38.成对数据的统计分析

1/138.成对数据的统计分析1.（2025·全国Ⅰ卷15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：组别超声波检查结果合计正常不正常患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附：χ2＝n（P（χ2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人，所以由样本估计总体得p＝180200＝（2）零假设为H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关.χ2＝1000×（20×20－所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.2.（2024·全国甲卷17题）某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p＞p＋1.65p（1－p）n，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b)(P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030则完整的2×2列联表如下：优级品非优级品总计甲车间262450乙车间7030100总计9654150K2＝150×（26×30－70因为K2＝4.6875＞3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；因为K2＝4.6875＜6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知p＝96150＝0.64又p＋1.65p（1－p）n＝0.5＋1.65×0.5×（1－0.5所以p＞p＋1.65p（所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.3.（2022·全国乙卷19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得∑i=110xi2＝0.038，∑i=110yi2＝1.6158，（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数r＝∑i=1n（xi－解：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积x＝∑i=110xi10＝估计该林区这种树木平均一棵的材积量y＝∑i=110yi10＝（2）∑i=110（xi－x）（yi－y）＝∑i=110xiyi－10xy∑i=110（xi－x）2＝∑i=110xi2－10∑i=110（yi－y）2＝∑i=110yi2－10（y所以∑i=110（xi－x）2∑i=110（yi－y所以样本相关系数r＝∑i=110（xi－（3）设该林区