高考数学一轮复习 新思路 5.2 解三角形二级结论

5.2解三角形二级结论考向1三角恒等式1知识点1射影定理射影定理:在中,求证:.证明:在中,由,得.所以.设的外接圆半径为,由正弦定理得,,即.同理可证:.例在中，内角的对边分别是，若，且,则（）A.B.C.D.题型1射影定理的应用例1（2025全国I卷T11多选）已知的面积为，若，,则（）A. B.C. D.例2（2026·多选·江苏一模）记的内角的对边分别为,若,的面积为,则（）A. B.C. D.例3（2026·多选·重庆联考）在中,角所对边分别为的中点为,,且,延长到点,使点为线段的中点,下列说法正确的是A.B.的面积的最大值为C.若为锐角三角形,的取值范围为D.的最小值为知识点2正余弦平方和，平方差与倍角三角形1.正弦平方和:证明:注意:2.余弦平方和:.证明:.3.正余弦平方差公式:证明:4.倍角三角形 ,这样的三角形称为“倍角三角形”.（必要性）解法一:余弦定理,已知,证①,②得得,所以.解法二:当时,由正弦定理得,由正弦平方差公式得:由得,所以,又,所以或（舍去）,故.（充分性）:因为,所以,根据正弦定理可得:,利用余弦定理:,即,所以,即.5.倍角三角形几何背景与推论构造相似三角形（必要性）,已知,证,如图所示:延长至,使得.由得,因为所以,所以,又,得（充分性）过作交延长线于点,则,易知,所以,由于,故.推论1:证明:由于,根据正弦定理:可得:,即,同时乘以得:,推论2:证明:根据推论一,可知,也可以根据倍角定理来直接证明,如下: 几何背景①关于如图，我们构造，则，故，所以；关于,即证,我们参考下一模型;②关于如图,我们构造,则,故,所以,③关于如图,我们构造,则,故,所以,,作于,所以;例设三个内角的对边分别为,若,，则角_____.题型2正余弦平方和，平方差与倍角三角形的应用例4（2026届湖南九校联盟一模多选T11）在中，，是的中点，则下列结论正确的是（）A.可以是钝角三角形 B.C.若，则D.例5在中,角的对边分别为.则的面积为_____.例6（多选）已知的内角所对的边分别为边上的高为,若,,则（）A.B.C.D.知识点3角平分线与中线1.张角定理如图，在中，为边上的一点，连接，设，，，则一定有证明:因为,所以,同除以得:.2.角平分线张角定理根据张角定理:①当时，（角平分线张角定理）②（角平分线面积问题）证明:①根据张角定理可得:,所以,所以②,所以,当仅当时等号成立.3.中线定理如图，在中，为边上的中点，连接，则有:.证明:在中,根据余弦定理可得①；在中,根据余弦定理可得②;又因为,所以①+②，得，.4.角平分线斯库顿定理如图,是的角平分线,则.就其位置关系而言,可记忆:中方上积一下积.已知:在中,是的平分线,求证:证明:作的外接圆,延长交圆于,连,如图,因为即,所以,所以由相交弦定理得:，所以例已知中,为边的中线,且,则边的长为4A.3B.C.D.4题型3角平分线与中线例7（2013.福建）如图,在中,已知点在边上,，则的长为_____.例8（2026届广东九月联考T14）在中，记内角所对的边分别为，已知为边上的一点,且是的平分线,则_____，的最小值为_____.例9（多选）在中,已知是的平分线,则的长度可能为（）A.1B.2C.3D.4例10在中，内角所对的边分别为为边上一点，若.（1）证明:（1）平分；（ii）；（2）若（1+sin），求的最大值.知识点4万能公式,正切恒等式与其推论1.万能公式令:,万能公式:2.三角形正切恒等式在任意斜中,恒有:结论证明:在斜中,由正切诱导公式知进而有,移项后结论即可得证.3.广义三角正切恒等式当且时,有4.半正切恒等式在中,恒有或结论证明:由两角和正切公式知,从而有,题型变形后上述结论即可得证.5.三角形特殊正切型面积公式斜三角形的面积可表示为推论证明:因为,从而有证毕.事实上关于此推论我们也可用纯几何的视角来直观理解它,如下图所示,过作于,则有例（2016・江苏卷）在锐角三角形中,若,则的最小值是_____.题型4正切恒等式例11（2026河南开学考T14）在锐角中,内角所对的边分别为,已知，则取得最大值时，_____.例12求值:_____.例13（多选）在中,已知,则有A. B.C.的面积为 D.的周长为知识点5外森比克不等式一、标准形式的外森比克不等式,当且仅当时取等号;证法1:基本不等式+海伦公式,当且仅当时取等号;证法2:余弦定理,当且仅当,时取等号（也即时取等号）二、加权形式的外森比克不等式设为三角形三边,为此三角形的面积,,则,当且仅当取等号,证:基本不等式+柯西不等式题型5外森比克不等式的应用例14若的三边、、满足，则的面积的最大值为_____.例15（2026・长沙模拟14）在中，角所对的边分别为，且外接圆半径为5，则的最大值为_____.例16已知三棱锥的体积为74,底面中,内角所对的边分别为,当时，到平面的距离为_____；当时，到平面距离的最小值为_____.考向2解三角形面积综合知识点面积公式1.基础公式（1），即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.证明:在中,边上的高分别记为,则.①因为,将①式代入上式，即可得.（2），其中分别为的内切圆的半径及的周长.（3）.证明:因为,所以,同理可证其他两个等式.（4）.证明:将代入可得，将代人可得.2.秦九韶公式在任意中,角的对边分别为,其面积公式为结论证明:如上图所示,显然有 3.中线面积定理任意一个三角形的面积皆为其三边中线长构成的新的三角形面积的倍.定理证明:如下图所示,是的三边中点、是重心,过作、过作,直线与交于点,显然四边形是平行四边形,易说明是的中点,故而有,同理可得.另一方面,易说明且,故而四边形亦是平行四边形,因而可得且.至此可说明与的三条中线即通过平移之后所形成的三角形一定相似,且相似比为.于是有4.海伦面积公式在中,角的对边分别为,记其半周长,则三角形的面积为:.结论证明:由秦九韶面积公式知而,令,结论即可得证.5.向量坐标面积公式在中,角的对边分别为,若,则三角形的面积可表示为:结论证明:当时,必有,另一方面:若,则必有综上,所有结论得证.6.四边形向量面积公式记任意平面四边形的两对角线向量分别为,则有7.灵动面积公式（1）余弦定理完全平方推导式:，[把（）当做一个整体][把当做一个整体]（2）余弦定理面积公式:.证明:因为,所以（3）灵动椭圆焦点三角形面积公式:.证明:因为,所以,所以,又因为;故（4）灵动双曲线焦点三角形面积公式:.证明:因为,所以,所以,又因为,故.（5）已知一边和其对角的周长面积最值:已知与,则（1）（当且仅当时取等）;（2）（当且仅当时取等）证明:（1）由于,故,所以,所以,当且仅当时取等;（2），当且仅当时取等；8.拉格朗日恒等式若,则有其等价于即任意两向量模的平方积等于它俩点乘（内积）的平方与叉乘（外积）的平方和.题型6三角形面积问题例17已知的内角的对边分别为，面积为，则（）A.B.5C.8D.例18在中,内角所对的边分别是.若,则的面积是（）A.3B.C. D.例19已知中,,则面积的最大值为A.6B.10C.12D.20例20（2015・上海文22）已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点，和,记的面积为.（1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明;（2）设，，，求的值；（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论和如何变动，面积保持不变.拓展思维拓展托勒密定理圆内接四边形之托勒密定理托勒密定理:在圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.如图上,设四边形内接于圆,则有,【证明】不妨在上取一点,使,由,得,所以,即①又由,,所以,即②两式相加得.广义托勒密定理:在四边形中,有,当且仅当四边形四点共圆时,等号成立.【证明】在四边形内取一点使，，则所以，又因为，且，所以，所以;由①+②得，所以，,等号当且仅当点在上,即四点共圆时成立.例1克罗狄斯・托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当凸四边形的对角互补时取等号,后人称之为托勒密定理的推论.