微专题　指、对、幂的大小比较

1/1微专题指、对、幂的大小比较指数、对数及幂的大小比较是高考的热点题型，主要考查指数、对数的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.比较大小时，既有常规方法，也有一些灵活巧妙的方法，一般以选择题或填空题的形式出现.特殊值法比较大小已知a＞b＞1，0＜c＜12，则下列结论正确的是（）A.ac＜bc B.abc＜bacC.alogbc＜blogac D.logac＜logbc解析：C取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝14，则ac＝414＝212，bc＝214，∴ac＞bc，故A错误；abc＝4×214＝294，bac＝2×414＝232，∴abc＞bac，故B错误；logac＝log414＝－1，logbc＝log214＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc＜bloga特殊值法是“小题小做”的重要策略，这种方法既能提高做题速度和效率，又能提高准确性.中间值法比较大小（1）若a＝（57）－57，b＝（75）35，c＝log3145，则a，A.b＜a＜c B.c＜a＜bC.b＜c＜a D.c＜b＜a解析：（1）a＝（57）－57＝（75）57＞b＝（75）35＞1＝log3155＞c＝（2）（2025·广西高三开学考试）已知a＝sinπ6，b＝20.1，c＝log23，则（AA.b＞c＞a B.b＞a＞cC.a＞c＞b D.a＞b＞c解析：（2）a＝sinπ6＝12，因为20＜20.1＜21，所以1＜b＜2，因为log22＜log23＜log22，所以12＜c＜1，所以b＞c＞a，在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计单调性法比较大小（1）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则a，b，c的大小关系为（A）A.a＜b＜c B.c＜a＜bC.b＜c＜a D.c＜b＜a解析：根据函数y＝0.3x在R上单调递减可知a＝0.30.6＜b＝0.30.5，根据函数y＝x0.5在[0，＋∞）上单调递增可知b＝0.30.5＜c＝0.40.5，故a＜b＜c，故选A.（2）设a＝log0.42，b＝log0.32，c＝0.30.4，则（D）A.a＜c＜b B.b＜a＜cC.c＜b＜a D.a＜b＜c解析：a＝log0.42＝1log20.4，b＝log0.32＝1log20.3，由y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，得log20.3＜log20.4＜0，所以1log20.4＜1log20.3＜0，所以a单调性法比较大小的应用技巧（1）底数相同，指数不同，如ax1和ax2，利用指数函数y＝（2）指数相同，底数不同，如x1a和x2a，利用幂函数y＝（3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小.构造函数法比较大小〔多选〕若4m－4n＜5－m－5－n，则下列关系正确的是（）A.m＜n B.n－3＞m－3C.3m＜3n D.3－n＜3解析：ACD由4m－4n＜5－m－5－n得4m－5－m＜4n－5－n，令f（x）＝4x－5－x，则f（m）＜f（n）.因为函数y＝4x，y＝－5－x在R上都是增函数，所以f（x）在R上是增函数，所以m＜n，故A正确.当m＝1，n＝2时，18＝n－3＜m－3＝1，故B错误.因为函数y＝x13在R上单调递增，所以由m＜n得3m＜3n，故C正确.因为函数y＝3－x在R上单调递减，所以由m＜n得3－n＜3－m，故D正确.故选A构造函数法比较大小的常见构造方法（1）同形构造：根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较大小；（2）不同形构造：可以两两做差构造新函数，再通过导数判断单调性，根据单调性来比较大小.放缩法比较大小若a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则（）A.a＜b＜c B.b＜c＜aC.c＜b＜a D.a＜c＜b解析：B由题意知0＜b＜1，0＜c＜1，由bc＝log53log85＝ln3×ln8（ln5）2＜（ln3+ln8）24（ln5）2＝（ln24）2（ln5）2放缩法比较大小常见的放缩技巧（1）利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩；（2）利用基本不等式进行放缩.图象法比较大小〔多选〕〔人A必修一P118练习2（1）改编〕若M＝2t，N＝3t，则M，N的大小关系可能为（）A.M＝N B.M＜NC.M＞N D.无法确定解析：ABC在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t的大致图象如图所示，由图象可知，当t＝0时，M＝N＝1，当t＜0时函数y＝2t的图象在y＝3t图象的上方，故M＞N，同理易得当t＞0时，M＜N.故选A、B、C.变式1〔苏教必修一P145例3改编〕若M＝2t，N＝3t－1，当N＞M时t的取值范围为（ln3ln3－ln2，＋∞解析：函数y＝3t的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝3t－1的图象，在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t－1的大致图象，显然两函数图象的交点与例6相比同样向右平移，由N＞M，得t的取值在交点右侧.令2t＝3t－1，得tln2＝（t－1）ln3，得t＝ln3ln3－ln2.即t的取值范围为（ln3变式2〔多选〕若M＝2t，N＝3t－3，P＝5t－5，则M，N，P的大小关系可能为（）A.M＞N＞P B.M＞P＞NC.N＞M＞P D.N＞P＞M解析：ACD在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t－3，y＝5t－5的大致图象如图所示，由图易知M，N，P的关系不可能为M＞P＞N.故选A、C、D.变式3〔链接高考〕〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷8题）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为（）A.x＞y＞z B.x＞z＞yC.y＞x＞z D.y＞z＞x解析：B法一令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝14，y＝127，z＝155，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x法二设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t－3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f（t），g（t），h（t）的大致图象，由图可知x，y，z的关系不可能为x＞z＞y，故选B.1.已知a＝2x，b＝lnx，c＝x3，若x∈（0，1），则a，b，c的大小关系是（）A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.c＞b＞a D.c＞a＞b解析：B取x＝12，则a＝212＞1，b＝ln12＜0，0＜c＝（12）3＜1，所以a＞c＞2.记a＝30.2，b＝0.3－0.2，c＝log0.20.3，则（）A.a＞b＞c B.b＞c＞aC.c＞b＞a D.b＞a＞c解析：D因为b＝0.3－0.2＝（103）0.2，幂函数y＝x0.2在（0，＋∞）上单调递增，又103＞3，所以（103）0.2＞30.2＞30＝1，所以b＞a＞1，又对数函数y＝log0.2x在（0，＋∞）上单调递减，所以c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，故b＞a＞1＞c.3.〔一题多解〕已知a＝3log83，b＝－12log1316，c＝log45，则a，b，c的大小关系为A.a＞b＞c B.c＞a＞bC.a＞c＞b D.c＞b＞a解析：Aa＝3log83＝log827＝log2333＝log23，b＝－12log1316＝12log3法一（比差法）log23－log34＝（ln3）2－ln2ln4ln2ln3，∵ln2ln4＜（ln2+ln4）24＝（ln8）2＜（ln3）2，∴log23－log34＞0.log34－log45＝（ln4）2－ln3ln5ln3ln4，∵ln3ln5＜（ln3+ln5）24＝（ln15）2＜（ln4）2，∴log34－log45＞0.综上有法二（比商法）log23log34＝lg3·lg3lg2·lg4＝6lg3·lg36lg2·lg4＝lg9·lg27lg8·lg16＞1，log34log45＝4.已知a，b，c均为正实数，满足a＋5a＝5，b＋log2b＝5，c＋c3＝5，则（）A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.b＞a＞c D.b＞c＞a解析：D函数f（x）＝x＋5x在（0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝1，f（1）＝6，可得0＜a＜1；函数g（x）＝x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增，且g（3）＝3＋log23＜5，g（4）＝4＋log24＝6，可得3＜b＜4；函数h（x）＝x＋x3在（0，＋∞）上单调递增，且h（1）＝2，h（2）＝2＋23＝10，可得1＜c＜2，所以b＞c＞a.5.若a＝log43，b＝log54，c＝2－0.03，则a，b，c的大小关系为（）A.c＜b＜a B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.a＜b＜c解析：D∵ab＝log43log54＝log43×log45＜（log43+log452）2＝（log4152）2＜1，a＝log43＞0，b＝log54＞0，∴a＜b，∵410＜59，∴4＜5910，∴b＝log54＜910＝0.9