28.圆锥曲线中的定点、定值、定线问题

1/128.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题1.（2020·新高考Ⅰ卷22题）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为22，（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得｜DQ｜为定值.解：（1）由题意得4a2＋1b2＝1，a2－b2a2＝12，所以C的方程为x26＋y2（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）.若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入x26＋y23＝1得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－于是x1＋x2＝－4km1+2k2，x1x2＝由AM⊥AN知，AM·AN＝0，故（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）＝0，可得（k2＋1）x1x2＋（km－k－2）（x1＋x2）＋（m－1）2＋4＝0.将①代入上式可得（k2＋1）2m2－61+2k2－（km－k－2）·4km1+2k2整理得（2k＋3m＋1）（2k＋m－1）＝0.因为A（2，1）不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1.于是MN的方程为y＝kx－23－13（所以直线MN过点P23若直线MN与x轴垂直，可得N（x1，－y1）.由AM·AN＝0得（x1－2）（x1－2）＋（y1－1）·（－y1－1）＝0.又x126＋y123＝1，可得3x12－解得x1＝2（舍去），x1＝23此时直线MN过点P23令Q为AP的中点，即Q43若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故｜DQ｜＝12｜AP｜＝2若D与P重合，则｜DQ｜＝12｜AP综上，存在点Q43，13，使得｜2.（2022·全国乙卷20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），B32,（1）求E的方程；（2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT＝TH.证明：直线HN过定点.解：（1）设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n）.由题意可得4解得n故椭圆E的方程为x23＋y2（2）证明：由A（0，－2），B（32，－1）可得直线AB的方程为y＝23x－①若过点P（1，－2）的直线的斜率不存在，则其方程为x＝1，与方程x23＋y24＝1联立，可得y＝±263，结合题意可知N（1，263），由y＝2则T（－6＋3，－263），由MT＝得－则H（－26＋5，－263所以直线HN的方程为y＝（2＋263）x－2，易知直线HN过定点（0，－②若过点P（1，－2）的直线的斜率存在，设其方程为y＋2＝k（x－1），M（x1，y1），N（x2，y2）.联立y+2=k（x－1),x23＋y24=1，得（3k2＋4）x2－6k则x1＋x2＝6k（2+k）3k2+4，x1x2＝3k（k+4）3k2+4，y1＋y2＝－8（联立y＝y1，y＝23x－2，由MT＝TH，可得H（3y1＋6－x1，y1），故此时直线HN的方程为y－y2＝y1－y23y将（0，－2）代入并整理得2（x1＋x2）－6（y1＋y2）＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0，即2×6k（2+k）3k2+4－6×－8（2+k）3k2+4＋－综上，直线HN过定点（0，－2）.3.（2023·新高考Ⅱ卷21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－25，0），离心率为5.（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.解：（1）设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1（a＞由题意可得e＝c所以双曲线C的方程为x24－y2（2）证明：法一设直线MN的方程为x＝my－4，M（x1，y1），N（x2，y2）.易知A1（－2，0），A2（2，0）.联立直线MN与双曲线C的方程，得x消去x并整理，得（4m2－1）y2－32my＋48＝0，则y1＋y2＝32m4m2－1，y1y2＝484m2－1，且4m2－1≠0，Δ＝（－32m）2－4×48×（4m2直线MA1的方程为y＝y1x1+2（x＋2），直线NA2的方程为y＝y2联立直线MA1与直线NA2的方程并消去y，得x+2x－2＝y＝－16m4所以x＝－1，即点P在定直线x＝－1上.法二由题意得A1（－2，0），A2（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my－4，则x124－y1216＝1，即4如图，连接MA2，kMA1·kMA2＝y1x1+2·由x24－y216＝1，得4x2－y2＝16，4[（x－2）＋2]2－y24（x－2）2＋16（x－2）＋16－y2＝16，4（x－2）2＋16（x－2）－y2＝0.由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－（x－2）＝6，16[my－（x－2）]＝14（x－2）2＋16（x－2）·16[my－（x－2）]－y2＝0，4（x－2）2＋83（x－2）my－83（x－2）2－y2两边同时除以（x－2）2，得43＋