15.利用导数研究函数的性质

1/115.利用导数研究函数的性质1.（2024·全国甲卷6题）设函数f（x）＝ex+2sinx1+x2，则曲线y＝f（x）在点（0，A.16 B.C.12 D.解析：Af'（x）＝（ex+2cosx)(1+x2)-(ex+2sinx）·2x（1+x2）2，所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为2.（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－lnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（）A.e2 B.eC.e－1 D.e－2解析：C法一由题意，得f'（x）＝aex－1x，∴f'（x）＝aex－1x≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥1xex在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝1xex，x∈（1，2），则g'（x）＝－1+xx2ex＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝1e＝e－1.∴a法二∵函数f（x）＝aex－lnx，∴f'（x）＝aex－1x.∵函数f（x）＝aex－lnx在区间（1，2）单调递增∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－1x≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜1a≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴1a≤e，即a≥1e＝e－13.（2021·新高考Ⅰ卷7题）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（）A.eb＜a B.ea＜bC.0＜a＜eb D.0＜b＜ea解析：D法一（通解）设切点（x0，y0），y0＞0，则切线方程为y－b＝ex0（x－a），由y0－b＝ex0（x0－a),y0＝ex0得ex0（1－x0＋a）＝b，则由题意知关于x0的方程ex0（1－x0＋a）＝b有两个不同的解.设f（x）＝ex（1－x＋a），则f'（x）＝ex（1－x＋a）－ex＝－ex（x－a），由f'（x）＝0得x＝a，所以当x＜a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（a）＝ea（1－a＋a）＝ea，当x＜a时，a－x＞0，所以f（x）＞0，当x→－∞时，f（x）→0，当x→＋∞时因为f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，所以0＜b＜ea.故选D.法二（优解）过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则点（a，b）在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0＜b＜ea.故选D.4.（2022·新高考Ⅰ卷7题）设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln0.9，则（A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.a＜c＜b解析：C法一设u（x）＝xex（0＜x≤0.1），v（x）＝x1－x（0＜x≤0.1），w（x）＝－ln（1－x）（0＜x≤0.1），则当0＜x≤0.1时，u（x）＞0，v（x）＞0，w（x）＞0.①设f（x）＝ln[u（x）]－ln[v（x）]＝lnx＋x－[lnx－ln（1－x）]＝x＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则f'（x）＝1－11－x＝xx－1＜0在（0，0.1]上恒成立，所以f（x）在（0，0.1]上单调递减，所以f（0.1）＜0＋ln（1－0）＝0，即ln[u（0.1）]－ln[v（0.1）]＜0，所以ln[u（0.1）]＜ln[v（0.1）]，又函数y＝lnx在（0，＋∞）上单调递增，所以u（0.1）＜v（0.1），即0.1e0.1＜19，所以a＜b.②设g（x）＝u（x）－w（x）＝xex＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则g'（x）＝（x＋1）ex－11－x＝（1－x2）ex－11－x（0＜x≤0.1），设h（x）＝（1－x2）ex－1（0＜x≤0.1），则h'（x）＝（1－2x－x2）ex＞0在（0，0.1]上恒成立，所以h（x）在（0，0.1]上单调递增，所以h（x）＞（1－02）×e0－1＝0，即g'（x）＞0在（0，0.1]上恒成立，所以g（x）在（0，0.1]上单调递增，所以g（0.1）＞0×e0＋ln（1－0）＝0，即g（0.1）＝u（0.1）－w（0.1法二由已知，a－c＝0.1e0.1＋ln（1－0.1）.记f（x）＝xex＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则f'（x）＝（x＋1）ex＋1x－1＝（x2－1）ex+1x－1，记g（x）＝（x2－1）ex＋1，则g'（x）＝（x2＋2x－1）ex，因为0＜x≤0.1，所以x2＋2x－1＜0，ex＞0，即g'（x）＝（x2＋2x－1）ex＜0，所以g（x）在（0，0.1]上单调递减，g（x）＜g（0）＝0，又x－1＜0，所以f'（x）＞0，即f（x）在（0，0.1]上单调递增，则f（x）＞f（0）＝0，即a－c＞0，a＞c.又ab＝0.9e0.15.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝alnx＋bx＋cx2（a≠0）既有极大值也有极小值，则A.bc＞0 B.ab＞0C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0解析：BCD因为函数f（x）＝alnx＋bx＋cx2（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ax2－bx－2cx3，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则6.〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷10题）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2－3）ex＋2，则（）A.f（0）＝0B.当x＜0时，f（x）＝－（x2－3）e－x－2C.f（x）≥2当且仅当x≥3D.x＝－1是f（x）的极大值点解析：ABDA.根据奇函数的定义有f（0）＝0，故A正确；B.当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）＝（x2－3）e－x＋2，因为f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝－（x2－3）e－x－2，故B正确；C.当x＞0时，f'（x）＝（x2＋2x－3）ex＝（x－1）（x＋3）ex，所以函数f（x）在（0，1）上单凋递减，在（1，＋∞）上单调递增，又f（3）＝2，当x→0＋时，f（x）→－1，所以由f（x）≥2得x≥3；当x＜0时，f（－1）＝2（e－1）＞2，满足f（x）≥2，但－1∉[3，＋∞），故C错误；D.根据C解析知x＝1是函数f（x）的极小值点，根据奇函数图象关于原点对称，知x＝－1是函数f（x）的极大值点，故D正确.7.（多选）（2024·新高考Ⅰ卷10题）设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（）A.x＝3是f（x）的极小值点B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）解析：ACD对A，因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，故函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，A正确；对B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，所以x＞x2，又函数f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x）＞f（x2），B错误；对C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在（1，3）上单调递减，所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正确；对D，由2－x－x＝2－2x，又－1＜x＜0，故2－2x＞0，所以f（2－x）－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2－2x）＞0，D正确.故选A、C、D.8.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷10题）已知函数f（x）＝x3－x＋1，则（）A.f（x）有两个极值点B.f（x）有三个零点C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线解析：AC因为f（x）＝x3－x＋1，所以f'（x）＝3x2－1，令f'（x）＝3x2－1＝0，得x＝±33.由f'（x）＝3x2－1＞0得x＞33或x＜－33；由f'（x）＝3x2－1＜0得－33＜x＜33.所以f（x）＝x3－x＋1在33，＋∞，－∞,-33上单调递增，在－33，33上单调递减，所以f（x）有两个极值点，故A正确.因为f（x）的极小值f33＝333－33＋1＝1－239＞0，f（－2）＝（－2）3－（－2）＋1＝－5＜0，所以函数f（x）在R上有且只有一个零点，故B错误.因为函数g（x）＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f（x）＝x3－x＋1的图象，函数g（x）＝x3－x的图象关于原点（0，0）中心对称且g（0）＝0，所以点（0，1）是曲线f（x）＝x3－x＋1的对称中心，故C正确.假设直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，切点为（x0，y0），则f'（x0）＝3x02－1＝2，解得x0＝±1.若x0＝1，则切点坐标为（1，1），但点（1，1）不在直线y＝2x上，若x0＝－1，则切点坐标为（－1，9.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷12题）已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记g（x）＝f'（x）.若f32－2x，g（2＋x）均为偶函数，A.f（0）＝0 B.g－12C.f（－1）＝f（4） D.g（－1）＝g（2）解析：BC法一（转化法）因为f32－2x为偶函数，所以f32－2x＝f32+2x，所以函数f（x）的图象关于直线x＝32对称，f（32－2×54）＝f32+2×54，即f（－1）＝f（4），所以C正确；因为g（2＋x）为偶函数，所以g（2＋x）＝g（2－x），函数gg（x）的图象关于点32，0对称，所以g（x）的周期T＝4×2－32＝2，因为f（－1f'（－1）＝－f'（4），即g（－1）＝－g（4）＝－g（2），所以D不正确；因为f32－2＝ff－12＝f72，所以f'－12＝－f'72，所以g－12＝－g72＝－g2×2－12＝－g－12，所以g－12＝0，所以B正确；不妨取f（x）＝1（x∈R），经验证满足题意，法二（特例法）因为f32－2x，g（2＋x）均为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝g（x）的图象关于直线x＝2对称.取符合题意的一个函数f（x）＝1（x∈R），则f（0）＝1，排除A；取符合题意的一个函数f（x）＝sinπx，则f'（x）＝πcosπx，即g（x）＝πcosπx，所以g（－1）＝πcos（－π）＝－π，g（2）＝πcos2π＝π，所以g（－1）≠g（2），排除D.故选B、C.10.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷11题）设函数f（x）＝2x3－3ax2＋1，则（）A.当a＞1时，f（x）有三个零点B.当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点C.存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴D.存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心解析：AD因为f（x）＝2x3－3ax2＋1，所以f'（x）＝6x2－6ax＝6x（x－a）.对于选项A，令f'（x）＞0，则x＞a或x＜0；令f'（x）＜0，则0＜x＜a.所以f（x）在（－∞，0）和（a，＋∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减.又因为f（0）＝1，f（a）＝2a3－3a3＋1＝1－a3＜0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以f（x）的大致图象如图，所以f（x）有三个零点，故选项A正确；对于选项B，令f'（x）＞0，则x＜a或x＞0；令f'（x）＜0，则a＜x＜0.所以x＝0是f（x）的极小值点，故选项B错误；对于选项C，法一三次函数为中心对称函数，其图象无对称轴，故选项C错误；法二当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→－∞时，f（x）→－∞，故曲线y＝f（x）必不存在对称轴，C错误；对于选项D，法一（排除法）由于是多项选择题A正确，B、C错误，则D一定正确.法二（利用对称中心的二级结论）f（1）＝3－3a，若存在a，使得（1，3－3a）为f（x）的对称中心，则f（x）＋f（2－x）＝6－6a，事实上，f（x）＋f（2－x）＝2x3－3ax2＋1＋2（2－x）3－3a（2－x）2＋1＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，于是6－6a＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，即12－6a=0，12a－24=0，18－12a=6－6a，解得a＝2，即存在a＝法三（利用拐点）任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f（x）＝2x3－3ax2＋1，f'（x）＝6x2－6ax，f″（x）＝12x－6a，由f″（x）＝0⇔x＝a2，于是该三次函数的对称中心为（af（a2）），由题意（1，f（1））也是对称中心，故a2＝1⇔a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D法四（三次函数对称中心的二级结论）任意三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象均关于点（－b3a，f（－b3a））成中心对称，又f（x）＝2x3－3ax2＋1，对比系数可得－b3a＝a2，由题意（1，f（1））也是对称中心，故a2＝1，得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，11.（2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝.答案：4解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为（x0，ex0＋x0＋a），由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'｜x＝x0＝ex0＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为（0，1＋a），又切点（0，1＋a）在切线y＝2x＋5上，所以1＋12.（2021·新高考Ⅰ卷15题）函数f（x）＝｜2x－1｜－2lnx的最小值为.解析：函数f（x）＝｜2x－1｜－2lnx的定义域为（0，＋∞）.①当x＞12时，f（x）＝2x－1－2lnx，所以f'（x）＝2－2x＝2（x－1）x，当12＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）min＝f（1）②当0＜x≤12时，f（x）＝1－2x－2lnx在0，12单调递减，所以f（x）min＝f12＝－2ln12＝2ln2综上，f（x）min＝1.答案：113.（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.解析：因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，（x0＋a）ex0），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y'｜x＝x0＝（x0＋a＋1）ex0＝（x0＋a）ex0x0，化简，得x02＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－答案：（－∞，－4）∪（0，＋∞）14.（2021·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝｜ex－1｜，x1＜0，x2＞0.函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则｜AM｜｜答案：（0，1）解析：f（x）＝－ex+1，x<0，ex－1，x≥0，由已知可得－ex1｜x1｜，｜BN｜＝1+e2x2｜x2｜＝1+e－2x1｜－x1｜，故｜15.（2022·新高考Ⅱ卷14题）曲线y＝ln｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为，.解析：先求当x＞0时，曲线y＝lnx过原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y'＝1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0＝y0x0，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为1e，切线方程为y＝1ex.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－1ex答案：y＝1exy＝－116.（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝.答案：ln2解析：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝1x+1，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由两曲线有公切线得y'｜x＝x0＝1x0+1＝2，解得x0＝－12，则切点为（－12，a＋ln12），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋17.（2024·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.解：（1）当a＝1时，则f（x）＝ex－x－1，f'（x）＝ex－1，可得f（1）＝e－2，f'（1）＝e－1，即切点坐标为（1，e－2），切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y－（e－2）＝（e－1）（x－1），即（e－1）x－y－1＝0.（2）易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a.当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值；当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞lna，由f'（x）＜0，得x＜lna，所以函数f（x）在区间（－∞，lna）上单调递减，在区间（lna，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（lna）＝a－alna－a3.由题意知a－alna－a3＜0（a＞0），等价于1－lna－a2＜0（a＞0）.法一（导数法）令g（a）＝1－lna－a2（a＞0），则g'（a）＝－1a－2a＜0所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数，又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1时，g（a）＜0.故实数a的取值范围为（1，＋∞）.法二（图象法）由1－lna－a2＜0（a＞0），得lna＞－a2＋1（a＞0）.如图为函数y＝lna与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象，由图易知当a＞1时，lna＞－a2＋1，即1－lna－a2＜0.所以实数a的取值范围为（1，＋∞）.18.（2023·新高考Ⅱ卷22题节选）已知函数f（x）＝cosax－ln（1－x2），若x＝0是f（x）的极大值点，求a