高考数学一轮复习 达标训练 9.3圆锥曲线大题篇习题

跟踪训练【训练1】（2021春•T8联考）已知椭圆与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由．【训练2】（2026•武汉三月调考）曲线与直线交于点，过点且与垂直的直线交曲线于另外的点，设线段的中点为，定点的坐标为．（1）用表示点的坐标；（2）证明：为定值；（3）是否存在某条直线始终与以为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．【训练3】（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．（ⅰ）若，求直线的斜率；（ⅱ）求证：是定值．跟踪训练【训练1】（2024•潍坊三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，为直线上一点，动点满足，．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若过点作直线与交于不同的两点，，点，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，．证明：为线段的中点．【训练2】（2024•青原区校级模拟）如图，为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接并延长至点，使得，点的轨迹记为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若过点的两条直线，分别交曲线于，两点，且，求证：直线过定点；（3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．请探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．跟踪训练【训练3】（2022春•浦东新区校级月考）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，且四边形的面积为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）点椭圆上异于，的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证为定值；（3）轴上有一点，，直线过点且与椭圆相交于，两点，若的值与的取值无关，求直线的斜率．【训练4】．（2025秋•和林格尔县校级期中）已知椭圆，点在上，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上的两点，为的右焦点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是．跟踪训练【训练5】（2025秋•宁波期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，且椭圆和抛物线的准线在第二象限交点的纵坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，试问△的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【训练6】（2025秋•贵溪市校级月考）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）已知直线与交于，两点，与圆交于，两点，若不重合的两条直线与分别平分线段，．①求证：为定值；②已知直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，，求四边形面积的最大值．【训练7】（2024秋•河西区期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．【训练1】（2024•安徽模拟）已知椭圆的左右顶点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），直线，相交于点．（1）求证：点在定直线上；（2）线段的中点为，求△面积的最大值．【训练2】（2016•天津）设椭圆的右焦点为，右顶点为．已知，其中为原点，为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．【训练3】（2026•湖北11校联考）已知抛物线，为其焦点，直线过点交抛物线于、两点，若三角形面积的最小值为．（1）求；（2）若三角形外接圆与抛物线的最后一个交点为点．设，，，，，，证明：．若平分，求线段长度的所有可能取值．跟踪训练【训练1】(2017•新课标Ⅰ文)设，为曲线上两点,与的横坐标之和为4.

(1)求直线的斜率;

(2)设为曲线上一点,在处的切线与直线平行,且,求直线的方程.

【训练2】（2024•广州期末）已知抛物线的准线与轴的交点为，直线过抛物线的焦点且与交于，两点，的面积的最小值为4．（1）求抛物线的方程；（2）若过点的动直线交于，两点，试问抛物线上是否存在定点，使得对任意的直线，都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由．【训练3】（2023•南宁一模）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．（1）求的方程；（2）若点，，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，连接并延长交抛物线于点．证明直线与直线的斜率之和为定值．跟踪训练【训练4】过抛物线上一点作圆的两条切线交于点，，求直线的方程.【训练5】（2023•贵州模拟）抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长．（1）求抛物线的方程；（2）设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆（其中的两条切线，分别交抛物线于点，，证明：直线经过定点．【训练6】（2025天津期末）椭圆经过点，右焦点为，直线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过点的直线与椭圆交于、两点（都不与点重合），与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．跟踪训练【训练1】（2024•南京月考）已知椭圆的左焦点为，离心率为，椭圆过点与．（1）求此椭圆的方程；（2）设经过点的直线与圆的交点为、，若，求的长；（3）设不经过点的直线与椭圆交于两点、，记直线与的斜率分别为、，且，求的值．【训练2】（2025•厦门月考）已知椭圆的下顶点为点，右焦点为．延长交椭圆于点，且满足．（1）试求椭圆的标准方程；（2），分别是椭圆长轴的左、右两个端点，，是椭圆上与，均不重合的相异两点，设直线，的斜率分别是，若直线过点，求证：．【训练3】（2026•扬州月考）如图，椭圆经过点，右准线，设为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，直线交于（点在轴下方）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点作的垂线与以为直径的圆交于，两点，若，求圆的方程；（3）若直线与的斜率之和为2，证明：直线过定点，并求出该定点．跟踪训练【训练4】（2023•赣州教师竞赛）已知椭圆的离心率为,椭圆上的点，与的最大距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的下、上顶点分别为A、B,过点P的直线与椭圆Q交于C、D两点，与y轴交于点M，直线AC与直线BD交于点N，试探究是否为定值.【训练5】（2021·北京）已知椭圆：（）的一个顶点，以椭圆的四个顶点围成的四边形面积为.（I）求椭圆的方程；（II）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线、分别与直线交于点、，当时，求的取值范围.【训练6】（2023·泸县期末）已知动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数.（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹即曲线的形状.（2）过作两直线与抛物线（）相切，且分别与曲线交于，两点，直线，的斜率分别为，.①求证：为定值；②试问直线DE是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.【训练7】已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点，设直线，斜率分别为，．①求证：为定值；②求证：直线恒过定点．跟踪训练【训练1】已知点为抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）点、、是抛物线上三点且，求△面积的最大值．跟踪训练【训练1】（2012•山东）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，，与圆有两个不同的交点，，求当时，的最小值．跟踪训练【训练1】椭圆上一动点，，直线，分别交椭圆于，两点，且，，求证为定值.【训练2】椭圆，为x轴上一点，过Q点的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于T.若，，证明为定值.跟踪训练【训练1】（2025春•浙江月考）已知抛物线，抛物线上一点在第一象限，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线交于，再过点作斜率为的直线交于点．（1）若点，且；求抛物线的方程，并写出准线方程；求直线的斜率；（2）记为△的面积，求的表达式（用，，表示）．【训练2】（2025秋•龙海区校级月考）已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）如图，在双曲线的右支上任取一点，，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得，，，，．①证明：点，，，，，，在同一条直线上，并求该直线方程；②记△，2，，的面积为，记，证明：．【训练3】（2025•方城县校级模拟）在平面直角坐标系中，矩形，动点在线段上，动点在延长线上，满足，直线与直线交于点，已知，．（1）证明：动点点所在曲线方程为双曲线．（2）在的右支上任取一点，，以为切点作的切线交两条渐近线