大于x的最大整数)

④函数/(x)=x-［x］不是”7-严格增函数"(其中卜］表示不大于x的最大整数)

其中，正确的结论个数有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

三、解答题(本大题共5题，第17・19题每题14分，第20・21题每题18分，共78分.)

17.设〃>0且4HI,已知函数/(x)=bga(x+2),g(x)=loga(2—x).

⑴判断/(x)+g(x)是否为偶函数,并说明理由;

(2)令函数〃(x)=/(x)+g(x),解关于x的不等式刈2公3)>力(3.1).

18.已知/(x)=.d-2x+l.

⑴数列MJ的前〃项和为S”，点(〃,，)(〃cZ,〃>())均在函数y=/(k)的图象上，求数列{an}的通项公式;

(2)设g(x)="；当时，不等式g(2x)-h2,20恒成立，求实数上的取值范围.

19.如图所示是函数y=〃(x)的图象，由指数函数/")="与累函数g(x)=f“拼接”而成.

,求加的取值范围;

⑵若方程打4-2025)"一；/=()存在实数解，求/的取值范围.

2°・已知函数)'=/(》)的定义域是4对于小"定义集合S.W={X/(X)2/Q}・

(l)/(x)=Iog2x,求)6)；

(2)对于集合A,若对任意都有-xe/,则称A是对称集.若。是对称集，证明：“函数》=/(》)是偶函

数”的充要条件是“对任意此D,S”)是对称集”：

(3)若xwR,/(x)=e«-lm.r.求，”的取值范围，使得对于任意都有S九)口5用).

21.已知定义在。上的函数y=E(x)的图像上存在A,8两点，记直线力4的方程为y=G(x),

若直线恰为曲线y=F(x)的一条切线(A,8为切点)，且对。上的任意的X,均有尸(X)2G(X),则称

函数y=b(x)为“切线支撑”函数.

⑴试判断函数/(x)=Ain2.・2cos2x是否为“切线支撑，，函数.若是，写出一组点A,B；否则，请说明理由；

(2)证明：函数力(x)=2x+sin3x为彻线支撑”函数：

(3)已知gX=21为“切线支撑”函数，求实数4的取值范围

x,x<0,

函数与基本初等函数

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题H的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共12题，第题每题4分，第7〜12题每题5分，共54分.）

1.函数y=而互的定义域为_______.

x-2

【答案】T，2）D（2，+8）

【分析】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解.

（2.v-3^O「3、，、

【详解】，八，解得代个252收），

X—2/U[_2）

,_____I「3、

所以函数夕=后二5+一三的定义域为-,252,”）.

x-2\_2；

故答案为：：,2u（2,y）

2.已知函数y=/（x）周期为1,且当0cMi时，/（x）=4,则/（|）=.

【答案】堂

2

a

【分析】根据函数的周期性，将尸;转换到（05内即可.

【详解】由题意，函数/（X）的周期为],/仔]=心+1]=/e邛=匹；

\2J\2/\2/V22

故答案为：孝.

3.已知函数》=。川-1。8“（工+2）+1仅＞0且。"）的图像经过定点人，则点A的坐标为—

【答案】（一1,2）

【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可.

【详解】令x=-l,可得尸L-bg（l+2）+l=a°-bg/+l=2.

所以定点A的坐标为（-1,2）.

故答案为:（-1,2）.

4.设awR,函数y=/(x)是奇函数.若八1)=d一3,/(-1)=1,则。=.

【答案】In2

【分析】根据奇函数的性质有=⑴，代入计算可得”部.

【详解】解：因为函数》=/(')是奇函数，

所以=-/⑴=-3-3)=1,解得：a=\n2

故答案为：In2

5.已知幕函数y=/(x)的图像过点(3,坐］,则该寤函数的值域是

【答案】(0，+8)

【分析】根据塞函数定义代入点可得/(x)=A，即可得函数值域.

【详解】设幕函数/(x)=x，a€R,

代入点R冬］可得3。=立=3之即a=j

3)32

_11

可得/("=》2=京，

因为4>0,可得/(x)=*>0,所以该基函数的值域是(0,+8).

故答案为：(0,+8).

6.己知1咱2=",则log?48=.(请用含。的代数式表达)

【答案】4+1

【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果.

1。匚、42J°g48—唾316+10&3-41咱2+1—4。+1一彳J

【详解】由题意得,

log32log32log32aa

故答案为：4+—.

7.已知函数y=g(x)的图象是折线段做，且4(0,0),哈则函数"rg(x)(O«E)的图

象与x轴围成的图形面积为.

【答案】|

O

【分析】根据题意,求出g(x)的表达式,进而得到作=rg(x)的表达式,利用图象分割求解面积.

x,O<x<-

2

【详解】由题可得,g(x)=<

—x+1,一<x41

2

x12,0<x<-

2

•W(x)=，

1./

-X2+x,—<X<1

设函数旷=、遭（力（03工&1）的图象与工轴围成的图形皿枳为5,

如图，由二次函数y二』和y=—x2+x可知，曲边三角形的面积等于曲边三角形力。尸的面积,

所以S=S"F£=；x；=：.

乙I。

故答案为：

O

/、——,x>0,।

8.已知函数/（x）满足：/（x）=］x+\则不等式/（外+弓之。的解集为______,

-x）,x<0,

【答案】［一1,+8）

【分析】易知"X）为奇函数，再根据解析式判断得出单调性，解不等式可得结果.

【详解】根据题意可得/（工）二“+且/（X）为奇函数,

T~~>x<0，

1-X

当转0时，/（x）=^-=i--^->0,则/（X）在血+8）上单调递增，

x+lX+1

1X1

.・・/（X）在R上单调递增，贝4/（幻=一彳，即L=-7,解得x=-l,

2\-x2

.•./U）+1>0即f（x）2-J,其解集为{xIx2—1}.

故答案为：［-1,+8）

9.由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为M.则以下命题为真命题的

序号是.

①对于任意的/（x）eM，若y=/G）为奇函数，则N=/'（x）为偶函数：

②存在/（x）w,W,使得y=/（x）为非奇非偶函数，但」■/（¥）为奇函数或偶函数：

③对于任意的若y=/(x)为减函数，则)，=/'")为增函数；

④存在使得)，=/'1)在定义域上单调，但y=/(x)在定义域上不单调.

【答案】①②④

【分析】/(-x)=-/(x)两边求导可判断①；设/(x)=f+1可判断②；举反例/卜)=-/可判断③；设=/

可判断④.

【详解】对①,若y=/(x)为奇函数,则/(-x)f(x),

两边求导得-T(-x)=-r(x),即/'(r)=/'(x),所以y=/'(x)为偶函数，①正确；

对②，不妨设/(x)=x、l,因为/(-"=-/+1,所以/(x)为非奇非偶函数，

但/'("=一为偶函数，②正确；

对③，不妨设/(切=-/,易知/(x)为减函数，但/'(x)=-3/不是增函数，③错误；

对④，设〃x)=l，则/'(x)=2x单调递增，但“X)在定义域上不单调，④正确.

故答案为：①②④

1().已知0>0,函数y=/(x)的定义域是［0,+动，且满足/(力=/(三|.记函数y=/(x)的值域为4,

若存在使得对于任意符合要求的函数y=/(x),均满足：｛引》=〃工),工«()同5研=(，则实数

。的取值范围是.

【答案】；,+8)

【分析】设得到方林，解出》=£4，再转化为不动点问题，再结合蛛网图即可得到范围.

4+12

【详解】设。山=」7，

4+1

y=x।

•।二'=9二二对y求导得歹'=一7~不，

12x+1(x+1)

x+1

这是一个，，吸引不动点，，.

eN+,使得

故力£/与口，有/ah/abdUrr=人()=・“=/(4)

因此—|y=/(x)，xeo,=/k口WO，.①

与时，

另一方面，当XW

1

乂f(x)=/7+T

所以y|y=/(x),x.②

结合①②可知,

当」4a＜也二1时，取6=五二1满足题意.

222

当02避二1时，任取的实数，满足题意.

2

故"的取值范围为

故答案为：g+8).

11.已知函数/(切=,1+区+6,XGM+8),其中。＞0,aeR,若/(x)的最小值为2,则实数。的取值范

围是.

【答案】(Y,l)

【分析】根据。讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定。的取值范围.

【详解】①当。40时，在回”)上单调递增,

所以/(x)mm=/伍)=2b+(=2,丁6>0,二1=1+,；一生,因此。工0满足题意；

②当。>0时，/5)在［6,+oo)上单调递增，在(0.4)上单调递减

⑴当6口时，/(x)在色+8)上单调递增，

所以/(x)min=/(b)=26+?=2，则2〃—2H4=0，

D

.\A=l-2«>0力=,

2

所以a02,2b-2b2Wb"b>0,

，力之弓，“J+VT工,

32

2

1

1a>—114

=0<4工一或〈4nOvaW一或一,

4r-449

\-2a>^a-4-1

4

0<44—;

9

(ii)当时,/(x)在［而,+oc)上单调递增，在［b,G)上单调递减,

所以/3,=/(4)=2-+6=2,

\'0<b<y/a>i'lJ\［a>2-2x/a>0»

4,

'/"I；

综上，a的取值范闱为

故答案为：y,i)

12.已知函数y=/(x)和歹=g(x),其中己知=log2X,且y=g(x)是定义在R上的函数,其图像关于原点

对称，当xe(OJ］时，g(x)=x2-mx-m+S.若对任意的1,2,存在超日TJ，使得/(xj=g(w)，

则〃?的取值范围是.

【答案】［3,5］

【分析】根据题意可知/(X)的值域是g(x)值域的子集，先求出/(X)的值域，再对g(x)分类讨论求值域，

从而求得”的取值范围.

【详解】•.•对任意的；,2,存在/直-1』］,使得/(占)=8(9)，

.••/(X)的值域是g(X)值域的子集,

当石时，/(X)的值域为［-1,1］,

.乙■

♦•,>=g(x)是定义在R上的函数，其图像关于原点对称，

，g(x)是奇函数,且g(O)=O,

•.•当xe(OJ］时，g(x)=x2-inx-m+5,."(工)的对称轴方程为x=£,

当〃KO时,g(x)在(0,1］上单调递增,

，g(x)在K£(OJ时的范围是(一〃?+5,6-2〃?］,-w+5>0,6-2m>0,

，g(x)在［TJ］上的值域为［26,/〃-5)U(-"?+5,6-2〃?］U{0},

此时/(x)的值域不可能为g(x)值域的子集，舍去；

即0<mKl时，g(x)在(0,g］上单调递减，在上单调递增，

"2"I2

・'-g(x)在xe(O,l］时的范围是—--m+5,6—2m,———nj+5>0,6—2m>0>

44

・•・g(x)在Hl］上的值域为2〃L6,9+〃L5,m+5,6-2mUp},

此时/(x)的值域不可能为g(x)值域的子集，舍去;

当"K1即1<〃T2时,g(x)在(0,三］上单调递减，在上单调递增,

22

裙12

二•g(x)在xe(°，1］时的范围是—~—+5,—机+5卜—/〃+5>0，—m+5>0»

，g(x)在卜川I二的值域为m-5,^-+m-5,U-ni+5,+5U{Q,

此时/(x)的值域不可能为g(x)值域的子集，舍去:

当5>1,即加>2时，g(x)在(0刀上单调递减，

，g(x)在xw(O,l］时的范围是［6-2叫一〃?+5),

若2<〃?<3,则6-2/〃>0,-m+5>0,

...8(力在［-1,|］上的值域为(〃?-5,-6+2间11［6-2叫一〃?+5)1］{0},

此时/(X)的值域不可能为g(x)值域的子集，舍去:

若3工〃？K5,则6—2m<0,-m+5>0,

6-2z?7<06-2/zz<-17

解得3W〃？<4,或一3<w<5；

-ni+5>1-m+5>02

若川>5,则6—2ni<0,-m+5<0,

，g(x)在[T,l]上的值域为("L5,-6+2m]U[6-2)],r〃+5)U{0},

此时/(x)的值域不可能为g(x)值域的子集，舍去：

综二，〃，的取值范围是[3,5].

故答案为：[3,5].

二、选择题(本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正

确选项。)

13.设函数y=/(x)r2是奇函数.若函数g(%)=/(x)+5J(4)=9,则g(-4)=()

A.28B.33C.38D.43

【答案】A

【分析】首先利用函数的奇偶性列出等式，然后根据g(4)的值求出g(T)的值.

【详解】由函数1=/(力-f是奇函数可知+/(T)-(T)2=0,

因此可得〃X)+/(T)=2/；

又g(x)=/(x)+5,因此g(4)=/(4)+5,g(T)=〃-4)+5；

两式相加可得g(4)+g(-4)=/(4)+5+/(-4)+5=2x42+10=42；

又g(4)=/(4)+5=14,因此g(-4)=42—14=28.

故选：A.

14.已知。为正数，贝『%>4”是“/>/”的()

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】已知。为正数，贝或〃>4,

所以>4”是“/”的充分非必要条件.

故选：A.

15.设函数/'(X)的定义域为R,x°aoW。)是/(x)的极大值点，则()

A.-%是/(T)的极小值点B.-x°是-/(x)的极大值点

C.-x0是-/(-幻的极小值点D.-%是/(H)的极大值点

【答案】C

【分析】A选项，/(-好的图象和/(X)的图象关于V轴对称，是/(-X)的极大值点；BD选项，可举出

反例；C选项，-/(-幻的图象和/(幻的图象关于原点对称，故-/是-/(-X)的极小值点.

【详解】A选项，/(-x)的图象和“X)的图象关于V轴对称，

因为/(%工。)是/(X)的极大值点，故-%是/(-x)的极大值点，A错误：

BD选项，取/3=-(工+1)2,则/=-1是/3的极大值点，

-〃x)=(x+l)2,故1不是-/〃)的极大值点，B错误；

/(|x|)=-(|x|+l)2,其为偶函数，在(0,+8)上单调递减，

1不是/(国)的极大值点，D错误.

C选项，-/(-幻的图象和/(幻的图象关于原点对称，

因为/(毛00)是/'(X)的极大值点，故-X。是-/(-X)的极小值点，c正确.

故诜：C

16.'^^］设函数/("的定义域为O,若存在实数7(7〉0),使得对于任意xe。，都有/(x)</(x+7),

则称/(x)为”严格增函数"，对于"7-严格增函数”，有以下四个结论：

①”7—严格增函数”/(X)一定在。上严格增；

②"7—严格增函数”/(x)一定是"“一严格增函数”(其中〃eN"且〃22)

③函数/(切=国是"7-严格增函数”(其中国表示不大于x的最大整数)

④函数/(力=%-卜］不是”7-严格增函数”(其中［M表示不大于K的最大整数)

其中，正确的结论个数有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据函数新定义及特殊函数判断①®®，由函数解析式得/(x+l)=/(x),即/(x)是周期为1的

周期函数，利用周期性并讨论7=1、7>0且丁工1判断④.

xt0

【详解】①，对于/")二:、八，定义域为R，

存在7=2,对于任意xeR,都有f(x)〈f(x+2),

但在R上不单调递增，错误.

②，/(x)是"T-严格增函数"，存在T>0,对任意xwO,都有/(x)</(x+T),

因为〃N2,7>0,所以/(x+T)</(x+〃T),故/(“</(x+〃7),

即存在实数使得对任意xwO,都为/(x)</(》+"),

所以/(X)是”"-严格增函数”，正确.

③，/(x)=[x],定义域为R,当7=1时，对任意的xeR,都有kkW+l],

W/(x)</(x+l),所以函数/("=[]"T-严格增函数”，正确.

④，对于函数/(X)=x-[x],/(x+l)=x+l-[x+l]=x+l-[x]-l=x-[x]=/(x),

所以/(x)是周期为1的周期函数，==

若7=1,则+==g=不符合题意.

因为/(x)的周期为1,故不妨设

设1=1一7"0,1),贝Ij/(x+r)=f(i)=i—1]=0,

而/(%)=/("7)=1_7_0=1_7,此时/(x)>/(x+T)，矛盾；

所以函数〃x)=x-[x]不是"7-严格增函数”，正确.

故选：C

三、解答题(本大题共5题，第17・19题每题14分，第20・21题每题18分，共78分.)

17.设a>0且。工1,已知函数/(x)=loga(x+2),g(x)=loga(2-x).

(I)判断〃H+g(x)是否为偶函数,并说明理由;

⑵令函数Mx)=/(x)+g(x),解关于X的不等式“2、-3)>〃(3.1).

【答案】(1)偶函数，理由见解析.

(2)当"1时，不等式的解集为区4当0<。<1时，不等式的解集为(黑).

【分析】(1)由偶函数的性质证明即可；

(2)由偶函数的性质，换元令1=4-/,再分。>1和0<。<1结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即

可.

【详解】⑴f(x)+g(x)是偶函数.

理由如下：

因为/(x)+g(x)=log,,(x+2)+log,(2-x),

，x+2>0且2-x>0,即定义域为{x|-2<x<2},定义域关于原点对称.

v/(-x)+g(-x)=logJ-x+2)+Iogrt(2+x)=/(x)+g(x),

.•J(x)+g(x)是偶函数.

(2)“X)=10ga(x+2)+k)g“(2T)=k)ga(472)，Mx)为偶函数，

令/=4一/,，门«-2,2),「./“0,4].

当4>1时，y=10g/在（0,4］上单调递增,在区间（0,2）上单调递减,

-2<2x-3<24

由心-3）>〃（3%-1），得|2%-3|<|3%-1|且・-2<352,解得

当0<a<l时,歹=log）在（0,4］上单调递减,〃（x）在区间（0,2）上单调递增,

由力（2X一3）〉〃（3工一1）,得悟"3|>段一1|旦《。।…解得

—2<3x—1<225

综上所述：当时，不等式的解集为（［,1〉

当0<"1时,不等式的解集为牌）.

18.已知/'（工）=.r-2x+l.

⑴数列几｝的前〃项和为S”，点（〃,，）（〃GZ,n>0）均在函数y=/（幻的图象上，求数列｛%｝的通项公式;

（2）设g（x）=—；当时，不等式8（2，）-％220恒成立，求实数Z的取值范围.

0,«=1

【答案】（1）«

2/7-3,77>2

（2）^e（-x,0］

【分析】（1）由题意可得，=〃2-北+1,根据可总的关系求通项公式即可；

（2）求出ga）,换元后，分离参数，转化为求函数的最小值，利用二次函数配方后得解.

2

【详解】（1）由题意，an>Sn=n-2n+\,

当〃=1时，q=5；=。，

当心2时，%=S“—S,i=2〃—3,

0,〃=1

则%=11.

2/7-3,/?>2

（2）g（x）=^=x-2+-,

XX

设£=23当xe［T,l］时，ft；,2,

g（2x）-k-2x=1-2+；-比20恒成立，

21（1V

则上<1一士+=二--1,

tryt）

i\2

因为——1=0,所以左€（70,0］.

卜，）min

19.如图所示是函数的图象，由指数函数="与事函数£（、）二/“拼接”而成.

⑴已知（m+4尸＜（3-2m）~b，求m的取俏范围:

⑵若方程尸2025）"-5=0存在实数解，求，的取值范围.

（I3\

【答案】⑴三弓

\，乙）

,1「1、

⑵尸，T七蓝

【分析】C）将点（；,；）的坐标分别代入函数/"）=〃"、8"）=/的解析式，求出。、人的值，可得出函

数尸⑺的解析式，然后利用函数片■的定义域、单调性结合（”+4尸＜（3-2〃?户可得出关于〃，的不等式

组，由此可求得实数小的取值范围；

（2）分析可知的取值范围即为函数/（x-2025）的值域，可得出关「/的不等式，即可解得实数/的

取值范围.

【详解】（1）由题意可得•/,解得•：，故尸卜）={1：6

[4]=2C=2/

因为函数y=X4=在（0,+8）上严格减，

11,“〃+4＞3—2〃1,13

由（加+4户＜（3-2〃7户可得,3_2m＞0，解得-

因此，实数町的取值范围是卜拈.

（2）因为方程尸（戈-2025）-〃-:/=0存在实数解，即方程厂（工-2025）=〃+夕存在实数解,

则,+$的取值范围即为函数尸（.2025）的值域，

由题图可知，函数尸（％）的值域为；，”），故函数尸（x-2025）的值域为p+oo\

所以即2『+”整0,解得K-1或摩"

222

因此，实数/的取值范围是(-%-[ug,+oo).

20.已知函数y=/(x)的定义域是。•对于定义集合S”,)=k|/(x)N/C)}，

(1)/(.¥)=log2.r,求S/%；

(2)对于集合A,若对任意XU力都有TG/f,则称A是对称集.若。是对称集，证明：“函数y=/(x)是偶函

数”的充要条件是“对任意/GD,S/”)是对称集”；

(3)若xwR,/(A)=^-lm.v2.求，〃的取值范围，使得对于任意々2w。，都有S.M尸S/Q.

【答案】⑴卜卜之16}

(2)证明见详解

(3)[0河

【分析】(1)根据对数函数的单调性即可求解；

(2)根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性：

(3)根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.

【详解】(1)由定义得，5/幽=1|/")之/(16)}={小毁,噫吗=[人之吟.

(2)证明:

必要性：因为函数歹=/(4)是偶函数，所以对任意xw。，/(/l=/(-x),

对任意rw£>,若xws4),即W0,则任X)=/(A)>/(/),

所以rwS/⑴，所以对任意S则是对称集.

充分性：若对任意EG。，%,)是对称集，

因为对任意,/eS4)，所以TwS9,即为T)”(f)①,

又TwS/e所以FSJE，即/(心/(T)②.

由①②得，对任意EwO,

所以函数y=/(x)是偶函数.

综匕“函数y=/(x)是偶函数”的充要条件是“对任意fe。，是对称集，，，得证.

(3)因为对于任意4<，2W，都有S/(4)1S/h),

所以若xwS,向,则X6S,⑷，即若若力”一),则/(*)*/«),

所以/1)之/«)，所以/(力在R上单调不减,

所以对任意xcR,/'(X)=/-wx>。恒成立.

当)=0时，显然成立，，"R；

当j>()时，加恒成立，令g(x)=J,g*(x)=——}-，

XXx~

所以g(x)在(0,1)单调递减，(1,+⑹单调递增，所以"dg(x)1114n=g(l)=e；

当工<0时，加2,恒成立,此时g'(x)=―—<0

X

因为g(x)在(-00,())上单调递减，当XTY0时,g(x)->0,g(x)<0,

x<0,xf0时，g(x)->-00,

所以/〃20；

综上，切e[0,e].

【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.

21.已知定义在。上的函数y=b(x)的图像上存在A,B两点,记直线力8的方程为y=G(x),

若直线48恰为曲线y=E(x)的一条切线(A,B为切点),且对。上的任意的X,均有E(x)2G(x),则称

函数y=*工)为“切线支撑”函数.

⑴试判断函数/(x)=x/5sin2x-2cos%是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点A,B；否则，请说明理由；

(2)证明：函数〃(x)=2x+sin3x为-切线支撑”函数：

/、|ar-lnr,x>0,

⑶已知g(x)=2为“切线支撑”函数，求实数。的取值范围

X,X<nU,

【答案】(1)4—2,-3),陪,_3)

6o

(2)证明见解析

(3)(-co,-)

e

【分析】(1)先由降幕公式和辅助角公式得到/(x)2-3,再结合函数新定义和正弦函数的取值可得；

(2)由函数新定义结合导数的意义得到A,6点处的切线方程，再结合余弦函数的取值证明：

(3)先由导数分析单调性得到切点A,6必在，轴的两侧，再利用导数的意义得到切线方程，然后结合函

数新定义构造函数，分析单调性得到极值.

【详解】(1)/(X)=>/3sin2x-2cos2x=^sin2x-cos2x-l=2s:n(2x-於1,

显然〃x)-3,

令/(力=-3,得2x-马=一2+2而，keZ,即