9.三角函数与解三角形的综合应用

1/19.三角函数与解三角形的综合应用1.（2021·全国乙卷9题）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（）A.表高×表距表目距的差＋表高 B.C.表高×表距表目距的差＋表距 D.解析：A因为FG∥AB，所以FGAB＝GCCA，所以GC＝FGAB·CA.因为DE∥AB，所以DEAB＝EHAH，所以EH＝DEAB·AH.又DE＝FG，所以GC－EH＝DEAB（CA－AH）＝DEAB×HC＝DEAB×（HG＋GC）＝DEAB×（EG－EH＋GC）.由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差＝表高AB×（表距＋表目距的差），所以AB＝表高表目距的差2.〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷11题）已知△ABC的面积为14，cos2A＋cos2B＋2sinC＝2，cosAcosBsinC＝1A.sinC＝sin2A＋sin2BB.AB＝2C.sinA＋sinB＝6D.AC2＋BC2＝3解析：ABCA.cos2A＋cos2B＋2sinC＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sinC＝2，所以sin2A＋sin2B＝sinC，故A正确；B.令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则asinA＝bsinB＝csinC＝2R（R为△ABC的外接圆半径），由sin2A＋sin2B＝sinC，得a2＋b2＝c·2R≥c2.易知A，B为锐角，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B＞π2，即A＞π2－B，则sinA＞sin（π2－B）＝cosB，所以sinC＝sin2A＋sin2B＞cos2B＋sin2B＝1，矛盾.故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝π2，所以cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB＝0，又cosAcosBsinC＝cosAcosB＝14，所以sinAsinB＝14.因为S△ABC＝12absinC＝12ab＝14，所以ab＝12，所以absinAsinB＝（2R）2＝1214＝2，所以2R＝2，所以c＝2R·sinC＝2，故B正确；C.（sinA＋sinB）2＝sin2A＋sin2B＋2sinAsinB＝sinC＋2sinAsinB＝1＋2×14＝32，所以sinA＋sinB＝62，故C正确3.（2023·全国甲卷16题）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝.答案：2解析：法一由余弦定理得cos60°＝AC2+4－62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60°＝12×2ADsin30°＋12AC×ADsin法二由角平分线定理得BDAB＝CDAC，又BD＋CD＝6，所以BD＝26AC+2，CD＝6ACAC+2.由角平分线长公式得AD2＝AB×AC－BD×CD＝2AC－12AC（AC+2）2，又由法一知AC＝1＋3，所以AD2＝2＋23－12×（1+34.（2020·新高考Ⅰ卷15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝35，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为cm2答案：5π2解析：如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，AM⊥EF于M，交DG于E'，交BH于F'，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P，设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，于是AE'＝5，E'G＝5，∴∠AGE'＝∠AHF'＝π4，△AOH为等腰直角三角形，又AF'＝5－3m，OF'＝7－5m，AF'＝OF'，∴5－3m＝7－5m，得m＝1，∴AF'＝5－3m＝2，OF'＝7－5m＝2，∴OA＝22，则阴影部分的面积S＝135360×π×（22）2＋12×22×22－π2＝55.（2022·全国甲卷16题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当ACAB取得最小值时，BD＝答案：3－1解析：设BD＝k（k＞0），则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×－12＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋（2k）2－2×2×2k×12＝4k2－4k＋4，则AC2AB2＝4k2－4k+4k2+2k+4＝4（k2+2k+4)-12k－12k2+2k+4＝4－12（k+1）k2+2k+4＝4－12（k+1）（k+1）2+3＝4－12k+1+3k+1，∵6.（2021·新高考Ⅱ卷18题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：（1）由2sinC＝3sinA及正弦定理可得2c＝3a.结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6.在△ABC中，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝16+25－36所以S△ABC＝12absinC＝12×4×5×37（2）设存在正整数a满足条件，由已知c＞b＞a，所以C为钝角.所以cosC＝a2＋b2－c22ab＜0⇒a2＋b2＜c2⇒a2＋（a＋1）2＜（a＋2）2⇒（a＋因为a为正整数，所以a＝1，2.当a＝1时，b＝2，c＝3，不能构成三角形，舍去.当a＝2时，b＝3，c＝4，满足条件.综上，当a＝2时，△ABC为钝角三角形.7.（2022·新高考Ⅰ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA（1）若C＝2π3，求（2）求a2＋解：（1）因为cosA1+sinA所以cosA1+sinA所以cosA1+sinA所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，所以cos（A＋B）＝sinB，所以sinB＝－cosC＝－cos2π3＝因为B∈0，π3，所以B（2）由（1）得cos（A＋B）＝sinB，所以sinπ2-(A＋B）＝sinB，且0所以0＜B＜π2，0＜π2－（A＋B）＜所以π2－（A＋B）＝B，解得A＝π2－2由正弦定理得a＝si＝si＝si＝co＝（＝4＝4cos2B＋2cos2B－5≥＝42－5，当且仅当cos2B＝22时取等号所以a2＋b2c28.（2025·全国Ⅰ卷19题）（1）求函数f（x）＝5cosx－cos5x在区间［0，π4］（2）给定θ∈（0，π）和a∈R，证明：存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cosy≤cosθ；（3）设b∈R，若存在φ∈R使得5cosx－cos（5x＋φ）≤b对x∈R恒成立，求b的最小值.解：（1）法一因为f（x）＝5cosx－cos5x，所以f'（x）＝－5sinx＋5sin5x.令f'（x）＝0，得sinx＝sin5x，又x∈［0，π4］，所以x＝5x或x＝π－5x所以x＝0或x＝π6所以x，f'（x），f（x）的关系如表所示：x0（0，π6π（π6，πf'（x）0＋0－f（x）单调递增极大值单调递减因为f（π6）＝5cosπ6－cos5π6＝所以函数f（x）＝5cosx－cos5x在区间［0，π4］的最大值为33法二由题得f'（x）＝－5sinx＋5sin5x＝5×2cos5x＋x2sin5x－x2＝10sin由x∈［0，π4］，得sin2x≥0，故x，f'（x），f（x）的关系如表所示x0（0，π6π（π6，πf'（x）0＋0－f（x）单调递增极大值单调递减因为f（π6）＝5cosπ6－cos5π6＝所以函数f（x）＝5cosx－cos5x在区间［0，π4］的最大值为33（2）证明：法一因为余弦函数的周期为2π，所以不妨设a∈（0，2π]，当a≤2θ时，a－θ≤θ，则θ∈[a－θ，a＋θ），此时存在y＝θ，使得cosy＝cosθ；当a＞2θ时，θ＜a－θ≤2π－θ，作出余弦函数的大致图象（如图所示），所以cos（a－θ）≤cosθ，只需要取y＝a－θ，即可得到cosy≤cosθ.综上可得，给定θ∈（0，π）和a∈R，存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cosy≤cosθ.法二假设cosy＞cosθ对任意y∈[a－θ，a＋θ]恒成立，由cosy＞cosθ得2kπ－θ＜y＜2kπ＋θ，k∈Z，这与a∈R，任意y∈[a－θ，a＋θ]矛盾，所以假设不正确，故一定存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cosy≤cosθ.法三因为cos（a＋θ）＋cos（a－θ）＝2cosacosθ≤2cosθ，所以cos（a＋θ）与cos（a－θ）中必有一个小于等于cosθ.否则cos（a＋θ）＞cosθ，cos（a－θ）＞cosθ，这与cos（a＋θ）＋cos（a－θ）＝2cosacosθ≤2cosθ矛盾.所以一定存在y＝a－θ或y＝a＋θ，使得cosy≤cosθ，所以对于给定θ∈（0，π）和a∈R，存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cosy≤cosθ.（3）令h（x）＝5cosx－cos（5x＋φ），当φ＝0时，因为h（x）＝h（－x），h（x）＝h（x＋2π），所以h（x）为偶函数，且2π为h（x）的周期，所以讨论h（x）在[0，2π）上的情况，由（1）可知h（x）在（0，π6）上单调递增，在（π6，5π6）上单调递减，在（5π6，π）上单调递增，结合对称性，及h（π）＝－4，可知x∈[0，2π）时h（x