2027年高考数学一轮复习：函数的性质

第7讲函数的性质

知识梳理

1、函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数/（公的定义域为A,区间。qA：

如果对于。内的任意两个自变量的值不,公当时，都有/（%）＜/（£）,那么就

说/。）在区间。上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值不，x2,当N＜当时，都有/（N）＜/（内）,那么

就说/（x）在区间。上是减函数.

①属于定义域入内某个区间上；

②任意两个自变量内，/且占＜々；

③都有f（X[）＜f（x2）或/（x,）＞f（x2）；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右

是下降的.

（2）单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数/3）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数

在区间。上具有单调性，。称为函数了。）的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函

数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数

是减（增）函数，复合函数是减函数.

2、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/（幻的定义域内任意一个都有关于），轴对

偶函数

f（-x）=f（x）,那么函数f（x）就叫做偶函数称

关于原点对

奇函数如果对于函数/（幻的定义域内任意一个1,都有

称

/-(-X)=-/(x),那么函数/(X)就叫做奇函数

判断/(-幻与/(X)的关系时，也可以使用如下结论：如果/(T)-/(X)=O或

止也=l(f(x),0)，则函数/(X)为偶函数:如果/(-XI+f(x)=0或

/(X)

△l也=-1(/(幻工0),则函数/(处为奇函数.

fM

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内

的任意一个工,-x也在定义域内(即定义域关于原点对称).

3、函数的对称性

(1)若函数)，=/(什G为偶函数，则函数y=/(x)关于x=。对称.

(2)若函数)，=/(x-Fa)为奇函数，则函数y=/")关于点(a,0)对称.

(3)若f(x)=f(2a-x),则函数/(x)关于x=〃对称.

(4)若/(A)I/(2a-x)-2b,则函数f(x)关于点(a>b)对称.

4、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数)，=/(、)，如果存在一个非零常数丁，使得当x取定义域内的任何值时，都

有/(x+T)=/(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数/。)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做

f(x)的最小正周期.

【解题方法总结】

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值：设%，£是/(X)定义域内一个区间上的任意两个量，且看<£；

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论“进行

判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

(3)记住几条常用的结论：

①若/*)是增函数，则-/(幻为减函数；若/")是减函数，则-为增函数；

②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(x)和g(x)的公共定义域上f(.x)+g(x｝为

增(或减)函数;

③若/(x)>0且/(x)为增函数，则函数J面为增函数，」一为减函数；

/(X)

④若/(x)>0且/*)为减函数，则函数4而为减函数，「一为增函数.

f(x)

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数八幻是偶函数。函数f(x)的图象关于)，轴对称；

函数/(幻是奇函数o函数/(X)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数)，=f(x)在x=()处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=/(幻必满足f(x)=/(Ix|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内

关于原点对称的两个区间上单调性相同.

(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则函数/。)能表示成一个偶函数与一个奇函

数的和的形式.记g(x)=；［/(x)+/(-x)］，=，则/(x)=g(x)+h(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除

四则运算所得的函数,如/(x)+-g(x),f(x)xg(x)J(x)子g(x).

对于运算函数有如下结论：奇±奇二奇；偶土偶二偶；奇士偶=非奇非偶；

奇x(+)奇=偶；奇x(小)偶二奇；偶x(+)偶=偶.

(7)复合函数)，=的奇偶性原求：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数f(x)=皿"+1)Gw0)或函数/(x)=m(-——-).

a~\。+1

②函数=

③函数/(X)=log“五?=log”(1+2上)或函数/(幻=log“七%=log”(1一--)

x-mx-mx+mx+m

2

④函数/(X)=10gjVx+l+X)或函数/(x)=log(l(VP+l-x).

注意：关于①式，可以写成函数/•(幻=〃2+2(4/0)或函数

a-1

/•/、2m/C、

f(x)=m一一—(meR).

a+\

偶函数：①函数/(*)=土(函+尸).

w

②函数f(x)=logu(a+l)-y.

③函数/(|x|)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(.re/?)周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

/*+为=1；&+乃=-1

2T

f(x)/(A)

f(x+T)=f(X-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

f(a+x)=f(a-x)

2(b-a)

f(b+x)=f(b-x)

if(a+x)=f(a-x)

[f(x)为偶函数2a

J\a+x)=-f{a-x)

42(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-f(a-x)

2a

/1)为奇函数

f(a+x)=f{a-x)

4s-a)

f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=f(a-x)

4a

J(x)为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)

4a

f(x)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/*)是周期函数.且

T=2s—:

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),(4c)(avb),则函数y=/(x)是周

期函数，旦丁=2(〃-“)；

(3)若函数y=/(%)有一条对称轴x=a和一个对称中心(仇0)3〈力，则函数

y=/(x)是周期函数，且r=4S-〃).

5、对称性技巧

(1)若函数)，=/(幻关于直线x=a对称，则/(a+x)=/(a-x).

(2)若函数y=/'(X)关于点(a,〃)对称，则f(a+x)+/(a-x)=2b.

(3)函数)，=/(〃+/)与y=/(a—x)关于y轴对称.函数)，=/(a+x)与y=-/(〃一工)

关于原点对称.

必考题型全归纳

题型一：函数的单调性及其应用

例1.已知函数/(x)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数4，/，总有

,«)[/(内)>0成立,则函数/(x)一定是()

X2~X1

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数

【答案】C

【解析】对于任意两个不相等的实数4，招，总有"内)—〃*)>0成立,

与一x

等价于对于任意两个不相等的实数不<%,总有/(内)</(9).

所以函数/(X)一定是增函数.

故选：C

例2.若定义在R上的函数7U)对任意两个不相等的实数小b,总有叫⑹>0成立,则

a-b

必有()

A.八丫)在R上是增函数B../(x)在R上是减函数

C.函数;(x)先增后减D.函数yir)先减后增

【答案】A

【解析】由"")尸")>0知贝与。山同号，即当a<b时，或当a>b时，

a-b

艮a»Rb),所以火幻在R上是增函数.

故选：A.

例3.下列函数中,满足“/(x+y)=/(x)/()，)”的单调逆增函数是

A.“可=/B./(x)=V

c./(A-)=f|TD.f(x)=y

【答案】D

【解析】由于相.#=优，，所以指数函数/(幻=优满足f(x+y)=f(“+/()，)，且当。>1

时单调递增，0VXV1时单调递减，所以/(力=3、满足题意，故选D.

考点：幕函数、指数函数的单调性.

变式1.函数/(6=,-3x+2|的单调递增区间是()

A.1+8)B.1,—和［2,+巧

C.(―*1］和•1,2D.l-00，"!)和［2,+8)

【答案】B

x2-3x+2,x<1

【解析】尸产31+2卜.—x'+3x—2[<x<2

x2-3x+2,x>2

如图所示:

3

函数的单调递增区间是1.-和［2.+8).

故选：B.

变式2.(江苏省泰州市海陵区2024学年高三上学期期中数学试题)已知函数

fw=--^-,xe(0,+co).

x+l

⑴判断函数的单调性，并利用定义证明；

⑵若〃2机-1)>/(1-m)，求实数”的取值范围.

【解析】（1）f（x）在（0,侪）上递减,理由如下:

任取司，々金包一)，且X<%2，则

/(匹)-/(玉)=-t+二

X2+lX1+l

_2M(x2+1)-2X2(X,+1)

(再4-1)($+1)

2(X1-X2)

(七+1)(内+D'

因为C(°，+°°)，且X|<%2，

所以百一%<0，(x2+1)(^+1)>0,

所以/（七）一/小）<0,即/（亦/（/），

所以/⑴在（0,+00）上递减；

（2）由（1）可知/。）在（0,+刈上递减,

所以由得

2m-1>0

12

l-/w>0,解得一<"?<一,

23

所以实数切的取值范围为（g，I）.

变式3.（2024•全国•高三专题练习）设。>0,证明：函数奴工）=土」是1的增函

X

数（x>0）.

【解析】证明：当M>x>0,在伯努利不等式定理3中取1+X="x*r=%,0<"1,

X2

则有（1+X）r4l+疗，即G+，（/T）,

则有+土（人_1）,从父■二〉上L

W4内

即夕（&）>。（5）.

所以当x>0时，>（工）是x的增函数.

变式4.（2024.上海静安•高三校考期中）已知函数/（%）=£—=（〃>0）,且f（0）=0.

a2

⑴求。的值，并指出函数f(x)的奇偶性；

(2)在(1)的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数/⑴在(—,+功上是增函数.

【解析】(1)因为/(0)=1-〃=0,又。〉0,所以4=1,

a

所以/(幻=2、--,XG(―),

此时f(-x)=*-2,=-/(X),所以f(x)为奇函数；

(2)任取王<工2，贝U/(工)_/(为)=2"_二_2"

2,2?

7xi-2与11

=⑵-2”)+=⑵一2,)(1+/)=2』(I+-)(1-2L),

因为X<%,所以2-2F>1,所以1一25<0,2x,(l+—^-)>0

所以/U,)-/(x2)<0即/(内)<f(x2),

所以函数八X)在(f，+00)上是增函数.

【解题总结】

函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论“进行

判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

题型二：复合函数单调性的判断

例4.函数y=y]£+3]的单调递减区间为()

(3-

A.-00,--B.「介8)

【2J

C.[0,+8)D.(F-3]

【答案】D

【解析】由题意，得V+3xN0,解得xV-3或xNO,

所以函数尸42+31的定义域为(田，-3][0,-HX)),

令/=/+3,1,则/=f+3x开口向上，对称轴为大二一:，

2

所以，=犬+3]在3]上单调递减，在10,-KO)上单调递增,

而y=«在[0,+co）上单调递增,

所以函数y=6+3工的单调递减区间为（-，-3].

故选：D.

例5.（陕西省宝鸡市金台区2024学年高三下学期期末数学试题）函数），=1。842'-/）的

单调递减区间为（）

A.（1,2）B.（1,2]

C.（0,1）D.[0,1）

【答案】A

【解析】由2x-f>o,得0<%<2,

令1=2%-/,则丁=1吟,

r=在（0,1）上递增,在（1,2）上递减，

因为丁=1Og2/在定义域内为增函数，

所以），=log2（2.T-J）的单调递减区间为（1,2）,

故选：A

例6.（陕西省榆林市2024学年高三下学期阶段性测试）函数y=lg（2cosx-6）的单调递

增区间为()

2太乃十江,2女乃+弓江）（keZ）

A.(2匕r+/r,2k/r+2;r)(k£Z)B.

C.(2k»-?,2k;r)(kwZ)D.(2k7r,2k7r+—(keZ)

V6)

【答案】C

【解析】根据题意—凤。，解得，2痴/<—标〃

又函数），=3»•在定义域内为单调增函数，

且函数y=2cosx-6在（2"去2Tkz内为单调增函数

根据复合函数的单调性可知:

y=fe（2cosX-75）的单调增区间为2女乃-奈2也、keZ

选项C正确，选项ABD错误.

故选：c.

【解题总结】

讨论更合函数y=/［g(x)］的单调性时要注意：既要把握更合过程，又要掌握基本函数

的单调性.一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复

合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：

1、若〃=g(x),)，=/(“)在所讨论的区间上都是增曲数或都是减函数，则

为增函数；

2、若〃=g(x),)，=/(〃)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则

题型三：利用函数单调性求函数最值

例7.(河南省2024屈高三下学期仿真模拟考试数学试题)已知函数”同为定义在R上的

单调函数，且/(/(⑼-2=2”=10,则/⑴在［-2,2］上的值域为

【答案】［-二10

4

【解析】因为/(x)为定义在R上的单调函数，

所以存在唯一的/€/?,使得/(，)=10,

则/(力―2'_2x=1，=即/(/)=2'+3f=10,

因为函数y=2'+3/为增函数，且22+3x2=10,所以，=2,

/(工)=2'+2工+2.

7

易知/(X)在卜2,2］上为增函数，且/(_2)=-*"2)=10，

「7

则/”)在［-2,2］上的值域为--,10.

故答案为：T。

例8.（上海市静安区2024届高三二模数学试题）已知函数/（力=3（4>0）为偶函数,

则函数八"的值域为.

【答案】

【解析】函数/（x）=£g（«>0）是偶函数,

八)J\)2、+12r+l2、+1a

.•./(”=著，易得/(力＞0,

设，=（四『（/>0）,

i1/

则iRriTF,

T十一

t

当且仅当/=［即，=i时，等号成立，

t

所以O<Y?，

2

所以函数/（x）的值域为0g.

故答案为：（o,l.

例9.（河南省部分学校大联考2024学年高三卜.学期3月质量检测）已知函数

/（耳二"+3工+13>0月."1）,若曲线y=〃x）在点值,/（0））处的切线与直线

工+2），-1=0垂直，则〃工）在上的最大值为.

【答案】7+4

【解析】由题意得r（x）=a'】na+3,所以/'（0）=lna+3,

因为切线与直线x+2），-1=0垂直，而丹2），-1=0的斜率为-；，

所以切线斜率为2,即lna+3=2,解得a=e」，

所以/（x）=e'+3x+l,且/'（工）=-€-'+3,

显然/'（X）是增函数,

当xe［—l,2］时，/'"）N/'（T）=3—e>0,

所以/W在［T2］上单调递增，故/（幻四=/（2）=7+4.

C

故答案为：7+3

e

变式5.（新疆乌鲁木齐市第八中学2024屈高三上学期第一次月考）若函数八刈=签/

在区间［（）,1］上的最大值为3,则实数*.

【答案】3

【解析】•・・函数〃力=2¥=2+耳，

7x+\x+\

由复合函数的单调性知，

当〃>2时，/"）=生士竺在［05上单调递减，最大值为/⑼=，〃=3；

X+1

当机<2时，二牛;在［0川上单调递增，最大值为/（1）=彗=3,

UPni=4,显然〃?=4不合题意，

故实数机=3.

故答案为：3

【解题总结】

利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值.常用到下面的结

论：

1、如果函数），=/（2在区间（。，句上是增函数，在区间伊，c）上是减函数，则函数

_v=fM（xea,c）在x=Z?处有最大值/（Z?）.

2、如果函数），=/（幻在区间（〃，句上是减函数，在区间g，c）上是增函数，则函数

y=f（x）（xe。，c）在x=〃处有最小值f（b）.

3、若函数y=/（.r）在他，加上是严格单调函数，则函数），=/3）在m，上一定有最

大、最小值.

4、若函数y=/（x）在区间［a,句上是单调递增函数,则），=/*）的最大值是/（切，最

小值是/3）.

5、若函数y=/（x）在区间［。，回上是单调递减函数，则y=/（x）的最大值是/（。），最

小值是/S）.

题型四：利用函数单调性求参数的范围

[3〃-l)x+4〃(x<1)

例10.已知函数/（"=<满足对任意的实数,巧且工玉，都有

.(xNl)N

［/（内）-/@2）］（内-W）<°，则实数4的取值范围为（）

I)1D."

A.1B.(X-

?.6J

【答案】C

【解析】对任意的实数人产马，都有［/1）-/（%）］（%-%）<0,即以止以义<0成立,

X\~X2

可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0,说明函数是减函数；

36?-1<0

可得：'«>0

3a-l+4a>a

例11.（吉林省松原市2024学年高三上学期第一次月考）若函数/（力=唾“，-胡）

（。〉0且〃工1）在区间（-；，。］内单调递增，则。的取宜范围是（）

【答案】B

【解析】函数/（外=1惆（八*（〃>0,”1）在区间（-1,0）内有意义，

224

设/=/一数则y=logj,「=3/-。

（I）当〃>I时，y=logur是增函数，

要使函数/⑴=logjx3-17^）（6/>0.31）在区间（-;，。）内单调递增，

需使/=x3-av在区间（-；,0）内内单调递增，

则需使r=3/—a之0,对任意xc（—；（））恒成立，即〃工3/对任意xe（—；,0）恒成立;

I3I

因为XW（-不（））时，0<3/<:所以〃<0与4>二矛盾，此时不成立.

244

(2)当o<a<i时，y=log/是减函数,

要使函数/(X)=loga(父一办)(。>0M/1)在区间(-1,0)内单调递增，

需使/=/-4X在区间(-g,0)内内单调递减，

则需使r=3x2-«<0对任意Xe(-;,0)恒成立，

即a>3x2对任意x€(一10)恒成立,

17

因为xe(——,0)时,0<3/〈一，

24

3

所以。…二，

4

3

又a<1,所以—„a<1.

4

3

综上，。的取值范围是

4

故选：B

例12.(四川省广安市2024学年高三上学期期末数学试题)已知函数

-x2-av-9,x<1

〃x)=a在R上单调递增，则实数〃的取值范围为()

—,x>\

X

A.[-5,0)B.(-oo,-2)

C.[-5,-2]D.S©

【答案】C

【解析】由题意，犬eR,

-x2-ar-9,x<1

在/W=・a中，函数单调递增,

一,x>1

x

一一>1

2x(7)一

a<0,解得：-5<a<-2,

一1一a—94一

1

故选：C.

变式6.(江西省临川第一中学2024届高三上学期期末考试数学(理)试题)己知函数

/（力=1等”卜2一办+3）在［0,1］上是减函数，则实数。的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,4)

C.(0,1)D(1，4)D.[2,4)

【答案】D

【解析】函数/"）=1。&，-〃13）在［0』上是减函数,

22

当0<«<1时、x2-av+3=(X--)2+3-—>3-—>0恒成立,

244

而函数〃=/-⑪+3在区间［0』上不单调，因此不符合题意,

当时，函数），=bg“〃在（。,内）上单调递增，于是得函数〃一⑪+3在区间［05上

单调递减，

因此今21，并且12_々.1+3>0,解得2«"4,

所以实数。的取值范围是［2,4）.

故选：D

变式7.（天津市复兴中学2024学年高三上学期期末数学试题）已知函数

〃力=^+2人-5在［-2,4］上具有单调性，则实数々的取值范围为（）.

A.k<-4B.k>2

C.ZW-4或％22D.ZvY或k>2

【答案】C

【解析】函数/（x）=W+2去一5的对称轴为犬=-女，

因为函数〃工）=丁+2区-5在［-2,4］上具有单调性，

丹〒以一&之4或一AS-2,即&4-4或&之2.

故选：C

【解题总结】

若已知函数的单调性，求参数〃的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参

数。的不等式，利用下面的结论求解..

1若a>/（.r）在［m,n］上恒成立<=>a>/（x）在［m,川上的最大值.

2、若avf（x）在［m,n］上恒成立<=>a<f（x）在［m，n］上的最小值.

题型五：基本初等函数的单调性

例13.(2024•天津河西•天津市新华中学校考模拟预测)已知函数)=/(1+2)是R上的偶

函数，对任意王，^e[2,+a>),且式尸玉都有也与以义>0成立.若a=/(bg.J8),

^=/pn-^=j,c=fe2,则a,b,c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因为函数y=/(x+2)是R上的偶函数，

所以函数y=/(x)的对称轴为x=2,

又因为对任意玉，9w[2,”)，且x尸々都有小)["")>。成立.

王—玉

所以函数y=〃x)在(2,y)上单调递增，

2

而3=log327>log318>log,9=2,In-^==Ine-In>/2=2-InV2<2,

In10

e~=eln7^=Vi0>3»

汕e2

所以e2>logJ8>2>ln-y=,

所以c〉a,

因为函数y=〃工)的对称轴为x=2,

所以j

而a=/(log318)=/(log,9x2)=/(2+log32),

因为In夜<1(^2,

所以2<4—ln<log18<3,

423

所以〃va,

所以bv〃vc.

故选：A.

例14.(多选题)(甘肃省庆阳市宁县第一中学2024学会高三上学期期中数学试题)已知

函数“X)在区间［-5,5］上是偶函数，在区间［0,5］上是单调函数，且/⑶<〃1),则

()

A./(-!)</(-3)B./(0)>/(-1)

C./(-1)</(1)D./(-3)>/(5)

【答案】BD

【解析】函数”力在区间［0,5］上是单调函数，又3>1,K/(3)</(l),

故此函数在区间［0,5］上是减函数.

由已知条件及偶函数性质，知函数/(外在区间卜5,0］上是增函数.

对于A,-3<-1,故/(一3)〈/(一1),故A错误;

对于B,0>-1,故故B正确；

对于C,/(-1)=/(1),故C错误；

对于D,/(-3)=/(3)>/(5),故D正确.

故选:BD.

例15.(2024届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题)下列函数中，既是偶函数又

在区间(0,+8)上单调递增的是()

y211

A.y=xB.y=-x+1C.y=log2JD.y=2'

【答案】D

【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐•判断可得答案.函数是奇函

数，不符合；

函数)，=_/+］是偶函数，但是在。内)上单调递减，不符合；

函数y=iog2x不是偶函数，不符合；

函数)，=2.既是偶函数又在区间(0,+00)上单调递增，符合.

故选：D

【解题总结】

1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解

决.

2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③

求复合函数单调区间(同惮异减).

3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为己知数，依据函数图像或单调性定

义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数

定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.

题型六：函数的奇偶性的判断与证明

例16.利用图象判断下列函数的奇偶性：

-X2+2x+l,x>0

(1)/U)=<

x2+2x-\,x<0

x2+x,x<0,

(2)/(x)=

x2-x,x>0

⑶y=(干；

(4)y=|log2(x+l)|；

⑸)，=/一2国一1.

【解析】(l)函数/(x)的定义域为(ro,0)(0,-KO),

-x2+2x+\,x>0

对于函数/(幻=〈

x2+2x-\,x<0

当x>0J(x)=-/+2x+l,为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为x=l,

SX<0,/(X)=X2+2X-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为户—1,

画出函数/(x)=<,cI'八的图象，如图所示，

x~+2x-Lx<0

函数图象关于原点对称，所以函数/(”)为奇函数;

(2)函数八幻的定义域为(-8,0)1(0,y),

对于函数/(%)=/,+，’

x~-x,%>0

当x<0JCi)=Y+x,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为工=-；,

当x>0J(幻为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为“二；,

/+1,t<0

画出函数/(X)=〈，’’，的图象，如图所示，

x~-x,了>0

函数图象关于y轴对称，故/(©为偶函数；

再作出y=(；)"的图象中Q0部分关于y轴的对称部分，

即得),=gw的图象，如图实线部分.

由图知y=(g/的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.

（4）将函数y=log2X的图象向左平移一个单位长度，再将X轴下方的部分沿X轴翻折上

去，

即可得到函数y=Ilog式X+1）1的图象,如图,

由图知y=|log2（x+l）|的图象既不关于y轴对称，也不关于X轴对称,

所以该函数为非奇非偶函数；

/<、N我〃\2,->1J1X

(5)函数¥=/(%)=X2%1=-2A-1,X>0,

2+2x-l,x<0

当X20J（X）=X2-2X-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=l,

当x<0J（x）=f+2x-i,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为后一1,

/-2x—1（〉0

画出函数/⑴=二。的图象‘如图'

所以该函数为偶函数.

例17.（2024.北京•高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+8）上单调递增的

是（）

A.y=cosxB.y=eHC.>'=lg-tD.y=-

X

【答案】B

【解析】对于A,函数），=cosx的定义域为R,且满足cos（T）=cosx,所以其为偶函数,

在(0,兀)上单调递减，在(凡2兀)上单调递减，故A不符合题意；

e\x>0

对于B,设)，=7%)=阴，函数"x)=』=d)r<0的定义域为R,

,e

且满足/(-X)=/(X),所以函数“X)=/为偶函数，

当xe(0,+8)时，/(x)=e'为单调递增函数，故B符合题意；

对于C,函数y=lgx的定义域为(0,+8),不关于原点对称，

所以函数y=lgx为非奇非偶函数，故C不符合题意；

对于D,设)，=/(.r)=L函数/*)=’的定义域为(f0)J(0,+a)),关于原点对称，

XX

且满足/(-A-)=-/(X),所以函数/*)=L为奇函数，

.1

乂函数/(X)在(0,+00)上单调递减”故D不符合题意.

故选：B.

例18.(多选题)(黑龙江省哈尔滨市第五中学校2024学年高三下学期开学检测数学试

题)设函数FG),g(x)的定义域都为R,且“力是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论

正确的是()

A./(工)遭("是偶函数B.是奇函数

C./3・|g(x)|是奇函数D.|/(x)・g(x)|是偶函数

【答案】CD

【解析】因为函数〃力，8(工)的定义域都为R,

所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，

因为是奇函数,g(为是偶函数,

所以f(T)=-f(4),g(f)=g(N),

对于A,因为/(T)g(T)=-/(K)g(X),

所以函数/(x)-g(x)是奇函数，故A错误；

对于B,因为|f(T»g(T)4/⑸-g(x)=|/⑸,g(x),

所以函数|〃斓"幻是偶函数,故B错误：

对于C,因为/(-X).|g(T)|=-/(X).|g(X)|,

所以函数/(x)・|g(x)|是奇函数，故C正确；

对于D,因为|/(T)g(T)卜卜/(x)g(x)|=1(x).g(x)|,

所以函数|/(“十(力|是偶函数，故D正确.

故选：CD.

变式8.(北京市海淀区2024届高三二模数学试题)下列函数中，既是奇函数又在区间

(0.1)上单调递增的是()

2

A.>'=lgxB,y=-C.)，=2国D.y=tanx

x

【答案】D

【解析】对于A,y=lgx的定义域为(O,i8),定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函

数，故A错误，

对于B,/")=-的定义域为(「8,0)1)(0,y)，定义域关于原点对称，又

A

/(-%)=-4="),所以"X)为奇函数,但在(0,1)单调递减,故B错误,

X

对于C,/("=2国的定义域为R,关于原点对称，又/(-6=2卜心2忖=/(x),故/(力为偶

函数，故C错误，

对于D,/(A)=tanx,由正切函数的性质可知/(x)=tanx为奇函数，且在(0,1)单调递增，

故D正确，

故选：D

【解题总结】

函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的

对称性.

题型七：已知函数的奇偶性求参数

例19.(四川省成都市蓉城联盟2024学年高三下学期第二次联考)已知函数

/(x)=(ex+ae-x)sin2x是偶函数,则。=.

【答案】-1

【斜析】〃x)=(e、aeT)sin2工定义域为R,

由f(-x)=f(x)得：(c-A4-£7CV)sin(-2A)=(c'+讹-')sin2x,

因为sin(-2x)=-sin2x,所以一+〃e')=e'+。。一'，投〃=一1.

故答案为：-1

例20.(江西省部分学校2024届高三下学期一轮复习验收考试)若函数

〃力二嘎2(⑹+1)一如是偶函数，则1呜2=.

【答案】1

【解析】•・•/(力为偶函数，定义域为R,

工对任意的实数工都有/(1)守(-力，

-

即logjw+l)-ar=log2(16'+l)+o¥,

V

/.2ax=log2(16I1)log,(16rl1)=log216、=4x,

由题意得上式对任意的实数X恒成立，

/.2tz=4,解得。=2,所以log“2=l

故答案为：1

例21.(湖南省部分学校2024届高三下学期5月联数学试题)已知函数

2

f(x)=2x+ax+2t若/(x+1)是偶函数，则a=.

【答案】-4

【解析】因为/(1+1)是偶函数，

所以〃T+1)=/(X+1),

「.2(-x+1)+a(—x+1)+2=2(x+1)+a(x+l)+2,

即8A=—2a人,

解得4=Y.

故答案为：—4.

变式9.若函数/(x)=2e"+呢々ri为偶函数，则”

【答案】2

［解析】V函数/(X)=262K+讹N+1为偶函数

/(x)=2e2'+t/e-2r4-l=/(-v)=2e~2r+ae2x+1

gp(2-a)e2x=(2-a)e-2x

又>0,e>0,e2v^e~2,(x^O):.2-a=Q

故答案为：f/=0

【解题总结】

利用函数的奇偶性的定义转化为/(-x)二±/(x),建立方程，使问题得到解决，但是

在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.

题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值

例22.(2024年高三数学押题卷五)已知函数〃力是奇函数，函数g(x)是偶函数.若

警卜()

/(x)-g(x)=xsinx,则/

2023兀2023兀

A.B.FC.0D.-I

【答案】C

【解析】由函数/(X)是奇函数，函数g(x)是偶函数，f(x)-g(x)=xsinx,

故)(-X)-g(-x)=-xsin(-v),即一/(x)-g(x)=xsin(x),

将该式和/。)-8(%)=心出％相减可得/(力=0,

e/20237rl八

则/[二一J=。，

故选：C

、21<0

例23.(广东省湛江市2024届高三二模数学试题)已知奇函数〃x)=/、；'M

g(x)=.

【答案】-X2+3'-1

【解析】当x>0时，-x<0,/(X)=(x)+1=-/(-X)=-[(-x)2-^x]]=-x2+3X,

则网力=一/+3'-1.

故答案为：—/+3，—1.

例24.已知函数是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(力=-丁+44-3,则函数

/(X)的解析式为.

x2+4x+3,x<0

【答案】/“)=・0」=0

-x2+4.v-3,x>0

【解析】由于函数/(力是R上的奇函数，则"0)=0.

当x>0时，/(A)=一V+4工一3,

设xvO,则一x>0,则/(一工)=一/-4x-3=-/(x),

所以/(x)=f+4x+3.

x2+4x+3,x<0

综上所述，/(x)=，0,x=()

-x2+4x-3,x>0

x2+4x+3,x<0

故答案为：/(x)=，0,x=。

-x2+4x-3,x>0

变式10.设函数"D与g(x)的定义域是{xwR|x工±1},函数〃幻是一个偶函数，g。)是

一个奇函数，且/(》)-g(Q=-1,则/⑺等于()

X-1

A102/2n2x

A."z13.C・-zD.";

x2-lx2-\x2-\x--1

【答案】A

【解析】由函数/(幻是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，

所以/(-X)=fM,g(-x)=-