2027年高考数学一轮复习（压轴题）-圆锥曲线中二级结论（原卷+解析）

圆锥曲线中二级结论的7大核心题型

1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成

为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现：2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必

达法则、还有拉格朗口中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.

A题型01焦点三角形

技法指导

！

1.焦点三角形的面积公式：尸为椭圆（或双曲线）上异于长轴端点的一点，E,尸2为其焦点，记NRPF2=e,

A

nb~

贝J：在椭圆中，SM尸［尸2=〃,tan；在双曲线中，SAPFF=〃.

21'2tan

I2

2.焦点三角形的周长为2（o+c）.

1.己知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，£、g为焦点，点P在椭圆上，直线尸耳与。鸟倾斜角的差

为90。，△汽/工的面积是20,离心率为辛，求椭圆的标准方程.

2.已知椭圆C：5+£=1（a8b>0）的左，右焦点分别为百,凡，其离心率为6=热点产为该椭圆上一点，

且满足/尸1尸乃=以已知的内切圆的面积为3冗，则该椭圆的长轴长为（）

A.2B.4C.6D.12

A款型02周角定理（斜率积为定值）

技法指导

周角定理：巳知点P为椭圆（或双曲线）上异于顶点的任一点，，4,4为长轴（或实轴）端点，则在椭圆中，

i

kpA-kpB=^=e*1-\,在双曲线中，kpA-kpB=^=e2-*4\.

（T

3.（2025•河北衡水•一模）已知A,8分别为双曲线C：5_《=1（八0,b>0）的左、右顶点，。是C

a~h~

上一点，且直线力尸，8P的斜率之积为2,则。的离心率为

A.72B.万C.V5D.x/6

4.（2025•辽宁葫芦岛•一模）已知椭圆G：^+《~=l,A,4为G的短轴端点，f为G上异于4B的一点,

43

则直线/p,8P的斜率之积为（）

4

D.

c43

A题型03椭圆、双曲线的焦点弦问题

技法指导

I

I

1.在椭圆中，焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长器而=空.

aI

2.在双曲线中，同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为空，异支的弦中最：

短的为实轴，其长为2a.

2

5.如图，Fi,乃为椭圆Y亍+产=1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，的平分线PM与长

轴交于点M（w,0）,则m的取值范围是__________；

6.已知双曲线。的左、右焦点分别为凡（-V7,0）,Fi（V7,0）,过B的直线与。的右支交于4,8两点.

若旃=2用，\AB\=\F'^B\,则双曲线C的方程为.

A题型04抛物线的的焦点弦问题

技法指导

设48是过抛物线产=2px（p>D）焦点尸的弦，若Z（箝，〃），B（X2,也），则

11）x\X2=—^y\yi=~p^\

（2）焦半径I4N=xi+2=」一，IBFI=x+——（。为弦月8与x轴的夹角）；

21-cosa221+cosa

（3）弦长|/出|=R+X2+〃=W-（。为弦力8的倾斜角），且$

'5inzaIAFIIBFIp

（4）SMB=A（。为抛物线的顶点）；

2$ina

15）以48为直径的圆与准线和切：以为直径的圆与力8切于焦点尸：以焦半径4尸（8尸）为直径的

圆与y轴相切.

7.过抛物线产=4x的焦点尸的直线交抛物线于43两点，点。是原点，若|力尸|=3,则△XOB的面积

为（）

B.V2

C速D.2V2

8.1多选）（2025•抚顺一模）已知抛物线C：产=2px（p>0）的准线方程为x=-l,过抛物线C的焦点£

的直线/交抛物线C于力，8两点，则下列说法正确的是（）

A.IABI的最小值为4

B.设0（3,2）,则周长的最小值为4

C.以力少为直径的圆与y轴相切

D.若丽=2而，则直线/的斜率为2或或一2&

A题型05切线问题

技法指导

1.设PGoJo）为桶圆5+3=1上的点，则过该点的切线方程为詈+登=1

2.设0（%,%）为双曲线接一，=1上的点，则过该点的切浅方程为:翳-翠1

3.设P（%o，y（））为抛物线y2=2px上的点，则过该点的切线方程为yy（）=p（x+&）

9.已知点尸。0、3）在椭圆C:=+工=1上.若点N（x0/o）在圆加：/+/==2上，则圆必过点N的切线方程为

（T99

•7X+NJ=L.由此类比得椭圆C在点尸处的切线方程为（）

A.上+上=1B,上+8=1C.土+上=1D,二+上=1

331111099113399110

10求双曲线三-V=1在点尸（4,处的切线方程.

A超型06圆锥曲线的第二定义

;技法指导

!!

1；

1.圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥由线.当0V:

eV1时为椭圆；当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线.

2.第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是

离心率e.圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要!

I善于运用第二定义对它们进行相互转化.

I

I

1I0一••・»«•・・・・・・・••・・・■■•■>・・•・•・・■■•■・一•・*••・•・••一・・・♦«•••••・・・♦*«*■・・■■>一■•♦«••・••■>・・・•・・・・••一■>・・•・・«・•・・••・・♦・«・•・・・・一•・♦♦・・・•・・・・・・・・・・•・・•一•—・*«・・•・•一•・♦•・•・••・_・•・♦・・・・・・・・・・•・«・•・•・・・.♦♦•♦・■・・•一・•♦««・

11.已知点4（（-2,6））,设点厂为椭圆上+上1的右焦点，点"为椭圆上一动点，求|M4|+2|加日的最小值，

1612

并求此时点例的坐标.

12.己知椭圆5+/=1方＞0）,a，尸2分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P,使/人尸尸2=9（）°,则椭

圆的离心率e的取值范围为.

A超型07阿基米德三角形

技法指导

抛物线的弦为43,过4〃两点做抛物线切线交于。点，称=“。为阿基米德三角形，则有:

（D阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴i

[2）若阿基米德三角形的底边印弦力4过抛物线内的定点C,则另一顶点。的枕迹为一条直线

（3）底边为。的阿基米德三角形的面积最大值为且一

8P

14）若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点。的就迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p21

（5）在阿基米德三角形中，/QFA=/QFB：

13.阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理

学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点4B处的切线交于点P,称△PAB为“阿基

米德三角形”，当线段A8经过抛物线焦点尸时，△P4B具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上：（2）APAB

为直角三角形，RPA1PB-.（3）PFLAB.已知过抛物线d=16y焦点的直线I与抛物线交于A,B两点，

过点4B处的切线交于点尸，若点尸的横坐标为2,则直线48的方程为（）

A.x+2y-8=0B.x-2y+8=0

C.x—4y4-16=0D.x4-4y-16=0

14.已知抛物线C：F=4»直线》=京+6与抛物线交于力,4两点，|J5|=8,且抛物线在j,B处的切线相

交于点P,则△口8的面积最大值为（）

A.8B.16C.162D.32

1.柄圆C的左、右焦点分别记为片、乃，过左焦点片的直线交椭圆C于1、4两点.若弦长|力4|的最小值为3,

且△川?石的周长为8,则椭圆。的焦距等于（）

A.1B.2C.GD.26

2.设尸为抛物线C：产=3式的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于45两点，O为坐标原点，则△力04

的面积为（）

3.已知过圆锥曲线5+9=1上一点尸（先，线）的切线方程为氏+呼=1・过椭圆卷+?=1上的点43，一1）

作椭圆的切线/,则过A点且与直线/垂直的直线方程为（）

A.x-y-3=0B.x+y-2=0

C.2x+3y-3=0D.3x-y-10=0

4.已知抛物线C的顶点是原点O,焦点户在工轴的正半轴上，经过点少的直线与抛物线。交于力，8两点,

若万5•丽=-12,则抛物线C的方程为（）

A.x2=8vB.x2=4v

C.y2=8xD.y2=4x

5.（2025•重庆模拟）如图，A,B分别是椭圆C：1Ca>b>0）的左、右顶点，点尸在以月8为直

径的圆。上（点P异于48两点），线段力产与椭圆C交于另一点。，若直线8P的斜率是直线8。的斜

率的4倍，则椭圆C的离心率为（）

6.设尸I，户2为椭圆C：尸的焦点，若在椭圆。上存在点尸，满足/"尸&=120。，则实数〃的

n

取值范围为（）

A.（0,—]B-[-J）

c.（0,争

7.已知臼，尸2分别是椭圆C：^+—1（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得

（BWO）,则椭圆C的离心率e的取值范围为（)

A.（0,sin2a]B.（0,sina]

C.[sin2a,1）D.[sina,1）

8.（多选）（2025•浙江温州二模〉已知双曲线C：马一号=1（。＞（），/?＞（））的左、右焦点分别是

过右焦点&的直线/与双曲线的石支交与44两点，则下列说法中正确的是（）

A.弦力8的最小值为空

a

B.若I月8I=rn,则△尸的周长为26+4a

C.若的中点为M,且"的斜率为〃，则以・“=与

aL

D.若直线的斜率为百，则双曲线的离心率e£[2,+8）

9.（多选）设椭圆C：5+3=1（。＞方＞0）的左、右焦点分别为向，B，左、右顶点分别为小，儿，点尸

是C上异于4,4的一点，则下列结论正确的是（）

A.若C的离心率为点则直线P4与PA2的斜率之积为一^

B.若PFilP尸2,则的面积为〃

C.若C上存在四个点尸使得PB_L尸B,则C的离心率的取值范围是（0,y）

D.若IMlW2力恒成立，则。的离心率的取值范围是（0,

10.（多选）已知抛物线C：产=61的焦点为总O为坐标原点，倾斜角为〃的直线/过点/且与C交于

N两点，若△OMN的面积为3百：则（）

A.sin0=—

2

B.IMNI=24

C.以板为直径的圆与y轴仅有1个交点

INFI3I/VF|V’

11.过抛物线f=4y上一点（4,4）的抛物线的切线方程为.

12.设厂为抛物线C：炉=3x的焦点，过尸且倾斜角为30°的直线交。于力，B两点,O为坐标原点，则

丛OAB的面积为

13.已知双曲线「一^=1（e0,/7＞0）,过原点的直线与双曲线交于4B两点,以线段44为直径的圆恰好过

a-b~

双曲线的右焦点凡若△力8尸的面积为2出，则双曲线的离心率为.

2222

14.如图，已知点尸（%/°）是双曲线C：3-5=l上的点，过点/＞作椭圆C,:工+匕=1的两条切线，切点为A、

4343

8,直线交G的两渐近线于点上、F,O是坐标原点，则瓦.砺的值为

15.如图所示，已知抛物线C："=233>0)过点(2,4),圆G：#+产一飘+3=0.过圆心G的直线/与抛物

线Ci和圆C2分别交于P,Q，M,N,则|PM]+4|0N的最小值为.

圆锥曲线中二级结论的7大核心题型

1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成

为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必

达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.

A题型01焦点三角形

I技法指导

I.焦点三角形的面积公式：尸为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，Fl,尸2为其焦点，记NFIPF2=8,

nh2

贝］：在椭圆中，SAP厂.=〃蓟、：在双曲线中，S，PF\F尸Q.

2~tan

2

2.焦点三角形的周长为2(〃+c).

I.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，片、代为焦点，点P在椭圆上，直线尸片与巴"顷斜角的差

为9()。，△大尸尸2的面积是20,离心率为冷，求椭圆的标准方程________.

【答案】［+《=1或4+《=1

45204520

【解析】设/片尸乙=夕，则0=90°.=Z?2tany=62tan45°=b2=20,

22

cyja-b4sb~5t205,_z„2

又丁e===,12=八，即12=八•解得：a=，45..

aa3a29a29

所求椭圆的标准方程为J+<=1或+J=1.

45204520

2.已知椭圆C：《+提=1(a>h>0)的左、右焦点分别为E，B,其离心率为e=5点尸为该椭圆上一点,

且满足已知的内切圆的面积为3兀，则该椭圆的长轴长为()

A.2B.4C.6D.12

【答案】D

【解析】由e=；,得£=；，即a=2c①.设△77i尸B的内切圆的半径为厂，

因为△百尸与的内切圆的面积为加，所以兀/一3兀，解得「一0(舍负)，

在aEPB中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，

^oS△Pf=/>2ta=（2〃+2c），

F1zLta

【二级结论】椭圆中Sg%&=b2-ta或

即枭>2=k（〃+c）②.又。2=按+°2③.联立①②③得c=3,a=6,b=3®

所以该椭圆的长轴长为2a=2X6=12.

A题型02周角定理（斜率积为定值）

技法指导

周角定理：已知点尸为椭圆（或双曲线）上异于顶点的任一点，.4,4为长轴（或实轴）端点，则在椭圆中，

kpA-kpB=^=e2-\,在双曲线中，kpAkpn=^=e2-\.

cr

3.（2025•河北衡水•一模）已知A,A分别为双曲线C：4-4=1（^>0,b>0）的左、右顶点，P是C

a~b~

上一点，且直线的斜率之积为2,则C的离心率为

A.41B.石C.V5D.«

【答案】B

【解析】（常规解法）由题意可知，4-〃,0）,例。,0）,设P（XQJ

•：K”—=2,•.•-4.±=2,即必2=2X：-2/

X、一a&十Q

又鸟一号=1,.•.他2-勿2打；="伊一为2）,解得了尸切（舍）,b2=2a2

厂I广

「.（?=£='1+口=6,故选B

（结论解法）由结论可得心心8="=4-1,即，-1=2,\e=石，故选B

4.（2025•辽宁葫芦岛•一模）已知椭圆G:寸+乙=1,A,8为G的短轴端点，尸为G上异于48的一点,

43

则直线力?，8P的斜率之积为（）

A.2c-2D.T

B-1

4,4

【答案】C

一至，

【解析】（常规解法）设户（飞,》0），则有今+与=1,即有火一3=

4

由椭圆方程不妨设短轴端点48的坐标分别为（0,6）、（0,-73）,

则上L打+W只-3―彳—3,故选C.

KAP•KBP一一>一—2~一一"

X。X。毛毛47

（结论解法）由椭圆方程《+£=1，可得/=4,〃=3,在椭圆中，如•加尸厚一3,故选C

43“4

A题型03椭圆、双曲线的焦点弦问题

技法指导

1.在椭圆中，焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长/mm=平.

2.在双曲线中，同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为手，异支的弦中最

短的为实轴，其长为2%

5.如图，Fi,B为椭圆亍+产=1的两焦点，尸为椭圆上除长轴端点外的任一点，NRPB的平分线与长

轴交于点M（〃?，0）,则机的取值范围是__________；

MF2Jx

【答案】|）

【解析】（1）设P（Xo，则），则IPF\I=a-\-exo,IPF2I=a—exo,

由角平分线性质知，一黜=；叫，于是得妇侬="£=吠=/*=京0,

IPF?IIM卜IIa—exQc—m4

因为xoW（—2,2）,所以〃7W（-I，1）.

6.已知双曲线C的左、右焦点分别为尸i（-V7,0）,Fi（V7,0）,过B的直线与。的右支交于48两点.

若旃=2用，I48I=I产出I,则双曲线C的方程为.

【答案】

34

【解析】如图，令II=£,则I/尸2I=2/,・•・IABI=3/,IF\BI=3z,

.又说T+T^TT-庐•••5+£一■?,即五一庐.

又I尸归I-I产28I=2cb：.3t-t=2a,：.2t=2a:,t=a,二；者,

t2ab，

即疗=4/，又。=夕，・・・标+〃=7,解得拄=4,/=3,故双曲线C的方程为二一二=1.

34

A题型04抛物线的的焦点弦问题

技法指导

设48是过抛物线产=2px（p>D）焦点尸的弦，若力（xi，yi）,B（*，"），则

（1）xiX2=jy\y2=—p2i

（2）焦半径IAFI=巾+==」一，IBEI=切+2=’一（。为弦力4与x轴的夹角）；

21-cosa21+cosa

।

（3）弦长1/8I=闪+也+〃=号（。为弦AB的倾斜角），且丁工+-=4

nn£aIAFIIBF7Irp

（4）S«Z48=J-（O为抛物线的顶点）；

2sma

（5）以44为直径的圆与准线和切：以"N为直径的圆与44切于焦点R以焦半径力尸（8Q为直径的

囱与y轴才目切.

7.过抛物线产=4x的焦点产的直线交抛物线于力，〃两点，点。是原点，若I力尸I=3,则△/。刀的面积

为（）

A.yB.V2

C.乎D.2V2

【答案】C

【解析】•・・/=叙，・・・〃=2,又由题意知击+高号反++=>],・・・蒋”力

设/力&=0（0<。<H）,由I力8I=I力/|+I8/I=冬=与，

si"0sin^0

即3+|=・，.'siM6=上sin夕=手，则△力08的面积S~（&=£^=—苧，故选C.

S，nS，n2x~

8.1多选）（2025•抚顺一模）已知抛物线C：f=2px（p>0）的准线方程为工=-1,过抛物线C的焦点尸

的直线/交抛物线。于48两点，则下列说法正确的是（）

A.IAB|的最小值为4

B.设0（3,2）,则/周长的最小值为4

C.以力尸为直径的圆与y轴相切

D.若丽^=2而，则直线/的斜率为2鱼或一2企

【答案】ACD

【解析】抛物线Cy2=2px（p>0）的准线方程为x=-l,所/=1,则p=2,所以抛物线C产=叙,

易知过焦点且垂直于对称轴的弦最短，所以I44I的最小值为2P=4,故A正确;

如图，过点力作准线的垂线，垂足为C,交y轴于小，F(l,0)，根据抛物线的定义可得I力/I=I4CI,

所以周长为I4N+I/。I+I。bI=I4CI+I/。I+J(3-1)2+22=I4CI+I4。I

+2V2,由图可知，当小。与点0共线时，I月。I+I力。I有最小值，最小值为0到准线工一一1的距

离，其值为3—(-1)=4,所以(I4CI+|力。|)min+2应=4+2遮，故B错误；易知C正确；设直

线AB的方程为x=my-\-1,联立］,整理可得：产-4/wy—4=0,易知△>(),设力(xnj'i)»B(X2,

(y2=4%,

以)，可得yi+y2=4/〃，JU2=—4,因为8尸=2兄4,所以、2=-2ji，解得j，2=8m,yi=—4〃?，炉以32加=4,

解得〃产所以4土旧=±2&,因此D正确.故选A、C,D.

A题型05切线问题

技法指导

1.设P(xo，yo)为椭圆7+7=1上的点，则过该点的切线方程为:翳+聿=1

2.设P(x0fy0)为双曲线1上的点，则过该点的切浅方程为詈一翳二1

2

3.设P(x0,y0)为抛物线y=2px上的点，则过该点的切线方程为yy()=p(%+々))

9.已知点尸(10,3)在椭圆C:£+匕=1上.若点N(x0Jo)在圆“：/+/=/2上，则圆M过点N的切线方程为

a-99

/x+)V=，2.由此类比得椭圆。在点尸处的切线方程为()

xy.

B'卡十导】C.—+—=1D

1133-小志T

【答案】C

inna

【解析】因为点尸。。⑶在椭+上,故可得一Y+嬴=1，解得/=110:

a99

由类比可得椭圆C在点尸处的切线方程为:

将+梦1,整理可得力力I，故选:C.

10求双曲线9=1在点44,何处的切线方程.

【答案】X-y/5y-1=0

【解析】因P（4,G）在双曲线上，双曲线3一步=［在点尸（4,⑹处的切线方程为x-岛-1=0.

A超型06圆锥曲线的第二定义

技法指导

1.圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥由线.当0V

eV1时为椭圆；当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线.

2.第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是

离心率e圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要

善于运用第二定义对它们进行相互转化.

上的右焦点，点〃为椭圆上一动点，求+的最小值,

11.已知点力（（一2,百））,设点尸为椭圆一+

16

并求此时点的的坐标.

【解】如图，过点/I作右准线/的垂线，垂足为M与椭圆文亍点仇

+目的最小值为I掰的长，且网=2+8=10,

+目的最小值为10,此时点的的坐标为（2百,百）.

22

12.已知椭圆3+左=1（4Q0）,Fi,B分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P,使/尸产尸2=90°,则椭

圆的离心率e的取值范围为.

【答案】呼，1）

【解析】设点尸（xo»/）,则由第二定义得IPF\I=e（xo+—c）=〃+exo，IPFrI=e（—c—AO）=a—exo.

因为△PQB中/6i尸B=90°,所以IPHI2+|PBI2=I尸尸2I2.

即（a+exo）2+（。-exo）2=（2c）解得焉=吟Q，

由椭圆方程中x的范围知OW邸42.所以ow当浴V*,解得我eV1.

A题型07阿基米德三角形

技法指导

抛物线的弦为过4〃两点做抛物线切线交于。点，称为阿基米德三角形，则有:

(1)阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴

[2)若阿基米德三角形的底边印弦力8过抛物线内的定点C,则另一顶点。的轨迹为一条直线

[3)底边为。的阿基米德三角形的面积最大值为金

8P

(4)若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点。的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p2

(5)在阿基米德三角膨中，N0〃=N。用

13.阿基米德(公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理

学方面贡献巨大，还享有“数学之神''的称号.抛物线上任意两点4B处的切线交于点P,称AP/IB为“阿基

米德三角形”，当线段48经过抛物线焦点F时，△PAB具有以卜特征：(1)P点必在抛物线的准线上；(2)APAB

为直角三角形，且P4_LP8；(3)PFJL/18.已知过抛物线无？=16y焦点的直线，与抛物线交于A,8两点，

过点48处的切线交于点P,若点P的横坐标为2,则直线力8的方程为()

A.x+2y-8=0B.x-2y+8=0

C.%—4y+16=0D.%+4y—16=0

【答案】C

【解析】抛物线d=16y的焦点F的坐标为(0,4),准线方程为y=-4,

由题意知，△PAR为“阿基米德三角形”，可得P点必在抛物线的准线上，

所以点P(2,-4),直线PF的斜率为，^=一4,

又因为所以直线48的斜率为:，

所以直线48的方程为y=：%+4,即％-4y+16=0,故选：C.

14.己知抛物线C炉=4户直线卜=履+力与抛物线交于48两点，|44|=8,且抛物线在力，8处的切线相

交于点P，则的面积最大值为()

A.8B.16C.162D.32

【答案】D

y=kx+b,小、

【解析】方法一设力(xi,yi),8(X2，N2),联立得X2-4ALI-46=0,

V=4y,

由根与系数的关系得XI+X2=4鼠x\xi=-4b,

4

又|/4|=1+^2|XI—X2|=1+公，16女2+164=8,故乃+力=]+产，

又N=4y,.\y=：x2,，歹,=},故直线为的方程为y—yi=；xi（x—xi）,

即y=1x-l行，同理，直线心的方程为y=Ur-l。

24,24

联立直线以，08方程可得X—乃+也歹一笛也

2'4

即X=?=2〃，y=x；2=-A即p(2£,—b),・•・点P到直线的距离d=+2”

1+后

=；1阴公;X8x2：：j;=4X432

1+产

(1+r)

当」=0时,（S△加*=32.

方法二由阿基米德三角形的性质加（S.L）max」y=M=32.

1.柄圆C的左、右焦点分别记为片、F],过左焦点片的直线交椭圆C于力、〃两点.若弦长|/加I的最小值为3,

旦△48鸟的周长为8,则椭圆。的焦距等于（）

A.1B.2C.&D.26

【答案】B

【解析】由题意可知且=3,4q=8,「.a=2,〃=3,，c=l,焦距等于2,故选B.

a2

2.设厂为抛物线C产=3工的焦点，过”且倾斜角为30。的直线交C于力，B两点,。为坐标原点，则△404

的面积为（）

A33B93

48

C63D9

324

【答案】D

9

【铎析】抛物线C：产=3》中，2P=3,〃=：,故1=4=，.

22sme2sin30°4

3.已知过圆锥曲线匕+仁=】上一点P（x°,线）的切线方程为型=1.过椭圆二+片=1上的点％（3,-1）

mnmn124

作椭圆的切线/,则过A点且与直线/垂直的直线方程为（）

A.x-y-3=0B.x+y-2=()

C.2x+3y-3=()D.3x-y-10=0

【答案】B

【解析】过椭圆[+!=1上的点4（3,-1）的切线/的方程为存^=1,即x-y-4=0,切线/的斜率为

1.与直线/垂直的直线的斜率为・1，过A点且与直线/垂直的直线方程为y+l=-（x-3）,即x+y-2=0,故

选B

4.已知抛物线C的顶点是原点。，焦点/在x轴的正半轴上，经过点尸的直线与抛物线C交于48两点，

若瓦?•丽=-12,则抛物线。的方程为（）

A.x2=8^B.x2=4y

C./=8xD.y1=4x

【答案】C

【解析】设抛物线为y=2px（/?>0）»A（xi，y\）,B（X2»次），

则工iX2=9,yiy2=_pz，得丽・丽=xi、2十ys=q_p'=_）2=_12,得p=4,

即抛物线C的方程为炉=8x.故选C.

5.（2025•重庆模拟）如图，A,B分别是椭圆C：5+，=1的左、右顶点，点P在以48为直

径的圆。上（点P异于48两点），线段4P与椭圆C交于另一点。，若直线8尸的斜率是直线80的斜

率的4倍，则椭圆。的离心率为（）

A.gB.1C.fD.1

【答案】C

【解析】根据周角定理可知自°•心0=/—1,又「加•册P=-1，

（4k6Q=k[jp，

所以自0•苞"=4匕•履0=4（e2-l）=—l=c=?.故选C.

6.设E，尸2为椭圆C：炉的焦点，若在椭圆。上存在点P,满足NHPF2=120。，则实数〃的

n

取值范围为（）

A.（0,—]B,[—,1）

C（O当D」号）

【答案】A

【解析】易知当点尸位于椭圆的左顶点或右顶点时，NQP出最大，且△〃？1出的面积也最大，故〃tan

°Jx2cXb.

22

即\-rtX〃，又故解得0<〃wL

24

7.已知Q,B分别是椭圆C：5+，=1（。>6>0）的左、右焦点，若椭圆。上存在点M使得/*也6=2。

（1H0）,则椭圆C的离心率e的取值范围为（）

A.（0,sin2。]B.（0,sina]

C.[sinla,I）D.[sina,1）

【答案】D

【解析】由题，0<2。<兀，则OVaV],由焦点三角形面积公式得54「遇尸2="加11a,

设MCxo,yo）,则IyoIWb,所以IyoIWbc,

故5^FiMF2=〃tanaWbc,所以MnaWccosa,

两边同时平方得（*一标）sin?aWc2cos2。，解得sinaWe,

又0<e<l,所以sinaWeVl.故选D.

8.1多选）（2025•浙江温州二模）已知双曲线C：[一号=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别是Q,B，

aLb乙

过右焦点用的直线/与双曲线的石支交与44两点，则下列说法中正确的是（）

A.弦的最小值为空

a

B.若I力3I=〃】,则△R/B的周长为2m+4a

C.若力3的中点为M,且48的斜率为〃，则

a£

D.若宜线的斜率为V5,则双曲线的岗心率[2,+8）

【答案】ABC

【解析】弦48的最小值为通径空，故A正确；

a

由双曲线的定义得|JFiI-IAFiI=2a,I8RI—IBFiI=2a,

所以I力月I=IAFiI+2a,II=IBF2I+2a,

I+I〃产iI=IAFiI+2a+IBFiI+2a=IABI+4。，

则△产MB的周长为I4*I+II+II=2I48I+4q=2/〃+4Q,故B正确；

由双曲线可得k.4B,ko.\f=~2i故C正确；

or

若直线44的斜率为b，所以9<遍，所以〃V3M,所以C2V4a2,

所以e=£w（1,2）,故D错误.故选A、B、C.

a

9.（多选）设椭圆C：5+，=1的左、右焦点分别为B，B,左、右顶点分别为小，力2,点产

是C上异于小，42的一点，则下列结论正确的是（