高考数学一轮复习 新思路 7.2 立体几何中的点线面的位置关系

7.2立体几何中的点线面的位置关系考向1点线面位置关系知识点1平面1.平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸,几何中的平面是向四周无限延展的.2.平面的画法我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面,它的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的倍,如图①.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来,如图②.知识点2位置关系及基本性质一、点、线、面之间的位置关系1.直线在平面内的概念如果直线上的所有点都在平面内,就说直线在平面内,或者说平面经过直线.2.一些文字语言与符号语言的对应关系文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二、平面的基本性质及作用基本事实内容图形符号作用基本事实1过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面三点不共线存在唯一的平面使,一是确定平面;二是证明点、线共面问题;三是判断两个平面重合的依据基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内且Ca既可判定直线和点是否在平面内,又能说明平面是无限延展的基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线且,且①判定两平面相交的依据②判定点在直线上利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论:推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.三、空间两直线的位置关系1.异面直线（1）定义:不同在任何一个平面内的两条直线.（2）异面直线的画法（衬托平面法）如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.（3）判断两直线为异面直线的方法①定义法;②两直线既不平行也不相交.2.空间两条直线的三种位置关系 四、直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示图形表示五、平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）符号表示图形表示题型1点线面位置关系的判断例1（2025·天津）若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若,则D.若,则例2（2024·甲卷）已知、是两个平面，、是两条直线，.下列四个命题:①若，则或；②若，则，；③若，且，则；④若与和所成的角相等,则,其中,所有真命题的编号是（）A.①③B.②③C.①②③D.①③④例3（2025·多选·新高考I）在正三棱柱中，为中点，则（）A.B.平面C.D.平面例4（2026·南关区校级模拟）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点,则下列结论错误的是（）A.三点共线B.四点异面C.四点共面D.四点共面例5（2026春·沙坪坝区校级月考）正四面体棱长为2,点为其外接球球心,点满足,且点在平面上,则三棱锥体积最小值为（）A.B.C.D.考向2平行知识点1平行的判定定理与性质定理1.直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.2.平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行 题型2平行的证明例6（2025．上海）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且.（1）若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；（2）已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，.设点在线段上，证明:直线平面.例7（2025·新高考II）如图,四边形中,为中点，点在上，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为.（1）证明:平面;例8（2025·北京）四棱锥中，与为等腰直角三角形，，，为的中点.（1）为的中点，为的中点，证明:平面；例9（2024·北京）如图,在四棱锥,点在上,且.（1）若为线段的中点,求证:平面.例10（2026·河北模拟）如图，该几何体是由半圆锥和三棱锥组合而成的，为半圆弧的中点，，，，四点共面，是边长为10的正三角形，，，在半圆弧上取一点,使得,连接分别为线段的中点.（1）证明:平面平面.考向3垂直知识点1垂直的判定定理与性质定理1.直线和平面垂直的定义直线与平面内的任意一条直线都垂直,就说直线与平面互相垂直2.性质定理与判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 3.平面与平面垂直文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面知识点2三垂线定理1.三垂线定理:在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直.已知是平面的垂线,垂足为是平面的斜线,斜足为,直线.求证:（1）若,则;（2）若，则.证明：（1）平面,又平面,故;（2）平面,又平面,故.例（2021·浙江）如图，已知正方体分别是的中点,则（）A.直线与直线垂直,直线平面B.直线与直线平行,直线平面C.直线与直线相交,直线平面D.直线与直线异面，直线平面知识点3鳖臑法则定理:若一条直线垂直于一个平面,如果在被垂直的平面内找到相互垂直的两条线与相交）,则与异面的直线垂直于和构成的平面.鳖臑是最典型的例子.当出现重垂线时,就需要在水平面内找到两条垂直相交的直线,由于与重垂线相交,故能得到面,同理,作为被垂直的平面,在平面内找到与相交,故可以得到面作为被垂直的平面,需要在这个面内找到垂直的两条直线,当时（或），能得到面.具体书写步骤:题型3垂直的证明例11（2024・上海）如图,为圆锥三条母线,.（1）证明:；例12（2023·新高考II）如图，三棱锥中，，，，为中点.（1）证明；例13（2026・武汉四调）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面.（1）证明:平面；例14（2026·南开区模拟）已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置,使得直线与直线垂直B.存在某个位置,使得直线与直线垂直C.存在某个位置,使得直线与直线垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直题型4三垂线定理的应用例15如图,在正四棱柱分别是的中点,则下面结论一定成立的是A.与平行B.与所成角大小为C.与垂直D.与垂直题型5垂直证明中的鳖臑法则例16（2026·辽宁月考·）四棱锥中，底面为矩形，平面平面，.（1）若为线段上一动点（不含端点），且平面交棱于点，证明:；（2）记为中点，证明:平面.例17（2025·成都模拟）如图,在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点,作交于点.（1）求证:平面；（2）求证:平面；（3）求平面与平面的夹角的大小.考向4夹角问题知识点垂直的判定定理与性质定理1.线与线的夹角（1）位置关系的分类:类面直线:肝、石直线于阳一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角①定义:设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）.②范围:③求法:平移法:将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形.2.线与面的夹角①定义:平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.②范围:③求法:常规法:过平面外一点做上平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角.接下来在中解三角形.即（其中即点到面的距离,可以采用等体积法求,斜线长即为线段的长度）;3.二面角（1）二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角或者是二面角）（2）二面角的平面角的概念:平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角;范围.（3）二面角的求法解法一:定义法在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角,如图在二面角的棱上任取一点,以为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线和,则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同,那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）.解法二:三垂线法在面或面内找一合适的点,作于,过作于,则为斜线在面内的射影,为二面角的平面角.如图1,具体步骤:①找点做面的垂线；即过点，作于；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；③计算:为二面角的平面角，在中解三角形.解法三:射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式,如图2）求出二面角的大小;解法四:补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线（称为补棱）,然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时,也可直接用法三的摄影面积法解题.解法五:垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角.例如:过二面角内一点作于,作于,面交棱于点,则就是二面角的平面角.题型6异面直线夹角例18（2026・皇姑区二模）在空间四边形中,分别是上的点，且,则与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.例19（2026·雅安模拟）在工业级打印与航天精密构件设计中,圆锥结构常作为支撑部件.现有一个高为3的圆锥,其顶点为,底面圆的圆心为,半径为2,若两点在底面圆周上,，为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A.B.C.D.题型7线面角例题20（2024·新高考Ⅱ）已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（）A.B.1C.2D.3例21（2023·乙卷）已知为等腰直角三角形,为斜边,为等边三角形,若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（）A.B.C.D.例题22（2026·莆田模拟）如图,五面体中,,（1）证明:；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，当该五面体的体积取到最大值时，求的值.题型8二面角例23（2023·上海）已知直四棱柱，（1）证明:直线平面；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小.例24如图,在三棱锥中,顶点在底面的射影为的垂心,且的中点为,过作平行于的截面.记与底面所成的锐二面角为,当取到最大时,.例25（湖北荆州市2025—2026学年高三下学期3月阶段检测T18）“细长三角板”指的是有一个内角为的直角三角板.现有两个细长三角板,其较短的直角边长均为,先按左图所示的方式放置,其中以表示两个细长三角板,,直角顶点重合于点,两条斜边在一条直线上.保持直角顶点重合,将两条斜边平行展开,得到如图所示的四棱锥.（1）设，求证:平面；（2）是否存在四棱锥，使得底面为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由;（3）求四棱锥体积的最大值，并求此时平面与平面所成二面角的大小.例26在正方体中,在内部（不包含边界）存在点,满足点到平面的距离等于点到棱的距离,分别记二面角为为为,则下列说法正确的是（）A.B. C.D.以上说法均不对考向5空间向量知识点1共线向量与共面向量1.空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量的充要条件是存在实数,使.2.共面向量如图,如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合,那么称向量平行于直线.如果直线平行于平面或在平面内,那么称向量平行于平面.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.3.向量共面的充要条件如果两个向量不共线,那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.向量共线的判定及应用（1）判断或证明两向量共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.（2）判断或证明空间中的三点（如）共线的方法:是否存在实数，使；解决向量共面的策略（1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.题型9共线共面问题例27已知三点不共线,平面外一点满足.（1）判断三个向量是否共面；（2）判断是否在平面内.例28（2025润州区期末）为空间任意一点,若,若四点共面,则（）A.1 B.C.D.知识点2空间直角坐标系1.空间直角坐标系及相关概念（1）空间直角坐标系:在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以，的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.（2）相关概念:叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分.2.空间一点的坐标在空间直角坐标系中,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.3.空间向量的坐标在空间直角坐标系中,给定向量,作.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作.4.空间向量的坐标运算设,有向量运算向量表示坐标表示加法减法数乘数量积5.空间向量的平行、垂直及模、夹角设,则有当时,（1）利用向量证明线线平行的思路:证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.（2）证明面面平行问题的方法:①利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.②将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.（3）证明两直线垂直的基本步骤:建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.（4）向量在向量上的投影向量是6.空间两点间的距离公式设是空间中任意两点,则.7.平面的法向量如图,若直线,取直线的方向向量,我们称为平面的法向量;过点且以为法向量的平面完全确定,可以表示为集合.求平面法向量的方法与步骤（1）求平面的法向量时,要选取平面内两不共线向量，如，；（2）设平面的法向量为；（3）联立方程组并求解；（4）所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数（常数不能为0）便可得到平面的一个法向量.8.点到直线的距离已知直线的单位方向向量为是直线上的定点，是直线外一点，设向量在直线上的投影向量为,则点到直线的距离为（如图）.用向量法求点到直线的距离的一般步骤（1）求直线的方向向量.（2）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.（3）利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.9.点到平面的距离设平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离为（如图）.用向量法求点面距的步骤（1）建系:建立恰当的空间直角坐标系.（2）求点坐标:写出（求出）相关点的坐标.（3）求向量:求出相关向量的坐标内两不共线向量，平面的法向量.（4）求距离.10.点到平面的距离设平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离为（如图）.用向量法求点面距的步骤（1）建系:建立恰当的空间直角坐标系.（2）求点坐标:写出（求出）相关点的坐标.（3）求向量:求出相关向量的坐标内两不共线向量，平面的法向量.（4）求距离.题型10空间向量的距离问题例29（2026春·金坛区校级期中）在空间直角坐标系中,已知,且平面的法向量为,则到平面的距离等于（）A.B.4C.D.例30（2026·朝阳区校级模拟）如图直四棱柱的各棱长均为2,且.动点在侧面内（不含边界）,满足与平面所成角为,当点在面对角线上时,记作,则到直线的距离为（）A.B.C.D.知识点3用空间向量研究夹角问题1.两个平面的夹角平面与平面的夹角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.2.空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线所成的角为,其方向向量分别为,,则 直线与平面所成的角设直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则 两个平面的夹角设平面与平面的夹角为,平面的法向量分别为,,则 3.求异面直线夹角的方法（1）传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解.（2）对角线向量法定理:（3）向量法:在两异面直线与上分别取点和，则与可分别为的方向向量，则.题型11空间向量的角度问题例31（2024・上海）已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_____.例32（2025·新高考I）如图所示的四棱锥中，平面.（1）证明:平面平面；（2）若在同一个球面上，设该球面的球心为.（i）证明：在平面上；（ii）求直线与直线所成角的余弦值．例33北京）四棱锥中，与为等腰直角三角形，，,为的中点.（1）为的中点，为的中点，证明:平面；（2）若平面，求与平面所成角的正弦值.例34（2024・上海）如图为正四棱锥，为底面的中心.（1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小.例35（2025·新高考II）如图，四边形中，，，为中点，在上，，，.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EF，使得面与面所成的二面角为.（1）证明:平面;（2）求面与面所成二面角的正弦值.例36（2024·新高考I）如图，四棱锥中，底面，.（1）若，证明:平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求.例37（2025·天津卷）正方体的棱长为4，、分别为中点,.（1）求证:平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求三棱锥的体积.例38（2026·茂名二模）如图，在矩形中，为的中点，把沿翻折至为线段上的动点.（1）当为的中点时,证明:平面；（2）在翻折过程中，若在平面内的投影落在边上，且三棱锥的各个顶点均在球的球面上.（i）求球的半径；（ii）求平面与平面的夹角的最小值.题型拓展思维拓展1对角线向量定理对角线向量定理:如左图所示,在中,由余弦定理的向量式有;在中,同理有.所以在四边形中,,即,这就是对角线向量定理.推论:例1（2018新课标II）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.例2（2025秋·南通月考）已知三棱柱的所有棱长均为2，，则异面直线间的距离的最大值为（）A.1B.C.D.2例3（2024・涉县月考）如图,在棱长为1的正方体中,1）,,若平面,则线段的长度的最小值为（）A.B.C. D.拓展2三射线定理【三射线定理】如图,以点为顶点的三条射线分别是,其中的夹角是的夹角是的夹角是,则二面角的大小满足证明:在和中分别用余弦定理得所以则注:当二面角的大小时,三射线定理退化为三余弦定理,即例4（2024·新高考I）如图，四棱锥中，底面，.（1）若，证明:平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求.例5（2022·新高考I）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为2√2.（1）求A到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.例6（2026・南京二模・多选）类比二维平面内的