第3节　空间直线、平面的平行

1/1第3节空间直线、平面的平行1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明.2.能用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形平行关系的简单命题.知识梳理1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行”）a⊄αb⊂α续表文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）a∥αa⊂2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）a⊂βb⊂性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥βα⋂1.平行于同一平面的两个平面平行.2.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.3.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.4.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若一条直线和一个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（×）（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.（×）（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（×）（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（√）2.（2026·安徽宿州月考）平面α∥平面β，直线l∥α，则（）A.l∥β B.l⊂βC.l∥β或l⊂β D.l，β相交解析：C因为平面α∥平面β，直线l∥α，所以直线l可能和平面β平行，也可能在平面β内.故选C.3.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD.α内的任何一条直线都与β平行解析：D对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故B错误；对于C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确.4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为平行.解析：连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE（图略），则OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为平行四边形.解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形.直线与平面平行的判定与性质（定向精析突破）考向1直线与平面平行的判定〔一题多解〕如图，四边形ABCD为矩形，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE.证明：法一如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF，因为AF∥DN，且AF＝DN，所以四边形ADNF为平行四边形，所以AD∥FN，且AD＝FN，又四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC且AD＝BC，所以FN∥BC且FN＝BC，所以四边形BCNF为平行四边形，所以BF∥NC，因为BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，所以BF∥平面CDE.法二因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE.又AF∥ED，AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，所以AF∥平面CDE.因为AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面CDE，又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE.线面平行的证明方法考向2直线与平面平行的性质（1）如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是（A）A.平行 B.相交C.异面 D.不确定解析：因为F，G分别为BC，CD的中点，所以FG∥BD，因为EH∥平面CBD，平面ABD∩平面BCD＝BD，EH⊂平面ABD，所以EH∥BD，由平行的传递性可知EH∥FG.故选A.（2）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.线面平行性质的应用证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行.提醒：应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.训练1在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC的中点，∠CAD＝30°，PA＝AB＝4，点N在线段PB上，且PNNB＝1（1）求证：MN∥平面PDC；解：证明：在正三角形ABC中，BM＝23.在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD＝CD，又∠CAD＝30°，所以DM＝233，所以BM∶MD＝3∶所以BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD.又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.（2）若平面PAB∩平面PCD＝l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由.解：假设直线l∥CD，因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB，又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以CD∥AB，这与CD与AB不平行矛盾，所以直线l与直线CD不平行.平面与平面平行的判定及性质（师生共研过关）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.（1）求证：平面A1BD∥平面CD1B1；证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD，AD∥BC，AD＝BC，所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又因为A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.同理，A1D∥平面CD1B1.又因为A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l.证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝B1D1，所以B1D1∥l.1.证明面面平行的常用方法（1）利用面面平行的判定定理；（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）；（3）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）.2.面面平行条件的应用（1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；（2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线.训练2如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：（1）BE∥平面DMF；证明：如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.（2）平面BDE∥平面MNG.证明：因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.平行关系的综合应用（师生共研过关）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且CQQD1＝BPPD（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；解：证明：连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM＝BPPD＝23，又因为CQQD所以CQQD1＝CPPM＝23，所以又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.（2）若R是AB上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明解：当ARAB的值为35时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，如图.因为ARAB＝35，即BRRA故BRRA＝BPPD，所以PR∥又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.三种平行关系的转化训练3如图，在正四面体S-ABC中，AB＝4，E，F，R分别是SB，SC，SA的中点，取SE，SF的中点M，N，Q为平面SBC内一点.（1）求证：平面MNR∥平面AEF；解：证明：因为R，M，N分别是SA，SE，SF的中点，所以MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以MN∥平面AEF.同理，MR∥平面AEF，又因为MR∩MN＝M，MN，MR⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面AEF.（2）若RQ∥平面AEF，求线段RQ的最小值.解：由（1）知，平面MNR∥平面AEF，若RQ∥平面AEF，则点Q在线段MN上移动.由题意得AE⊥SB，AE＝AB2－B如图，在△RMN中，RM＝12AE＝3，RN＝12AF＝3，MN＝RQ的最小值为R到线段MN的距离.因为△RMN是等腰三角形，故RQ的最小值为（3）2（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α与β平行的是（）A.l∥α，l∥βB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥βD.l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β解析：D对于A，α和β可能平行也可能相交；对于B，必须是α内不共线的三点，且在β的同侧到β的距离相等，才可判定平面α与平面β平行，故B错误；对于C，当l，m是平面α内的两条平行直线时，α与β可能相交，故C错误；对于D，过直线l，m分别作平面与平面α，β相交，设交线分别为l1，m1与l2，m2，由l∥α，l∥β得l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，则l1∥β，同理m1∥β，因为l1与m1相交，所以α∥β.故选D.2.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则直线AC和平面DEF的位置关系是（）A.平行 B.相交C.在平面内 D.不能确定解析：A如图，由AEEB＝CFFB得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面3.（2026·安徽皖南八校第三次联考）设l1，l2，l3是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝l1，l2⊂α，l3⊂β，则“l2∥l3”是“l1∥l2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A当l2∥l3时，l3⊂β，l2⊄β，所以l2∥β，又l2⊂α，α∩β＝l1，所以l1∥l2成立；当l1∥l2时，若l1与l3相交，则l2与l3异面，不能推出l2∥l3，所以“l2∥l3”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A.4.如图，P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（）A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶25解析：D∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFC＝（A.23 B.C.13 D.解析：D连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以PFFC＝AGGC.又AD∥BC，E为AD的中点，所以AGGC＝AEBC＝12，6.〔多选〕如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是（）解析：AC对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图1所示，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则直线AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，所以直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，如图2所示，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，所以AB∥OD，因为OD与平面DEF相交，所以直线AB与平面DEF相交，故D错误.故选A、C.7.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有①③.解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.8.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件点M与点H重合（点M只要在线段FH上即可）时，就有MN∥平面B1BDD1（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.解析：连接HN，FH，FN（图略），则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.9.（13分）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.（1）证明：MN∥平面PAD；（2）若平面PAD∩平面PBC＝l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论.解：（1）证明：取CD中点Q，连接MQ，NQ.因为M，N，Q分别为AB，PC，CD的中点，故MQ∥AD，NQ∥PD，又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故MQ∥平面PAD，同理NQ∥平面PAD.又MQ，NQ⊂平面MNQ，MQ∩NQ＝Q，故平面MNQ∥平面PAD，又MN⊂平面MNQ，故MN∥平面PAD.（2）BC∥l，证明如下：因为四边形ABCD为平行四边形，故AD∥BC，又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，故BC∥l.10.（2026·广东广州模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则（）A.MF∥EBB.A1B1∥NEC.四边形MNEF为平行四边形D.四边形MNEF为梯形解析：D由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确.11.如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点，点N在线段AB上，AB＝4BN.若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面边长的比值为（）A.15B.14 C.13解析：D设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG和平面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G为EC的中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG.所以四边形DEC'D'为平行四边形，棱台上下底面边长的比值为1212.〔多选〕（2026·浙江温州模拟）在四棱锥P-ABCD中，E，F分别是AP，BC上的点，AEEP＝BFFC，则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是（A.AD∥BC B.AB∥CDC.BC∥平面PAD D.CD∥平面PAB解析：BD如图，过E点作EG∥PD交AD于点G，连接GF，即有EG∥平面PCD，由于△AEG∽△APD，所以AGGD＝AEEP＝BFFC，若AB∥CD，则GF∥CD，又GF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以GF∥平面PCD，由EG∩GF＝G，EG，GF⊂平面EGF，得平面EGF∥平面PCD，又EF⊂平面EGF，所以EF∥平面PCD，故B正确；若CD∥平面PAB，又因为平面ABCD∩平面PAB＝AB，所以CD∥AB，由B可知D正确；假设EF∥平面PCD，设平面EFP∩CD＝H，则EF∥PH，若BC∥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD，反之若BC∥AD，当且仅当BC∥平面PAD，即A、C同时正确或错误；若BC∥AD，可能AB∥CD，也可能AB与CD相交.若AB与CD相交，由AGGD＝BFFC知延长FG必与AB，CD交于同一点O，由几何关系知EF与PH不平行，故A、C错误.13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP的最小值是655解析：如图，分别取棱B1C1，BB1的中点M，N，连接A1M，A1N，MN.因为正方体中A1M∥AE，MN∥EF，所以平面A1MN内两相交直线A1M，MN与平面AEF平行，所以平面A1MN∥平面AEF