第1节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

1/1第1节基本立体图形、简单几何体的表面积与体积1.掌握（课标变化：认识→掌握）柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.知识梳理1.基本立体图形（1）多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似名称棱柱棱锥棱台侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形（2）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点长度相等且延长线交于一点名称圆柱圆锥圆台球轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2.立体图形的直观图（1）画法：常用斜二测画法；（2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°（或135°），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直；②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π（r＋r'）l4.简单几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体（棱台和圆台）S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13（S上＋S下＋S上S球S＝4πR2V＝43πR3提醒：几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：（1）S直观图＝24S原图形；（2）S原图形＝22S直观图2.与体积有关的几个结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差；（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）；（3）正四面体的体积是212a3（a是正四面体的棱长诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（×）（2）菱形的直观图仍是菱形.（×）（3）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.（√）（4）在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.（×）2.如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去体积较小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（）A.棱台B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱解析：C由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱.3.用斜二测画法作一个水平放置的边长为6的正方形的直观图，则直观图的面积为（）A.36 B.182C.92 D.9解析：C在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的24，而边长为6的正方形的面积为36，所以所求的直观图的面积为24×36＝94.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则该三棱柱的体积为23.解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，所以S△ABC＝12×2×2×sin60°＝3，所以V三棱柱ABC-A1B1C1＝5.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的体积扩大为原来的22倍.解析：若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的2倍，则球的体积扩大为原来的22倍.基本立体图形（定向精析突破）考向1结构特征〔多选〕下列说法中正确的是（AD）A.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.存在每个面都是直角三角形的四面体解析：由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；如图，B错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；易知D正确.辨别空间几何体的两种方法（1）定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定；（2）反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可.考向2直观图〔一题多解〕用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'＝13O'A'，A'B'⊥O'A'，若原平面图形OABC的面积为32，则O'A'的长为（D）A.2 B.2C.3 D.3解析：法一如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原平面图形OABC，设O'A'＝x，可得O'B'＝2x，则OB＝2O'B'＝22x，BC＝B'C'＝x3，OA＝O'A'＝x，且OB为原平面图形中梯形的高，所以原平面图形OABC的面积为S＝12（x＋x3）×22x＝32，解得x法二由S直观图＝24S原图形可得S直观图＝32，设O'A'＝x，则B'C'＝x3，A'B'＝x，根据直角梯形的面积公式得12（x＋x3）x＝32在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.考向3展开图（1）如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（C）A.2B.3C.23 D.33解析：将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如图所示.一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB'，根据余弦定理得BB'＝4+4－2×2（2）已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图周长的最小值为8π.解析：设圆柱的母线长和底面圆半径分别为l，r，根据已知得2lr＝4，圆柱侧面展开图的周长l侧＝4πr＋2l≥24πr×2l＝8π，当且仅当4πr＝2l，即r＝1π，1.多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部分空间问题转化为平面问题.2.旋转体表面展开图一般沿母线剪开，多面体表面展开图一般沿某些棱展开，注意球无法展开成平面图形.训练1（1）〔多选〕下列说法正确的是（AD）A.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体解析：若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.（2）如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（B）A.42＋4 B.46＋4C.82 D.8（3）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为10和5，母线长为20，AB为圆台的一条母线（点B在圆台的上底面圆周上），M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面爬行一周到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（C）A.30 B.40C.50 D.60解析：根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA＝22，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝8+16＝26，故原平面图形的周长为2＋2＋26＋26＝46＋4.解析：圆台所在圆锥的侧面展开如图所示，设扇形所在圆的圆心为O.线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离.设OA＝R，扇形的圆心角是α，则由题意知2×5π＝αR①，2×10π＝α（20＋R）②，由①②解得α＝π2，R＝20，所以OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，则M1B＝OB2＋OM空间几何体的表（侧）面积（师生共研过关）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁（如图1）的屋顶部分是典型的攒尖结构.图2是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度（单位：dm）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为343＋8dm2.解析：正三棱柱的侧面积为2×2×2＝8（dm2），底面积为2×12×2×2×sin60°＝23（dm2）.正四棱台中，侧面梯形的高为42－（6－22）2＝23（dm），所以正四棱台的侧面积为4×（2+6）×232＝323（dm2）.所以该结构的表面积为空间几何体表面积的求法（1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系；（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理.训练2已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去后，剩余几何体的表面积为（）A.15π B.310πC.（5＋310）π D.（15＋310）π解析：D依题意作出大致图形，如图所示.剩余几何体的表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积.由题可知，圆台上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高h＝3，所以圆环的面积S1＝π（R2－r2）＝3π，圆台的母线l＝（R－r）2＋h2＝1+9＝10，所以圆台的侧面积S2＝πl（R＋r）＝310π，圆柱侧面积S3＝2πRh＝12π.所以剩余几何体的表面积为S1＋S2＋S3空间几何体的体积（定向精析突破）考向1直接法求体积（2026·山东烟台模拟）一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（B）A.245πcm3 B.245π3C.490πcm3 D.490π3解析：因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为1+52＝3cm，下底面半径为5cm，高为5cm，所以溶液的体积V＝13×（32＋52＋3×5）×π×5＝245π3（cm3考向2等积法求体积（2026·陕西咸阳模拟）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A-A1EF的体积为83.解析：由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离等于点C到平面A1ABB1的距离，为32×4＝23，则V三棱锥A-A1EF＝V三棱锥F-A1AE＝13S△A1考向3割补法求体积〔一题多解〕如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为4.解析：法一（分割法）因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于点H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝（12×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝（12×2×1）×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝法二（补形法）因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝12×8＝4求空间几何体的体积的三种方法训练3（1）（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（B）A.23π B.33π C.63π D.93π解析：设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为r2+3，而它们的侧面积相等，所以2πr×3＝πr×3+r2，即23＝3+r2，故r＝3，故圆锥的体积为13π×9×3＝（2）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为（B）A.12 B.1C.32 D.解析：如图，由正方体棱长为2，得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且D1A1＝2，所以V三棱锥A1-D1MN＝V三棱锥D1-（3）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10，16，则容器内液体的体积是（B）A.36π B.39π C.42π D.45π解析：将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知∠MNS＝30°，则MS＝6×33＝23，故圆柱的底面半径为3，则容器内液体的体积为12×（10＋16）×π×（3）2＝13×π×3＝39π.故选（时间：45分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.下面关于空间几何体叙述正确的是（）A.正四棱柱都是正方体B.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台C.空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球D.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱解析：D对于A，正四棱柱的侧面可以是长方形，底面是正方形，因此它可以是长方体，A错误；对于B，平面必须是平行于底面的平面，B错误；对于C，是球面而非球体，C错误；对于D，根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，D正确.2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图（图中虚线分别与x'轴、y'轴平行），则原图形△AOB的面积是（）A.8 B.16C.32 D.64解析：B根据题意，如图，原图形△AOB的底边OB的长为4，高为8，所以其面积S＝12×4×8＝16.故选B3.（2026·山东淄博模拟）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的表面积为（A.8π B.12π C.16π D.24π解析：C设圆锥的底面半径为r，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2πl3＝2πr，解得r＝2，所以该圆锥的表面积为π×22＋12×2π3×624.（2026·广东深圳模拟）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）A.363 B.366C.1083 D.1086解析：A如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为侧面的高，因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，所以S侧＝4×12×6PE＝2S底＝72，解得PE＝6，PO＝PE2－OE2＝33，所以VP-ABCD＝13S底·PO＝13×36×5.（2026·江苏泰州调研）如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（）A.24－3π B.24－πC.24＋π D.24＋5π解析：B由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的18球后的剩余部分，则其表面积＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝246.〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则（）A.三棱锥A-BCC1的体积为4B.三棱锥C-APC1的体积为5C.四棱锥C1-ABB1A1的体积为8D.三棱锥C1-ABC的表面积为14＋213解析：ACD对于A，V三棱锥A-BCC1＝V三棱锥C1-ABC＝13×CC1×S△ABC＝13×4×12×2×3＝4，故A正确；对于B，V三棱锥C-APC1＝V三棱锥A-PCC1，而三棱锥A-BCC1与三棱锥A-PCC1有共同的高，∵P为BC1的中点，∴S△PCC1＝12S△BCC1，∴V三棱锥A-PCC1＝12V三棱锥A-BCC1＝12×4＝2，故B错误；对于C，V四棱锥C1-ABB1A1＝V三棱柱ABC-A1B1C1－V三棱锥C1-ABC＝12×2×3×4－4＝8，故C正确；对于D，由题可知，AC＝13，AC1＝7.〔一题多解〕（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为766解析：法一如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12－BE2＝2－12＝62，所以O1O＝62，所以V正四棱台法二如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2－BO2＝6，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为62，所以V正四棱台ABCD-A1B1C8.如图在一根高为11cm，外圆周长为6cm的圆柱体外表面缠绕一根细铁丝，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝长度的最小值为61cm.解析：因为圆柱体的高为11cm，外圆周长为6cm，又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，其中每一个小矩形的宽为圆柱的外圆周长6cm，高为圆柱的高11cm，则大矩形的对角线即为铁丝长度的最小值，此时铁丝长度的最小值为112+6029.扇面是中国书画作品的一种重要表现形式.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27，12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为2π3.若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面的形状、大小一致，则该几何体的高为102解析：由题意得，该几何体是圆台.取一个圆锥，其侧面展开图是半径为27，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π3×27，解得r＝9，所以该圆锥的高h1＝272－92＝182.同理可得，侧面展开图是半径为12，圆心角为2π3的扇形的圆锥的高h2＝82，所以所求几何体即圆台的高h＝h1－h10.（2026·浙江绍兴模拟）如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，AB，CD分别为该圆柱的上、下底面的直径，且AB⊥CD，则三棱锥A-BCD的体积是（）A.24 B.18C.12 D.6解析：D设上底面中心为O，连接OC，OD（图略），根据圆柱的性质可知，BC＝AC＝BD＝AD，则AB⊥OC，AB⊥OD，又OC∩OD＝O，OC，OD⊂平面OCD，所以AB⊥平面OCD，所以VA-BCD＝13S△OCD·AB＝13×12×3×4×3＝6.11.在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D-EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为（）A.1136 BC.533 D解析：A如图所示，因为三个侧面的中心分别为E，F，G，所以三棱锥D-EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG的面积为14S△ABC，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体积为2×13×14×12×2×2sin60°×1＝36，三棱柱的体积为12×2×2sin60°×2＝23，故剩余几何体的体积为23－312.一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积为（）A.3π B.23πC.22π D.2π解析：A由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分为一圆台，且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆锥上的截面，圆台的下底面即原圆锥的底面.不妨设圆台上底面半径为r1，圆台下底面半径为r2，小圆锥母线长为l1，原圆锥母线长为l2，由轴截面为正三角形知，l1r1＝l2r2＝2，则小圆锥底面积为πr12，底面周长为2πr1，侧面积为l1·πr1＝2πr12，易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积，则圆台侧面积为2π（r22－r12），下底面积为πr22，由于两部分表面积相等，则πr12＋2πr12＝πr12＋πr22＋2π（r2213.〔多选〕如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分别为