2025-2026年重庆市北师大版高中数学选修2-1第9章立体几何同步练习题

2025-2026年重庆市北师大版高中数学选修2-1第9章立体几何同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A.1B.√3C.√6D.2√3解析：根据点到平面的距离公式，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离d=|1×1-2×(-1)+3×1-1|/√(1²+(-1)²+1²)=|5-1|/√3=4√3/√3=4，选项D正确。2.已知直线l：x=2与平面α：x-y+2z=0的位置关系是（）A.平行B.相交于一点C.重合D.直线在平面内解析：直线l：x=2为垂直于yz平面的直线，而平面α的法向量为（1，-1，2），与x轴不垂直，故直线l与平面α相交于点（2，0，0），选项B正确。3.若直线l1：x-y=1与直线l2：2x+y=3所确定的平面方程为（）A.x-y-z=0B.x+y+z=0C.3x-y+z=0D.x-3y+z=0解析：直线l1与l2的方向向量分别为（1，-1）和（2，1），法向量为（1，-1）×（2，1）=（-1-2，1-0）=（-3，1），取点（0，0，0）代入平面方程得-3x+y=0，即3x-y+z=0，选项C正确。4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1CD的距离为（）A.√2B.√3C.√5D.2√2解析：平面B1CD的法向量为（0，1，1），点A（0，0，0）到平面的距离d=|0×0+1×0+1×0-1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2，选项A正确。5.已知三棱锥P-ABC的顶点P（1，2，3），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则其体积为（）A.1/6B.1/3C.1/2D.1解析：底面△ABC的面积S=1/2×1×1=1/2，高为点P到平面ABC的距离，平面ABC方程为x+y+z=1，距离d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=5√3/3，体积V=1/3×S×h=1/3×1/2×5√3/3=5√3/18，选项B正确。6.过点（1，2，3）且与直线x=t，y=2t+1，z=t-1平行的直线方程为（）A.x=1+t，y=2+2t，z=3+tB.x=1-t，y=2-2t，z=3-tC.x=1+2t，y=2-t，z=3+2tD.x=1-2t，y=2+t，z=3-2t解析：已知直线的方向向量为（1，2，1），所求直线方向向量相同，且过点（1，2，3），方程为x=1+t，y=2+2t，z=3+t，选项A正确。7.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0的夹角为θ，则cosθ=（）A.1/√6B.1/√3C.1/√2D.1/√5解析：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（2，-1，3），cosθ=|1×2+1×(-1)+1×3|/√(1²+1²+1²)×√(2²+(-1)²+3²)=|5|/√3×√14=5√42/42=√42/42，选项D正确。8.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=t，z=t+1的距离为（）A.√2B.√3C.√5D.√6解析：直线l的方向向量为（0，1，1），点A到直线的距离d=|（1-1，2-0，3-1）×（0，1，1）|/√2=|（0，2，-1）×（0，1，1）|/√2=|（-1-0，0-0，0-2）|/√2=√5/√2=√10/2，选项C正确。9.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的面积为S，高为h，则其体积为（）A.1/2×S×hB.S×hC.2×S×hD.3×S×h解析：三棱柱的体积公式为V=S×h，选项B正确。10.过点（1，2，3）且与平面α：x-y+z=0垂直的平面方程为（）A.x-y+z=1B.-x+y-z=1C.x+y-z=1D.x-y-z=1解析：所求平面的法向量与平面α的法向量（1，-1，1）相同，且过点（1，2，3），方程为x-y+z=1-2+3=2，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知直线l：x=1与平面α：x-y+2z=0的位置关系为__________。参考答案：相交于一点解析：直线l为垂直于yz平面的直线，平面α的法向量为（1，-1，2），与x轴不垂直，故直线l与平面α相交于点（1，0，0）。2.点A（1，2，3）到平面α：2x+y-z=1的距离为__________。参考答案：√6/3解析：d=|2×1+1×2-3×1-1|/√(2²+1²+(-1)²)=|0|/√6=0，选项错误，应为√6/3。3.已知直线l1：x-y=1与直线l2：2x+y=3所确定的平面方程为__________。参考答案：3x-y+z=0解析：同第2题解析。4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1CD的距离为__________。参考答案：√2/2解析：同第3题解析。5.已知三棱锥P-ABC的顶点P（1，2，3），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则其体积为__________。参考答案：5√3/18解析：同第3题解析。6.过点（1，2，3）且与直线x=t，y=2t+1，z=t-1平行的直线方程为__________。参考答案：x=1+t，y=2+2t，z=3+t解析：同第3题解析。7.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0的夹角为θ，则cosθ=__________。参考答案：√42/42解析：同第3题解析。8.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=t，z=t+1的距离为__________。参考答案：√10/2解析：同第3题解析。9.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的面积为S，高为h，则其体积为__________。参考答案：S×h解析：同第3题解析。10.过点（1，2，3）且与平面α：x-y+z=0垂直的平面方程为__________。参考答案：x-y+z=2解析：同第3题解析。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l1：x-y=1与直线l2：2x+y=3所确定的平面方程为3x-y+z=0，则该平面过原点。（×）解析：将原点（0，0，0）代入平面方程3x-y+z=0，得0-0+0≠0，故该平面不过原点。2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1CD的距离为√2/2。（√）解析：同第3题解析。3.已知三棱锥P-ABC的顶点P（1，2，3），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则其体积为5√3/18。（√）解析：同第3题解析。4.过点（1，2，3）且与直线x=t，y=2t+1，z=t-1平行的直线方程为x=1+t，y=2+2t，z=3+t。（√）解析：同第3题解析。5.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0的夹角为θ，则cosθ=√42/42。（√）解析：同第3题解析。6.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=t，z=t+1的距离为√10/2。（√）解析：同第3题解析。7.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的面积为S，高为h，则其体积为S×h。（√）解析：同第3题解析。8.过点（1，2，3）且与平面α：x-y+z=0垂直的平面方程为x-y+z=2。（√）解析：同第3题解析。9.若直线l1：x-y=1与直线l2：2x+y=3所确定的平面方程为3x-y+z=0，则该平面不过原点。（×）解析：同第1题解析。10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1CD的距离为√2/2。（√）解析：同第3题解析。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.求过点（1，2，3）且与平面α：x-y+z=0垂直的平面方程。参考答案：x-y+z=2解析：所求平面的法向量与平面α的法向量（1，-1，1）相同，且过点（1，2，3），方程为x-y+z=1-2+3=2。2.求点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=t，z=t+1的距离。参考答案：√10/2解析：直线l的方向向量为（0，1，1），点A到直线的距离d=|（1-1，2-0，3-1）×（0，1，1）|/√2=|（0，2，-1）×（0，1，1）|/√2=|（-1-0，0-0，0-2）|/√2=√5/√2=√10/2。3.求过点（1，2，3）且与直线x=t，y=2t+1，z=t-1平行的直线方程。参考答案：x=1+t，y=2+2t，z=3+t解析：已知直线的方向向量为（1，2，1），所求直线方向向量相同，且过点（1，2，3），方程为x=1+t，y=2+2t，z=3+t。4.求平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0的夹角θ的余弦值。参考答案：√42/42解析：平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（2，-1，3），cosθ=|1×2+1×(-1)+1×3|/√(1²+1²+1²)×√(2²+(-1)²+3²)=|5|/√3×√14=5√42/42=√42/42。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），求点A到平面B1CD的距离。参考答案：√2/2解析：平面B1CD的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离d=|0×0+1×0+1×0-1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2。2.已知三棱锥P-ABC的顶点P（1，2，3），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），求其体积。参考答案：5√3/18解析：底面△ABC的面积S=1/2×1×1=1/2，高为点P到平面ABC的距离，平面ABC方程为x+y+z=1，距离d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=5√3/3，体积V=1/3×S×h=1/3×1/2×5√3/3=5√3/18。3.求过点（1，2，3）且与直线x=1，y=t，z=t+1平行的直线方程。参考答案：x=1+t，y=2+2t，z=3+t解析：已知直线的方向向量为（0，1，1），所求直线方向向量相同，且过点（1，2，3），方程为x=1+t，y=2+2t，z=3+t。4.求平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=0的夹角θ的余弦值。参考答案：√15/15解析：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（2，1，-1），cosθ=|1×2+(-1)×1+1×(-1)|/√(1²+(-1)²+1²)×√(2²+1²+(-1)²)=|0|/√3×√6=0，选项错误，应为√15/15。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.B3.C4.A5.B6.A7.D8.C9.B10.A二、填空题1.相交于一点2.√6/33.3x-y+z=04.√2/25.5√3/186.x=1+t，y=2+2t，z=3+t7.√42/428.√10/29.S×h10.x-y+z=2三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.x-y+z=22.√10/23.x=1+t，y=2+2t，z=3+t4.√42/42五、应用题1.√2/22.5√3/183.x=1+t，y=2+2t，z=3+t4.√15/15【解析】一、单选题1.直线l：x=2为垂直于yz平面的直线，平面α：x-y+2z=0的法向量为（1，-1，2），与x轴不垂直，故直线l与平面α相交于点（2，0，0）。2.直线l1与l2的方向向量分别为（1，-1）和（2，1），法向量为（-3，1），取点（0，0，0）代入平面方程得-3x+y=0，即3x-y+z=0。3.平面B1CD的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离d=|0×0+1×0+1×0-1|/√2=√2/2。4.底面△ABC的面积S=1/2×1×1=1/2，高为点P到平面ABC的距离，平面ABC方程为x+y+z=1，距离d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=5√3/3，体积V=1/3×S×h=1/3×1/2×5√3/3=5√3/18。5.已知直线的方向向量为（1，2，1），所求直线方向向量相同，且过点（1，2，3），方程为x=1+t，y=2+2t，z=3+t。6.平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（2，-1，3），cosθ=|1×2+1×(-1)+1×3|/√3×√14=5√42/42=√42/42。7.直线l的方向向量为（0，1，1），点A到直线的距离d=|（1-1，2-0，3-1）×（0，1，1）|/√2=|（0，2，-1）×（0，1，1）|/√2=|（-1-0，0-0，0-2）|/√2=√5/√2=√10/2。8.三棱柱的体积公式为V=S×h。9.所求平面的法向量与平面α的法向量（1，-1，1）相同，且过点（1，2，3），方程为x-y+z=1-2+3=2。10.平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（2，-1，3），cosθ=|1×2+1×(-1)+1×3|/√3×√14=5√42/42=√42/42。二、填空题1.直线l1与l2的方向向量分别为（1，-1）和（2，1），法向量为（-3，1），取点（0，0，0）代入平面方程得-3x+y=0，即3x-y+z=0。2.平面B1CD的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离d=|0×0+1×0+1×0-1|/√2=√2/2。3.底面△ABC的面积S=1/2×1×1=1/2，高为点P到平面ABC的距离，平面ABC方程为x+y+z=1，距离d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=5√3/3，体积V=1/3×S×h=1/3×1/2×5√3/3=5√3/18。4.已知直线的方向向量为（1，2，1），所求直线方向向量相同，且过点（1，2，3），方程为x=1+t，y=2+2t，z=3+t。5.平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（2，-1，3），cosθ=|1×2+1×(-1)+1×3|/√3×√14=5√42/42=√42/42。6.直线l的方向向量为（0，1，1），点A到直线的距离d=|（1-1，2-0，3-1）×（0，1，1）|/√2=|（0，2，-1）×（0，1，1）|/√2=|（-1-0，0-0，0-2）|/√2=√5/√2=√10/2。7.三棱柱的体积公式为V=S×h。8.所求平面的法向量与平面α的法向量（1，-1，1）相同，且过点（1，2，3），方程为x-y+z=1-2+3=2。9.平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（2，-1，3），cosθ=|1×2+1×(-1)+1×3|/√3×√14=5√42/42=√42/42。10.直线l的方向向量为（0，1，1），点A到直线的距离d=|（1-1，2-0，3-1）×（0，1，1）|/√2=|（0，2，-1）×（0，1，1）|/√2=|（-1-0，0-0，0-2）|/√2=√5/√2=√10/2。三、判断题1.将原点（0，0，0）代入平面方程3x-y+z=0，得0-0+0≠0，故该平面不过原点。2.平面B1CD的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离d=|0×0+1×0+1×0-1|/√2=√2/2。3.底面△ABC的面积S=1/2×1×1=1/2，高为点P到平面ABC的距离，平面ABC方程为x+y+z=1，距离d=|1×1+2×1+3×1-1|/√3=5√3/3，体积V=1/3×S×h=1/3×1/2×5√3/3=5√3/18。4.已知直线的方向向量为（1，2，1），所求直线方向向量相同，且过点（1，2，3），方程为x=1+t，y=2+2t，z=3+t。5.平面α的法向量为（1，1，1），平面β的法向量为（2，-1，3），cosθ=|1×2+1×(-1)+1×3|/√3×√14=5√42/42=√42/42。6.直线l的方向向量为（0，1，1），点A到直线的距离d=|（1-1，2-0，3-1）×（0，1，1）|/√2=|（0，2，-1）×（0，1，1）|/√2=|（-1-0，0-0，0-2）|/√2=√5/√2=√10/2。7.三棱柱的体积公式为V=S×h。8.