微专题　椭圆、双曲线中的常见结论

1/1微专题椭圆、双曲线中的常见结论椭圆、双曲线的焦半径（1）如图，F1，F2为椭圆x24＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是（－32，32解析：设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由角平分线性质知，｜PF1｜｜PF2｜＝｜F1M｜｜MF2｜，于是得a＋ex0a－ex0＝m＋cc－（2）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－7，0），F2（7，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若AF2＝2F2B，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为x23解析：如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又1｜AF2｜＋1｜BF2｜＝2ab2，∴12t＋1t＝2ab2，即32t＝2ab2，又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴32a＝2ab2，即3b2＝4a2，又c＝71.若点P（x0，y0）在椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a2.若点P（x0，y0）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）右支上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex03.焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两点，则1｜AF｜＋1椭圆、双曲线的焦点弦（1）已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3，则C的方程为（C）A.x22＋y2＝1B.x23C.x24＋y23＝1 D.x解析：由题意知，｜AB｜＝3＝2b2a，又c＝1，解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为x24（2）过双曲线C：x24－y22＝1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若｜AB｜＝8，则直线l的方程为y＝±55（x－6）或y＝±（x解析：由题意，a＝2，b＝2，c＝6，F（6，0），设直线l的倾斜角为α，则由焦点弦公式，｜AB｜＝2ab2｜a2－c2cos2α｜＝4｜2－3cos2α｜＝8，解得cos2α＝56或12，若cos2α＝56，则sin2α＝16，所以tan2α＝15，从而直线l的斜率k＝tanα＝±55，故直线l的方程为y＝±55（x－6）；若cos2α＝12，则sin2α＝12，所以tan2α＝1，从而直线l的斜率k＝tanα1.在椭圆中，焦点弦长为2b2a｜1－e2cos2θ｜2.在双曲线中，焦点弦长为2b2a｜1－e2cos2θ｜，圆锥曲线的第二定义（1）双曲线x2－y23＝1的右支上一点P到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2∶1，则点P的坐标为（32，±152解析：（1）设点P（x0，y0）（x0＞0），双曲线的左准线为l1：x＝－12，右准线为l2：x＝12，则点P到l1，l2的距离分别为d1＝x0＋12，d2＝x0－12.所以｜PF1｜｜PF2｜＝d1d2＝x0＋12x0－12＝21（2）已知点A（－2，3），设点F为椭圆x216＋y212＝1的右焦点，点M为椭圆上一动点，则｜MA｜＋2｜MF｜的最小值为解析：（2）如图，过点A作右准线l：x＝a2c＝8的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率e＝12，∴由第二定义得2｜MF｜＝｜MN｜，∴｜AM｜＋2｜MF｜＝｜AM｜＋｜MN｜≥｜AN｜，而｜AN｜＝2＋8＝10，∴｜AM｜＋2｜MF｜圆锥曲线的第二定义是到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0＜e＜1时为椭圆；当e＝1时为抛物线；当e＞1时为双曲线.其中定点为圆锥曲线的焦点，定直线为圆锥曲线的准线，焦点在x轴上的圆锥曲线的准线方程为x＝±a2c；焦点在y轴上的圆锥曲线的准线方程为y＝±圆锥曲线的第三定义已知椭圆C：x22＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（A.－116 B.－C.164 D.解析：B如图所示，由椭圆的性质可得kAP1·kBP1＝kAP2·kBP2＝－b2a2＝－12.由椭圆的对称性可得kBP1＝kAP10，kBP10＝kAP1，所以kAP1·kAP10＝－12.同理可得kAP2·kAP已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－b2a2，双曲线中kPA·kPB1.（2026·重庆模拟）如图，A，B分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，A.33 B.C.32 D.解析：C根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，又kAQ·kBP＝－1，4kBQ＝kBP，所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝42.已知椭圆C：x24＋y2b2＝1（0＜b＜2）的右焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于A，B两点，若｜AB｜＝167，A.32 B.2C.12 D.解析：B由焦点弦公式，｜AB｜＝2ab2a2－c2cos2α＝2×2×b24－3.（2025·重庆一模）已知P为双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）右支上一点，A为其左顶点，F（43，0）为其右焦点，满足｜AF｜＝｜PF｜，∠PFA＝60°，则点FA.532 B.C.732 D解析：D由题意，知A（－a，0），右准线方程为x＝a2c，由｜AF｜＝｜PF｜，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，所以P（c－a2，32（a＋c）），由双曲线的第二定义可得a＋cc－a2－a2c＝ca，化为c2－3ac－4a2＝0，可得c＝4a，由c＝43，可得a＝3，则点F到PA4.〔多选〕（2026·四川泸州阶段练习）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，BA.弦AB的最小值为2B.若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4aC.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝bD.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞）解析：ABC弦AB的最小值为通径2b2a，故A正确；由双曲线的定义得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a，｜BF1｜＝｜BF2｜＋2a，｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜AF2｜＋2a＋｜BF2｜＋2a＝｜AB｜＋4a，则△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝2｜AB｜＋4a＝2m＋4a，故B正确；根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM＝b2a2，故C正确；若直线AB的斜率为3，所以ba＜3，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以e＝ca∈（1，2），故D错误5.（2026·陕西西安质检）已知椭圆C：x216＋y24＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且｜AF2｜＝2，则｜AB｜＝83，若F1为其左焦点，则cos∠F1AB＝解析：∵a＝4，b＝2，由1｜AF2｜＋1｜BF2｜＝2ab2，∴12＋1｜BF2｜＝2×44，∴｜BF2｜＝23，∴｜AB｜＝86.如图，椭圆C：x2a2＋y24＝1（a＞2），圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若｜PF1｜｜PF2｜＝8，则｜PM｜｜PN解析：设P（x0，y0），因为