高考数学一轮复习 新思路 6.2 数量积

6.2数量积考向1利用数量积公式求解问题一、平面向量的坐标运算1.基底的定义如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且仅有一对实数,使得.我们把不共线的向量叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.注意:零向量不能作基底,两个非零向量共线时不能作基底,平面内任意两个不共线的向量都可以作基底,一旦选择了一组基底,则定向量沿基底的分解是唯一的.2.平面向量的直角坐标运算特殊基底的应用:非0基底向量垂直时,可利用平面直角坐标系坐标化解题,在平面直角坐标系内,分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量作为基底,对平面内任一向量,有且仅有一个实数对,使得,则实数对叫做向量的坐标,记作,其中分别叫做在轴、轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标相同的向量是相等向量.①已知点，，则，②已知，则.二、平面向量的数量积基本内容1.向量数量积的定义（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与,我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即,规定:零向量与任一向量的数量积为0.（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影:叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数;当为直角时,它是0.②的几何意义:数量积等于的长度与在方向上射影的乘积.2.数量积的运算律已知向量、、和实数，则:①；②；③.3.数量积的性质设、都是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则①.②.③当与同向时，；当与反向时，.特别地,或.④.⑤.4.数量积的坐标运算已知非零向量为向量、的夹角.结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系（当且仅当时等号成立）5.常用结论（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0.（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有（3）根据平面向量数量积的性质:等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.（4）若是实数，则；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量满足,则不一定有,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.（5）数量积运算不适合结合律,即,这是由于表示一个与共线的向量,表示一个与共线的向量,而与不一定共线,因此与不一定相等.题型1求模长、夹角和内积例1（2025天津卷）中,为边中点,,则_____（用表示），若，则_____.例2（2024·新高考II）已知向量满足:，且，则_____A.B.C.D.1例3（2026·聊城模拟）已知,且满足,则的最大值为A.12B.16C.20D.24例4（2026·贵阳模拟）已知两个单位向量与的夹角为,设,则（）A.1B.C.2D.3题型2利用投影法求范围例5（2020・山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是（）A.B.C.D.例6如图,是边长2的正方形,为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（）例7（2026·甘肃模拟）在中,为的中点,且外接圆的圆心为,则（）A.10B.20 C.D.题型3基底的应用例8在梯形中,与交于点是线段的中点,连接与交于点.若.（1）试用基底分别表示向量和；（2）若，求证:、、三点共线.例9用和做基向量,其中,对于与共面的任意一个向量,根据平面向量基本定理,存在唯一的一对实数,使得,我们定义有序实数对为向量在基底下的坐标.已知在基底下向量的坐标是,向量的坐标是.（1）求，（其中）在基底下的坐标并写出求解过程.（2）求的坐标运算式并写出求解过程.（3）在基底下，向量的坐标是，求.例10在梯形中,与交于点.设.（1）用基底表示；（2）若，，求；（3）设点到，的距离分别为，，求的值.考向2利用坐标转换求解问题题型1利用向量平行垂直关系求解①已知点，，则，②已知，则例11（2025·新课标II卷）已知，且，则为_____.例12（2024・上海）已知，则的值为_____.例13（2026·怒江州模拟）已知平面向量，若，则_____A.B.C.D.例14（2026·台州二模）已知平面向量，若，则的最小值为_____.题型2特殊几何图形与建系法求解三、建系法1.常见特殊几何图形的建系处理对于向量中的特殊几何图形的数量积问题,我们可以参考以上图形的建系方法来转换成坐标运算降低思维难度,注意向量的代数问题也可以设坐标来表示,从而转化为函数或者不等式去求取值范围.例15（2025·上海卷）已知，是平面内三个不同的单位向量，则可的取值范围是_____.例16（2022北京）在中,.为所在平面内的动点,且,则的取值范围是（）A.B.C.D.例17（2024·天津）已知正方形的边长为1,.若,其中为实数,则_____;设是线段上的动点,为线段的中点,则的最小值为_____.例18如图所示，梯形中，，点为的中点，,若向量在向量上的投影向量的模为4,设分别为线段上的动点,且,则的取值范围是（）A.B.C.D.例19已知点,点,点都在单位圆上,且,则的取值范围是（）A.B.C.D.题型3极化恒等式极化恒等式在中,若是的边中线,有以下两个重要的向量关系:定理1:平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形,若是的中线,则.定理2:在中,若是的中点,则有.向量数量积问题中,夹角未知,向量动点变化,极化恒等式具有重要的作用.例20已知是边长为2的正三角形，为平面内一点，则最小值为A.-2 B.C.D.-1例21如图直角梯形中,是边上长为6的可移动的线段,12，则.的取值范围为_____.例22已知是半径为1的上的三点,为的直径,为内一点（含圆周）,则的取值范围为_____.考向3奔驰定理与向量四心1.奔驰定理——解决面积比例问题重心定理:三角形三条中线的交点.已知的顶点,则的重心坐标为注意:（1）在中，若为重心，则.（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等.重心的向量表示:.奔驰定理:,则的面积之比等于奔驰定理证明:如图,令,即满足,故.奔驰定理最直观的体现就是以中心为起点引出的三个向量,每个向量与其对面的三角形面积构成的向量数乘之和为0.2.角平分线定理若,则平分线上的向量为由决定角平分线定理证明:和分别为和方向上的单位向量,是以和为一组邻边的平行四边形过点的的一条对角线,而此平行四边形为菱形,故在平分线上,但平分线上的向量终点的位置由决定.当时,四边形构成以的菱形.3.内心定理题型（1）角平分线的交点，到三条边的距离相等；（2）；证明:如图,中,分别为的平分线,为内心,根据奔驰定理,,故只需证明,由于,故命题得证.4.外心向量定理外心:三条边垂直平分线的交点,外心到三个顶点的距离相等,即;证明:如图,中,分别为边中点,为外心,则,,（1），同理可证:（2）；同理;同理.（3）5.垂心定理若为三角形底边上的高,为高上任意一点,则一定有证明:同理,我们可以得到:垂心定理:三角形三边上的高相交于一点（如图右）,故点是的垂心,则一定有.,即,以此类推即可证明.垂心的向量乘积定理:如下图,若是的垂心,是边所在直线上的一点,则证明:由于和在上的投影为都为,故,同理,和在上的投影为都为，故，由于，故.6.三角形四心与推论（1）是的直心::::1:.（2）是的内心:::::.（3）是的外心:::::（4）是的垂心:::::.题型一奔驰定理与向量四心例28已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3,则的值为（）A.B.C.2D.3例在中,为的外心,分别为的中点，且，则_____.例30若是的垂心，且，则的值为_____.例31（多选）在中，角所对的边分别为为平面内一点，下列说法正确的有A.若为的外心,且,则B.若为的内心，，则C.若为的重心，，则角.D.若为的外心,且到三边距离分别为,则:例32（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理:已知是内一点,的面积分别为,且.设是锐角内的一点,分别是的三个内角,以下命题正确的有（）A.若,则B.若,则C.若为的内心，，则D.若为的垂心，，则题型2向量四心的轨迹问题例33若是平面上的定点，是平面上不共线的三点，且满足R）,则点的轨迹一定过的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心例34是平面上不共线的三个点,动点满足,则点的轨迹一定经过的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心例35设为所在平面上一点,动点满足,其中为的三个内角,则点的轨迹一定通过的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心例36（多选）下列说法正确的是（）.A.向量能作为平面内所有向量的一组基底B.已知中,点为边的中点,则必有C.若,则是的垂心D.若是的重心,则点满足条件例37（多选）在所在的平面上存在一点,则下列说法错误的是（）A.若,则点的轨迹不可能经过的外心B.若,则点的轨迹不可能经过的垂心C.若，则点的轨迹可能经过的重心D.若，则点的轨迹可能经过的内心拓展思维拓展1向量与圆知识点1定值圆记为定点,若出现,或这种形式,均可得出隐圆.例1（2025北京卷）已知平面直角坐标系中,,设,则的取值范围是（）A.B.C.D.例2平面向量,有,且,则的最大值为_____.例3已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是_____.A. B.C. D.知识点2直径圆圆的直径所对的圆周角为直角,因此,当两个向量相互垂直时,可以选择一个共同的起点,则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上.例4已知,向量满足:,那么的最大值是（）A.B.C.4D.8例5已知向量.满足:，若对每一个确定的，的最大值为,最小值为,对任意的的值（）A.随增大而增大B.随增大而减小 C.2D.1知识点3外接圆均为定值时.可构造圆例6已知向量满足，且，若向量与的夹角为，则的最大值是例7已知向量满足:，向量与向量夹角为，求的取值范围.知识点4四点共圆例8设向量满足,则的最大值等于_____.知识点5比例圆（阿氏圆）在平面上给定两点,设点满足,则当且时,点轨迹是一个圆,这个圆称为“阿波罗尼斯圆”，在向量中，若，即两个向量的模长呈现一定的比例时，可以构建阿氏圆.例9在中,若,则的取值范围是（）A. B.C. D.例10已知共面向量满足,且.若对每一个确定的向量,记的最小值为,则当变化时,的最大值为（）A.B.2C.4D.6知识点6向量圆（极化恒等式）极化恒等式向量乘积型:平面内,若为定点,且,则的轨迹是以中点为圆心,为半径的圆.证明:由,根据极化恒等式可知,,所以的轨迹是以为圆心、为半径的圆.例11在平面内,设为两个不同的定点,动点满足:（为实常数）,则动点的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.不确定例12（2017·江苏）在平面直角坐标系中,,点在圆上,若,则的横坐标范围是_____.知识点7参数圆利用（参数圆）,构造函数求最值.例13为单位向量，则最大值是_____.知识点8其他的隐圆1.极化恒等式和型:轨迹为以中点为圆心,为半径的圆.证:所以2.定幂方和型:若为定点,则