微专题　极值点偏移

1/1微专题极值点偏移1.极值点不偏移已知函数f（x）图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f（x）＝c的两根的中点刚好满足x1＋x22＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数f（x）在x＝x0两侧，（图1无偏移，左右对称，如二次函数）若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＝2x0.2.极值点偏移若x1＋x22≠x0，则极值点偏移，此时函数f（x）在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图（图2左陡右缓，极值点向左偏移）若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＞2x0；（图3左缓右陡，极值点向右偏移）若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＜2x0.对称化构造函数求解极值点偏移问题已知函数f（x）＝xlnx－x＋1，若方程f（x）＝b有两个不相等的实数根x1，x2，求证：x1x2＜1.证明：f'（x）＝lnx，当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，要证x1x2＜1，只需证1＜x2＜1x因为f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以只需证f（x2）＜f（1x1因为f（x1）＝f（x2），所以只需证f（x1）＜f（1x1设F（x）＝f（x）－f（1x）（0＜x＜1），则F'（x）＝lnx－1x2lnx＝x2－1所以F（x）在（0，1）上单调递增，所以F（x）＜F（1）＝0，所以f（x）－f（1x）＜0即f（x1）＜f（1x1）成立，所以x1x2＜对称化构造辅助函数（1）对结论x1＋x2＞2x0型，构造函数F（x）＝f（x）－f（2x0－x）；（2）对结论x1x2＞x02型，方法一是构造函数F（x）＝f（x）－f（x02x），通过研究F（x）的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1＋lnx2＞2lnx0，再把lnx1，ln比（差）值换元求解极值点偏移问题已知函数f（x）＝xlnx，设函数g（x）＝f（x）+1x，证明：g（x1）＝g（x2）（x1＜x2）时，x1＋x证明：g（x）＝f（x）+1x＝lnx＋1由g（x1）＝g（x2）（x1＜x2），得lnx1＋1x1＝lnx2＋1x2，即x2－要证x1＋x2＞2，需证（x1＋x2）·x2－x1即证x2x1－x1设x2x1＝t（t＞1），则只需证t－1t＞2lnt（令h（t）＝t－1t－2lnt（t＞1则h'（t）＝1＋1t2－2t＝（1－1t）∴h（t）在（1，＋∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即t－1t＞2lnt故x1＋x2＞2.通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝x1x2（含对数式时常用）或t＝x1－x2（含指数式时常用）化为单变量的函数不等式1.（2026·山东青岛模拟节选）已知函数f（x）＝x2（lnx－32），f'（x1）＝f'（x2），x1＜x2，证明：x1＋x2＞2证明：f（x）＝x2（lnx－32），f'（x）＝2x（lnx－1令g（x）＝2x（lnx－1），g'（x）＝2lnx，当x＝1时，g'（x）＝0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，且当x∈（0，e）时，g（x）＝2x（lnx－1）＜0，当x∈（e，＋∞）时，g（x）＝2x（lnx－1）＞0，故0＜x1＜1＜x2＜e.要证x1＋x2＞2，只需证x2＞2－x1，易知x2＞1，2－x1＞1，因为g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以只需证明g（x1）＝g（x2）＞g（2－x1）.设t（x）＝g（2－x）－g（x），x∈（0，1），则t'（x）＝－g'（2－x）－g'（x）＝－2ln（2－x）－2lnx＝－2ln[（2－x）x]＞0，故t（x）在（0，1）上单调递增，故t（x）＜0，所以t（x1）＝g（2－x1）－g（x1）＜0，则g（2－x1）＜g（x1）＝g（x2）.所以2－x1＜x2，即x1＋x2＞2得证.2.已知函数f（x）＝xlnx－12mx2－x，m∈R.若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：lnx1＋lnx2＞2证明：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.若f（x）有两个极值点x1，x2，即函数f'（x）有两个变号零点，又f'（x）＝lnx－mx，所以x1，x2是方程f'（x）＝0的两个不同的实根，即ln由①＋②得m＝ln由②－①得m＝ln从而可得lnx2于是lnx1＋lnx2＝（lnx不妨设0＜x1＜x2，t＝x2x1，则t因此lnx1＋lnx2＝（1+t）lnt要证lnx1＋lnx2＞2，即证（t+1）lntt－1＞2（t＞1），即当t＞1时设函数h（t）＝lnt－2（