第2节　平面向量基本定理及坐标表示

1/1第2节平面向量基本定理及坐标表示1.掌握（课标变化：理解→掌握）平面向量基本定理.2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.提醒：（1）e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），｜a｜＝x12（2）向量坐标的求法已知A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝（x2－x1，y2－y1），｜AB｜＝（x2提醒：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b⇔x4.平面向量共线的坐标表示设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb（λ∈R）⇔x1y2－x2y1＝0.提醒：a∥b的充要条件不能表示为x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能为0；当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x1.设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.2.三角形的重心坐标公式已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为（x1＋x2诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）在△ABC中，{AB，CA}可以作为基底.（√）（2）向量的坐标就是向量终点的坐标.（×）（3）若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.（√）（4）平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变.（√）2.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）D.e1＝（－2，3），e2＝（－12，3解析：B两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C、D中两向量共线，B中e1与e2不共线.故选B.3.已知向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝3.解析：因为向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，故4y－2×6＝0，解得y＝3.4.（2026·河南郑州联考）已知▱ABCD的顶点A（0，－2），B（3，－1），C（5，2），则顶点D的坐标为（2，1）.解析：设D（x，y），则由AB＝DC，得（3，1）＝（5－x，2－y），即3=5－x5.（2026·广东佛山模拟）如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，AB＝a，AD＝b，则BF＝b－12a，DE＝a－12b（用a，b解析：根据题意，得BC＝AD＝b，CF＝－12AB＝－12a，所以BF＝BC＋CF＝b－12a.同理DE＝DC＋CE＝AB－12AD平面向量基本定理的应用（基础自学过关）1.（2026·江苏盐城模拟）若{a，b}是平面内的一个基底，则下列能作为平面向量的基底的是（）A.{a－b，b－a} B.{2a＋b，a＋12bC.{2b－3a，6a－4b} D.{a＋b，a－b}解析：DA选项，b－a＝－（a－b），所以a－b，b－a共线，不能作为基底向量；B选项，2a＋b＝2（a＋12b），所以2a＋b，a＋12b共线，不能作为基底向量；C选项，6a－4b＝－2（2b－3a），所以2b－3a，6a－4b共线，不能作为基底向量；D选项，易知a＋b，a－b不共线，2.已知D为△ABC所在平面内一点，且满足CD＝13DB，则（A.AD＝32AB－12AC B.ADC.AB＝4AD－3AC D.AB＝3AD－4AC解析：C如图，因为CD＝13DB，所以D是线段BC的四等分点，且BD＝3DC，所以AD＝AB＋BD＝AB＋34BC＝AB＋34（AC－AB）＝14AB＋34AC，故A，B错误；由AD＝14AB＋34AC，可得AB＝4AD－3.〔多选〕下列命题中正确的是（）A.若p＝xa＋yb（x，y∈R），则p与a，b共面B.若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋ybC.若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面D.若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得MP＝xMA＋yMB解析：AC对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得MP＝xMA＋yMB，故D错误；由平面向量基本定理知A、C正确.故选A、C.4.在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，若AB＝λCM＋μBN（λ，μ∈R），则λ＋μ＝－2.解析：CM＝AM－AC＝12AB－AC，BN＝AN－AB＝12AC－AB，故AB＝λCM＋μBN＝λ12AB－AC＋μ12AC－AB＝12λ－μAB＋121.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.平面向量的坐标运算（师生共研过关）（1）在平行四边形ABCD中，AD＝（3，7），AB＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为（C）A.（－12，5） B.（12，C.（－12，－5） D.（12，－解析：因为在平行四边形ABCD中，AD＝（3，7），AB＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，所以CO＝－AO＝－12（AD＋AB）＝（－12，－5（2）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），则λ＋μ＝（B）A.65 B.C.2 D.8解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，0）.不妨设AB＝1，则DC＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴－2λ＋μ＝－2，λ平面向量坐标运算的技巧（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；（2）解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解.训练1（1）〔一题多解〕已知OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，其中O为坐标原点，则点P的坐标为（B）A.（－9，－1） B.1C.（1，－5） D.3解析：法一设P（x，y），则OP＝（x，y），AP＝OP－OA＝（x－5，y＋2），BP＝OP－OB＝（x＋4，y＋3），由OP＋AP＋BP＝0，得x＋x－5+x+4=0，y＋y法二因为OP＋AP＋BP＝0，所以P是△OAB的重心，又A（5，－2），B（－4，－3），O（0，0），则点P的坐标为13，－5（2）（2026·山东临沂月考）已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则（D）A.c＝2a－3b B.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2b D.c＝3a－2b解析：如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则A（1，0），B（2，1），C（0，4），D（7，1），所以a＝（1，1），b＝（－2，3），c＝（7，－3），设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝（m－2n，m＋3n）＝（7，－3），则m－2n=7，m+3n＝－3，解得m向量共线的坐标表示（定向精析突破）考向1利用向量共线求参数（1）（2026·黑龙江哈尔滨月考）已知平面向量a＝（－2，1），b＝（－4，x），若a与a＋2b共线，则实数x的值为（A）A.2 B.－2C.8 D.－8解析：由题意可得a＋2b＝（－10，1＋2x），因为a与a＋2b共线，所以－2（1＋2x）＝－10，解得x＝2.故选A.（2）已知向量AB＝（7，6），BC＝（－3，m），AD＝（－1，2m），若A，C，D三点共线，则m＝－23解析：因为AC＝AB＋BC＝4，m+6，又A，C，D三点共线，所以AC＝λAD且λ∈R，则－λ=4，2mλ＝已知两向量共线，求某些参数的取值，可利用“若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题.考向2利用向量共线求向量或点的坐标（1）已知梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，点A（1，2），B（2，1），C（4，2），则点D的坐标为（2，4）；解析：（1）由题意得，DC＝2AB.设点D的坐标为（x，y），则DC＝（4－x，2－y），AB＝（1，－1），所以（4－x，2－y）＝（2，－2），即4－x=2，2－y＝－2（2）〔一题多解〕已知O为坐标原点，点A（4，0），B（4，4），C（2，6），则AC与OB的交点P的坐标为（3，3）.解析：（2）法一由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝（4λ，4λ），则AP＝OP－OA＝（4λ－4，4λ）.又AC＝OC－OA＝（－2，6），由AP与AC共线，得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，解得λ＝34.所以OP＝34OB＝（3，3），则点P的坐标为（3法二设点P（x，y），则OP＝（x，y），因为OB＝（4，4），且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP＝（x－4，y），AC＝（－2，6），且AP与AC共线，所以（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为（3，利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路（1）求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程（组），求出λ的值后，代入λa即可得到所求的向量；（2）求点的坐标时，可设要求点的坐标为（x，y），根据向量共线的条件列方程（组），求出x，y的值.训练2（1）（2026·山东聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a＝（1，3），b＝（cosα，sinα），若a∥b，则α＝（B）A.2π3B.π3 C.π4解析：因为α∈（0，π），则sinα＞0，向量a＝（1，3），b＝（cosα，sinα），若a∥b，则sinα＝3cosα＞0，可得tanα＝3，故α＝π3.故选B（2）（2026·福建漳州月考）在△ABC中，已知点O（0，0），A（0，5），B（4，3），OC＝14OA，OD＝12OB，AD与BC交于点M，则点M的坐标为（127，解析：因为点O（0，0），A（0，5），B（4，3），所以点C（0，54），同理点D（2，32）.设点M的坐标为（x，y），则AM＝（x，y－5），而AD＝（2，－72）.因为A，M，D三点共线，所以AM与AD共线，所以－72x－2（y－5）＝0，即7x＋4y＝20.而CM＝（x，y－54），CB＝（4，74），因为C，M，B三点共线，所以CM与CB共线，所以74x－4（y－54）＝0，即7x－16y＝－20.由7x+4y定比分点坐标公式教材母题：〔人A必修二P33探究〕如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），点P是直线P1P2上的一点.当P1P＝λPP2时，解：设P（x，y），则P1P＝（x－x1，y－y1），PP2＝（x2－x，y2－y），由P1P＝λPP2，易知λ≠－1，则（x－x1，y－y1）＝λ（x2－x，y2－y），故x－x细研教材：定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，由教材母题可知，当P1P＝λPP2（λ≠0且λ≠－1）时，OP＝11+λOP1＋λ1+λOP2，点P（x1＋λx21+λ，y1＋λy21+λ），当λ＞0时，（1）〔一题多解〕已知M（－2，7），N（10，－2），点P是线段MN上的点，且PN＝－2PM，则点P的坐标为（D）A.（－14，16） B.（22，－11）C.（6，1） D.（2，4）解析：（1）法一设P（x，y），则PN＝（10－x，－2－y），PM＝（－2－x，7－y）.由PN＝－2PM，得10－x＝－2（－2－法二由NP＝2PM，可知P分有向线段NM所成的比是λ＝2，则P（10－41+2，－2+141+2），即（2）〔一题多解〕设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且｜AB｜＝2｜AP｜，则点P的坐标为（C）A.（3，1） B.（1，－1）C.（3，1）或（1，－1） D.（3，1）或（1，1）解析：法一∵A（2，0），B（4，2），∴AB＝（2，2）.∵点P在直线AB上，且｜AB｜＝2｜AP｜，∴AB＝2AP或AB＝－2AP，故AP＝（1，1）或AP＝（－1，－1），故点P的坐标为（3，1）或（1，－1）.法二由法一知AB＝2AP或AB＝－2AP.当AB＝2AP时，P为线段AB的中点，故P（3，1）；当AB＝－2AP时，AP＝－13PB，则P（2－431－13，－（3）〔一题多解〕平面上有A（2，－1），B（1，4），D（4，－3）三点，点C在直线AB上，且AC＝12BC，连接DC并延长至点E，使｜CE｜＝14｜ED｜，则点E的坐标为（83，－解析：设O为坐标原点，∵AC＝12BC，∴OC－OA＝12（OC－OB），∴OC＝2OA－OB＝（3，－6），∴点C的坐标为（3，－6）.又∵｜CE｜＝14｜ED｜，且点E在DC的延长线上，∴法一设E（x，y），则（x－3，y＋6）＝－14（4－x，－3－y），∴x－3=－14（4－x),y法二设E（x，y）.∵CE＝－14ED，C（3，－6），D（4，－3），则x＝3－11－14＝83，y＝－6+34（时间：45分钟，满分：78分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.已知a＝（5，－2），b＝（－4，－3），若a－2b＋3c＝0，则c＝（）A.133，83C.133，43解析：D因为a－2b＋3c＝0，所以c＝－13（a－2b）.因为a－2b＝（5，－2）－（－8，－6）＝（13，4），所以c＝－13（a－2b）＝－1332.（2026·辽宁锦州模拟）已知平面直角坐标系中的两个向量a＝（1，2），b＝（m，3m－2），且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则实数m的取值范围是（）A.（－∞，2） B.（2，＋∞）C.（－∞，＋∞） D.（－∞，2）∪（2，＋∞）解析：D由题意，知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.3.向量a＝（1，3），b＝（3x－1，x＋1），c＝（5，7），若（a＋b）∥（a＋c），且c＝ma＋nb，则m＋n＝（）A.2 B.5C.3 D.7解析：C由题意，得a＋b＝（3x，x＋4），a＋c＝（6，10），因为（a＋b）∥（a＋c），所以30x＝6x＋24，解得x＝1，所以b＝（2，2）.则c＝ma＋nb＝（m＋2n，3m＋2n）＝（5，7），即m+2n=5，3m+2n=7，解得m4.在A＝90°的等腰直角三角形ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，BC＝λAF＋μCE，则λ＝（）A.－23 B.－C.－43 D.－解析：A如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AB＝2，则B（2，0），C（0，2），F（1，1），E（1，0），BC＝（－2，2），λAF＋μCE＝λ（1，1）＋μ（1，－2）＝（λ＋μ，λ－2μ），即λ＋μ＝－2，λ－5.在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，DE＝EC，CF＝2BF，设AE＝m，AF＝n，则AC＝（）A.34m＋12n B.12mC.35m＋45n D.45m解析：D由题意，AE＝AD＋DE＝12AB＋AD，AF＝AB＋13AD，设AC＝xAE＋yAF＝（x2＋y）AB＋（x＋y3）AD，又AC＝AD＋AB，由对应系数相等得x＋y3=1，x2＋6.〔多选〕（2026·安徽亳州调研）已知向量a，b，c满足c＝λa＋（1－λ）b（0＜λ＜1），且c＝（1，2），则a，b的坐标可以为（）A.a＝（1，0），b＝（0，2） B.a＝（2，0），b＝（0，4）C.a＝（3，1），b＝（－1，3） D.a＝（2，1），b＝（4，－1）解析：BC设OA＝a，OB＝b，OC＝c，O为坐标原点，则由c＝λa＋（1－λ）b（0＜λ＜1）可知，A，B，C三点共线，且C在A，B两点之间.选项A，AB＝（－1，2），AC＝（0，2），AB与AC不平行，A错误；选项B，AB＝（－2，4），AC＝（－1，2），AB与AC平行，且C在A，B两点之间，B正确；选项C，AB＝（－4，2），AC＝（－2，1），AB与AC平行，且C在A，B两点之间，C正确；选项D，AB＝（2，－2），AC＝（－1，1），AB与AC平行，但C不在A，B两点之间，D错误.7.已知向量a＝（6，2），与a共线且方向相反的单位向量b＝－310解析：因为a＝（6，2），｜a｜＝36+4＝210，所以与a共线且方向相反的单位向量是b＝－a｜a｜8.已知向量OA＝（3，4），OB＝（6，－3），OC＝（5－m，－3－m），若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是m≠－710解析：因为AB＝OB－OA＝（3，－7），AC＝OC－OA＝（2－m，－7－m），又点A，B，C能构成三角形，所以点A，B，C不共线，即AB与AC不共线，所以3（－7－m）－（－7）（2－m）≠0，解得m≠－7109.在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且AD＝45AM，AN＝λAB，则λ＝2解析：如图，因为点M是BC的中点，所以AD＝45AM＝45×12（AB＋AC）＝25（AB＋AC）.因为N，D，C三点共线，所以AD＝μAC＋（1－μ）AN，又AN＝λAB，所以25（AB＋AC）＝μAC＋（1－μ）λAB，由平面向量基本定理可知25＝μ10.点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为｜v｜个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（）A.（－2，4） B.（－30，25）C.（10，－5） D.（5，－10）解析：C设5秒后点P的坐标为（x，y），由题意，得v＝（4，－3），则｜v｜＝5.∵点P的运动方向与v相同，且每秒移动的速度是5，∴（x＋10，y－10）＝5v＝5（4，－3），解得x＝10，y＝－5，∴5秒后点P的坐标为（10，－5）.11.在△ABC中，D为边BC上的点，S△ABD＝2S△ADC，AB＝xAD＋yAC，则（）A.x＝3，y＝－2 B.x＝32，y＝－C.x＝－2，y＝3 D.x＝－12，y＝解析：A设点A到BC的距离为h，则12×BD×h＝2×12×DC×h，所以BD＝2DC，故AB＝AC＋CB＝AC＋3CD＝AC＋3（AD－AC）＝3AD－2AC.又AB＝xAD＋yAC，故x＝3，y＝－2.故选12.〔一题多解〕（2026·福建莆田月考）已知点O（0，0），向量OA＝（2，3），OB＝（6，－3），点P是直线AB上一点且满足AP＝2PB，则点P的坐标是（）A.（143，－1） B.（103，C.（143，－1）或（10，－9） D.（103，1）或（10，－解析：C法一依题意，若AP＝2PB，则OP＝13OA＋23OB，而OA＝（2，3），OB＝（6，－3），因此OP＝13（2，3）＋23（6，－3）＝（143，－1），则点P的坐标是143，－1；若AP＝2BP，则OP＝2OB－OA＝2（6，－3）－（2，3）＝（10法二依