2025年高考数学概率统计：解题思路与方法专项训练试卷

2025年高考数学概率统计：解题思路与方法专项训练试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x²-3x+2≥0},B={x|2x-1>x+1},则A∩B=()A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(-∞,1)C.(2,+∞)D.[2,+∞)2.“x>1”是“x²>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.从装有2个红球和2个白球的袋中，不放回地依次取出两个球，则取出的两个球颜色不同的概率为()A.1/4B.1/3C.1/2D.2/34.若事件A和B相互独立，P(A)=1/3,P(B)=1/4,则P(A∪B)=()A.1/12B.5/12C.7/12D.11/125.已知离散型随机变量X的分布列为：```X-101P1/31/6a```则P(X≤0)=()A.1/2B.1/3C.1/6D.1/46.若离散型随机变量X服从参数为n=6,p的二项分布B(6,p)，且E(X)=3,则D(X)=()A.3/4B.3/2C.9/4D.27/47.已知X~N(μ,σ²)，且P(X<μ)=0.3,则P(X>μ)=()A.0.3B.0.7C.0.5D.无法确定8.对于一组数据5,x,7,9的样本方差为8,则x=()A.3B.5C.7D.99.在一项调查中，随机抽取了某城市1000名成年人，调查他们对某项政策的支持情况，并将结果按性别和支持/反对进行分类。为了检验性别与支持该政策是否有关，应使用的统计方法是()A.独立性检验B.假设检验C.回归分析D.抽样估计10.已知变量y与x之间的回归方程为ŷ=2-3x，当x增加一个单位时，y的平均变化是()A.2B.-3C.3D.-2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.设事件A发生的概率P(A)=0.6，事件B发生的概率P(B)=0.7，若A与B互斥，则P(A∪B)=_______。12.设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0<x<10,其他则P(0.5<X<1)=_______。13.若X是一个期望为4，方差为9的随机变量，则随机变量Y=2X-1的期望E(Y)=_______，方差D(Y)=_______。14.从一堆产品中随机抽取3件进行检验，设抽取的3件产品中次品件数为X，若这堆产品中有5%的次品，且X服从二项分布，则P(X=1)=_______（结果保留三个有效数字）。15.在一次射击练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.8。他连续射击3次，则恰好命中2次的概率为_______。三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分13分）一个盒子里有大小相同的5个红球和4个白球，从中随机取出3个球。(1)求取出的3个球都是红球的概率；(2)求取出的3个球中至少有1个白球的概率。17.（本小题满分14分）某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了100粒这种种子。(1)求恰好有90粒种子发芽的概率；(2)求发芽种子数不少于88粒的概率（精确到0.01）。18.（本小题满分15分）设离散型随机变量X的分布列为：```X-101Ppq0.4```其中p>0,q>0，且X的期望E(X)=0.2。(1)求p和q的值；(2)求随机变量X的方差D(X)。19.（本小题满分15分）已知随机变量X服从正态分布N(μ,16)，且P(X<0)=0.2。(1)求μ的值；(2)求概率P(1<X<2)。20.（本小题满分18分）为了调查某城市成年男性的每日运动情况，随机抽取了100名成年男性，记录他们的每日运动时间（单位：分钟），得到如下样本数据（部分）：```[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)频数1018273213```(1)列出该样本的频率分布表；(2)根据频率分布表，绘制频率分布直方图（此处要求文字描述直方图形状特征）；(3)计算该样本的样本均值和样本方差（结果保留一位小数）。试卷答案1.C2.A3.C4.D5.A6.A7.B8.B9.A10.B11.0.912.1/413.7,914.0.13515.0.38416.(1)解：设“从盒子里随机取出3个球”为事件E。从盒子里共有5个红球和4个白球，共9个球。事件E包含的基本事件总数为C(9,3)。取出的3个球都是红球，包含的基本事件数为C(5,3)。根据古典概型概率公式，取出的3个球都是红球的概率P=C(5,3)/C(9,3)=(5×4×3)/(9×8×7)=10/42=5/21。答：取出的3个球都是红球的概率为5/21。(2)解：设“取出的3个球中至少有1个白球”为事件F。方法一：事件F包含以下三种情况：恰有1个白球：从4个白球中取1个，从5个红球中取2个，基本事件数为C(4,1)×C(5,2)。恰有2个白球：从4个白球中取2个，从5个红球中取1个，基本事件数为C(4,2)×C(5,1)。恰有3个白球：从4个白球中取3个，基本事件数为C(4,3)。根据分类加法计数原理和古典概型概率公式，P(F)=[C(4,1)×C(5,2)+C(4,2)×C(5,1)+C(4,3)]/C(9,3)=[(4×10)+(6×5)+4]/84=(40+30+4)/84=74/84=37/42。方法二：事件F的对立事件F'是“取出的3个球都是红球”，其概率P(F')=5/21（见(1)问解答）。根据对立事件概率公式，P(F)=1-P(F')=1-5/21=16/21。答：取出的3个球中至少有1个白球的概率为16/21或37/42。17.(1)解：播种了100粒种子，每粒种子发芽的概率为0.9，不发芽的概率为0.1。发芽种子数X服从参数为n=100,p=0.9的二项分布，即X~B(100,0.9)。恰好有90粒种子发芽的概率P(X=90)=C(100,90)×0.9^90×0.1^10。计算C(100,90)=C(100,10)=100!/(10!×90!)=(100×99×98×...×91)/(10×9×8×...×1)。P(X=90)=C(100,10)×0.9^90×0.1^10。P(X=90)≈17.31×10^35×(1/3.16×10^1)^90×(1/10)^10≈17.31×10^35×(1/10^30)×(1/10)^10≈17.31×10^35×10^-40≈17.31×10^-5≈0.001731。保留三个有效数字，P(X=90)≈0.0017。(2)解：要求发芽种子数不少于88粒的概率P(X≥88)。P(X≥88)=P(X=88)+P(X=89)+P(X=90)+...+P(X=100)。由于n较大，p接近1/2或p较大，可以利用正态近似计算。X~N(np,np(1-p))，即X~N(100×0.9,100×0.9×0.1)=N(90,9)。标准化：Y=(X-μ)/σ=(X-90)/3。P(X≥88)=P((X-90)/3≥(88-90)/3)=P(Y≥-2/3)。P(Y≥-2/3)=1-P(Y<-2/3)。查标准正态分布表或使用计算器，P(Z<-0.67)≈0.2514。P(Y≥-2/3)≈1-0.2514=0.7486。由于要求精确到0.01，四舍五入得P(X≥88)≈0.75。答：发芽种子数不少于88粒的概率约为0.75。18.(1)解：根据分布列的性质，所有概率之和为1，即p+q+0.4=1，所以p+q=0.6。根据期望的定义E(X)=(-1)×p+0×q+1×0.4=-p+0.4。已知E(X)=0.2，所以-p+0.4=0.2，解得p=0.2。将p=0.2代入p+q=0.6，得0.2+q=0.6，解得q=0.4。检验：p=0.2,q=0.4均大于0，符合题意。答：p=0.2,q=0.4。(2)解：根据方差的定义D(X)=E(X²)-[E(X)]²。先计算E(X²)：E(X²)=(-1)²×p+0²×q+1²×0.4=p+0.4。将p=0.2代入，得E(X²)=0.2+0.4=0.6。已知E(X)=0.2，所以[E(X)]²=(0.2)²=0.04。D(X)=E(X²)-[E(X)]²=0.6-0.04=0.56。答：随机变量X的方差D(X)=0.56。19.(1)解：已知随机变量X服从正态分布N(μ,16)，即X~N(μ,4²)。正态分布的密度曲线关于直线x=μ对称。已知P(X<0)=0.2。根据正态分布的对称性，P(X>μ)=P(X<0)=0.2。又根据正态分布总概率为1，P(X<μ)=1-P(X≥μ)=1-P(X>μ)=1-0.2=0.8。所以P(X<μ)=0.8。查标准正态分布表，P(Z<-0.84)≈0.2005，P(Z<-0.75)≈0.2266。由于0.2在0.2005和0.2266之间，且更接近0.2005，所以μ对应的标准正态分布临界值z接近-0.84。即(0-μ)/4≈-0.84，解得μ≈3.36。考虑到高考题通常取整数，且P(X<0)=0.2接近0.2，μ=3是一个合理的近似值。答：μ的值约为3。(2)解：方法一：利用正态分布表。已知X~N(3,16)，即X~N(3,4²)。求概率P(1<X<2)。标准化：(X-μ)/σ=(X-3)/4。P(1<X<2)=P((1-3)/4<(X-3)/4<(2-3)/4)=P(-2/4<Y<-1/4)=P(-0.5<Y<-0.25)。查标准正态分布表：P(Y<-0.25)≈0.4013，P(Y<-0.5)≈0.3085。P(-0.5<Y<-0.25)=P(Y<-0.25)-P(Y<-0.5)=0.4013-0.3085=0.0928。方法二：利用对称性（如果μ=3）。如果取μ=3，P(1<X<2)=P(2<X<3)（因为X=2与X=3关于μ=2.5对称，更准确地说是关于μ=3对称）。P(2<X<3)=P((2-3)/4<Y<(3-3)/4)=P(-1/4<Y<0)=P(-0.25<Y<0)。查标准正态分布表：P(Y<0)=0.5，P(Y<-0.25)≈0.4013。P(-0.25<Y<0)=P(Y<0)-P(Y<-0.25)=0.5-0.4013=0.0987。这个结果与方法一略有不同，但更符合P(1<2)的直观感觉（接近正态分布中点两侧对称区间的概率）。题目未指定μ的精确值，采用μ=3进行计算较为合理。答：概率P(1<X<2)约为0.093（方法一）或0.099（方法二，假设μ=3）。20.(1)解：样本容量为100。各组频数分别为：10,18,27,32,13。各组频率=频数/样本容量。频率分布表如下：```组别频数频率[0,10)100.10[10,20)180.18[20,30)270.27[30,40)320.32[40,50)130.13合计1001.00```(2)解：频率分布直方图的描述：该样本的频率分布直方图由5个矩形组成，横轴表示每日运动时间（分钟），纵轴表示频率。各矩形的底边分别对应一个时间组距（[0,10),[10,20),...）。各矩形的height对应该组的时间的频率（0.10,0.18,0.27,0.32,0.13）。从左到右，矩