高考数学一轮复习 新思路 9.3 圆锥曲线大题篇

9.3圆锥曲线大题篇考向1方程与曲线令求曲线轨迹方程主要有定义法,直接法,相关点法,参数法,交轨法等,在这里主要介绍大型考试中有一定难度的几道题例1（2025新高考I）已知椭圆的离心率为，椭圆下顶点为，右顶点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动点不在轴上，点在射线上，且满足.（i）设，求点的坐标（用表示）；（ii）设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，求的最大值.例2已知椭圆的两个焦点分别为,且椭圆经过点.（1）求椭圆的离心率；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，点是线段上的点，且,求点的轨迹方程.例3（2017·新课标III）在直角坐标系中,直线的参数方程为,（为参数）,直线的参数方程为，（为参数）.设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线.写出的普通方程；考向2圆锥曲线第四定义若圆锥曲线第四定义:将一个矩形每一边分成等分（或者将一边倍长后）,按照一些方式进行连接,得到的交点是圆锥曲线,求轨迹一般采用交轨法例4在矩形中，，，于是对于处于圆的对角正的延长线上，以的分之一为单位长度连续取点.过边上各分点和点作直线,过延长线上的对应分点和点作直线,这两条直线的交点为,如图建立平面直角坐标系,则点满足的方程可能是A.B.C.D.例5如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,分别将线段和十等分,分点分别记为和,连接,过作轴的垂线与,交于点.（1）求证:点都在同一条抛物线上，并求抛物线的方程.（2）过点作直线与抛物线交于不同的两点，若，求直线的方程.考向3韦达联立与弦长面积问题题型1联立之正设反设问题直线和曲线联立（1）椭圆与直线相交于两点，设，（正设）椭圆与过定点的直线相交于两点,设为,如此消去,保留,构造的方程如下:（反设）注意:①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出,满足此条件,才可以得到韦达定理的关系.②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不再赘述.（2）抛物线与直线相交于、两点，设，，联立可得时,特殊的,当直线过焦点的时候,即,因为为通径的时候也满足该式,根据此时坐标来记忆.抛物线与直线相交于两点，设，联立可得时,.例6（2025北京）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，在椭圆上，直线与和分别交于两点.设和的面积分别为和,比较与的大小.例7（2023·新高考II）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于两点，在第二象限,直线与交于,证明在定直线上.题型2韦达联立与弦长问题1.根的判别式和韦达定理与联立,两边同时乘上即可得到,为了方便叙述,将上式简记为.该式可以看成一个关于的一元二次方程,判别式为可简单记.同理和联立,为了方便叙述,将上式简记为,可简记.与相离与相切与相交.注意:（1）由韦达定理写出,注意隐含条件.（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意.（3）如果是焦点在轴上的椭圆，只需要把互换位置即可.（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在轴的双曲线，只要把换成即可;焦点在轴的双曲线,把换成即可,换成即可.2.弦长公式设根据两点距离公式.（1）若、在直线上，代入化简，得；（2）若、所在直线方程为，代入化简，得.（3）构造直角三角形求解弦长，.其中为直线斜率，为直线倾斜角.例8（2025新高考II）已知椭圆的离心率为，长轴长为4。（1）求的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点.若的面积为，求.例9（2026·浙江强基联盟）已知是双曲线上垂直于实轴的动弦,为双曲线的左、右顶点,直线与相交于点,点形成的曲线为.（1）若过双曲线的右焦点，求；（2）求曲线的方程；（3）已知动直线与曲线交于，两点，，为直线上的另两点,点的坐标为,且为坐标原点,证明:.题型3韦达联立与面积问题三角形的面积处理方法（1）·底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）（2）・水平宽・铅锤高或证明:（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为.证明:直线的方程为到它的距离为,则例10（2024·新高考I）已知和为椭圆上两点.（1）求的离心率；（2）若过的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程.例11（2026·长郡二模）已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为，.（1）求椭圆的方程.（2）已知，为椭圆上异于的两点，且直线，与轴围成一个以为顶点的等腰三角形.（i）求证:直线的斜率为定值;（ii）求面积的最大值.例12（2026·宁波1月期末）已知椭圆的离心率为，且过点，是的右焦点,为坐标原点.（1）求的方程；（2）设，过点的直线与依次交于两点（点在第二象限），直线分别与交于另一点.（1）当两点重合时,求直线的方程;（ii）当两点不重合时,直线与轴交点为,求面积的最大值.考向4巧用几何知识解决解析几何大题题型1利用等面积法算面积例13（2026·1月份九省联考）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点，（1）证明:直线过定点；（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值.题型2关于角度问题的转化例14双曲线的左顶点为,右焦点为,动点在上.当时,.（1）求的离心率；（2）若在第一象限，证明:.题型3关于阿氏圆相似三角形角平分线的综合考查例15（2026・全国模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是已知动点与两定点的距离之比是一个常数,那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆,圆心在直线上.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为,定点分别为椭圆的右焦点与右顶点,且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分.（1）求的取值范围；（ii）将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程.题型1斜率关系与齐次化例16（2022·新高考I卷）已知在双曲线上,直线交于两点,直线斜率之和为0.（1）求的斜率；例17（2020·山东）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求的方程；（2）点，在上，且，为垂足.证明:存在定点，使得为定值.例18（2026南昌二模）已知双曲线的离心率，其上顶点为过点作斜率为的直线与双曲线的两支分别相交于两点在双曲线的上支）且与轴相交于点,直线与轴相交于点.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线的斜率分别为；求证为定值；（3）是否存在直线使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由题型2隐藏斜率关系与齐次化从曾经的直接考查斜率和积为定值,到如今斜率和积为定值都作为了隐藏条件,为最后的解答指明方向,本节我们介绍一下那些隐藏的斜率和积为定值问题，新高考，在于藏，不在于难.高考中出现斜率和积问题,最早可以追溯到近二十年前,考题的日新月异决定了不会永远局限于斜率和与积的问题,所以需要通过题目给到的定点或者探索定点的过程中,找到背后的本质逻辑.2022年新课标一卷的斜率和积成为了第一问就能看出来,压轴问往往要根据已知的定点或者定值来探索斜率的关系.例19（武汉市2026届高中毕业生三月质量检测）已知椭圆的左右顶点分别为,过椭圆内点且不与轴重合的动直线交椭圆于两点,当直线与轴垂直时,（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线和直线分别交于点，若恒成立，求的值.3.中点与斜率关系转化如图,为的中线,设直线的斜率分别为,①若与轴平行,则:;②若与轴平行,则:.例20已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，,设的中点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值.例21（2026南通模拟）已知双曲线的渐近线为,左顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若,均在圆上,求的横坐标;4.高考中隐藏的斜率比值问题若为椭圆长轴顶点,直线交椭圆于两点,交长轴于点,则为定值,反之,为定值,则过长轴上定点;例题22已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限,直线与交于,证明在定直线上.例23（2026秋·保定期末）已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点,过点的两条直线与椭圆分别交于两点,与直线分别交于两点,的重心为点.（1）求椭圆的方程；（2）求弦长的最大值；（3）已知点，若，其中且，证明.当在变化时，重心在一条定直线上,并求出这条定直线方程.例24为圆上一动点,点的坐标为,线段的垂直平分线交直线于点.（1）求点的轨迹方程;（2）如图，（1）中曲线与轴的两个交点分别为和为曲线上异于的两点，直线不过坐标原点,且不与坐标轴平行.点关于原点的对称点为,若直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,证明:在曲线上存在定点,使得的面积为定值,并求该定值.考向6齐次化中的用两次例25（2022·浙江月考）已知椭圆的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点且斜率为的动直线与椭圆交于两点，且点，直线分别交于异于点的点,设直线的斜率为,求实数,使得恒成立.例26（2026广州二模）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3.（1）求的方程；（2）已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点.（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；（ii）证明:直线过定点.考向7定比点差法知识点1定比分点概念定比分点:为经过两个不同的定点的直线上的一点,且满足,则:.证明:因为,所以,整理得:,下面分三种情况讨论:①当时，为内分点；②当，且时，为外分点；③当时，点与重合.知识点2调和点列与定比点差法1.调和点列的概念如下图①,点在线段上,则满足的点是唯一存在的.但是,如果将线段改为直线,此时,满足的点有两个,如下图②,不妨记另一个点为,则,在此种情况下,我们称点为调和点列,或者称点调和分割点.特别的,当时,即点为的中点,则为无穷远点.2.调和点列的性质如下图所示:对于线段的内分点和外分点满足调和分割线段,即,设为线段的中点，则有以下结论成立:①点也调和分割，即；②（是与的调和平均数）.3.定比分点和调和分点支配下的圆锥曲线定理1:在椭圆或双曲线中,设为椭圆或双曲线上的两点.若存在两点,满足,一定有证明:若,则,则,,有①-②得:，即.定理2:在抛物线中,设为抛物线上的两点.若存在两点,满足,,一定有.证明:若,则,则,有①-②得:即,所以,故.定比点差的原理谜题解开,就是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程.利用定比分点和调和分点证明特征方程例27设抛物线的焦点为,过点的动直线与抛物线交于两点,当在上时,直线的斜率为-2.（1）求抛物线的方程；（2）在线段上取点，满足，证明:点总在定直线上.知识点3定比点差法与轴点弦的三炮齐鸣轴点弦坐标与比值转换定理:类型一:定点在轴过定点的直线与椭圆相交于两点,设,,则在直线上一定存在点满足,根据定比点差法可知.一定有证明:类型二:定点在轴过定点的直线与椭圆相交于两点,设,,则在直线上一定存在点满足,根据定比点差法可知.同理:由于在考试当中我们经常要拿出这三个等式,故我们称之为:“三炮齐鸣,天下太平”例28（2018·浙江高考）已知点，椭圆上两点、满足，则当_____时，点横坐标的绝对值最大.4.隐藏的焦弦常数焦弦常数:设点为椭圆或双曲线上任一点,过焦点分别作弦,设,,则.证明过程参考例题.推广:如果将焦点换成,则.证明:对,利用定比点差法易得:①-②得:.题型1三炮齐鸣破解中点截距定理如图所示,在椭圆中,为椭圆上的两点,设轴上一点,存在直线和轴上一点,连接并延长交直线于,则:;②直线轴;.（考题一般知二推一）例29（2026·宁德模拟）已知椭圆的离心率为，过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，定直线，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，过两点分别作于于,直线交于点,证明:点为定点,并求出点的坐标.题型2三炮齐鸣破解角平分线定理已知交椭圆长轴（短轴）于点是椭圆上关于长轴（短轴）对称的两点,直线交长轴（短轴）于,则或.（双曲线也有相同调和共轭性质）代数本质解读:如图,过定点的直线与椭圆相交于两点,作点关于轴的对称点,则直线恒过定点.例30（2024北京卷）已知椭圆方程，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点,过点和的直线与椭圆的另一个交点为.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线的斜率为0，求的值.题型3三炮齐鸣破解单轴点弦交中点的定点定值问题例31（2026广州零模T17）已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,长轴长与短轴长之和为6.（1）求椭圆的方程；（2）已知，，点为椭圆上一点，设直线与椭圆的另一个交点为点，直线与椭圆的另一个交点为点.设,求证:当点在椭圆上运动时,为定值.例32（2024·甲卷）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线与交于，证明:轴.例33（24武汉二调）已知双曲线的左右焦点为,其右准线为,点到直线的距离为,过点的动直线交双曲线于两点,当直线与轴垂直时,（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线与直线的交点为，证明:直线过定点.例34（2023新高考II）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限,直线与交于,证明在定直线上.考向8万能两点对合式순知识点1抛物线两点对合式方程过抛物线上两点的直线方程是:.证明:利用,得到,故直线方程为:,化简可得:.记忆方法:把抛物线化成标准方程,然后将最左端的二次自动降为一次,再在最左端和最右端加上“”皆可.同理,如果抛物线的形式是,直线的方程是:.关于对合,如果我们设立某种法则,我们发现中,,同时,故令,这样用表示和用表示是一样的,这就是一种对合方程,并且,其实我们在做任何联立的时候,只要两个完全能轮换对称的变量构成的方程,比如二次韦达,都是一种对合方程的形式,有句话叫做百姓日用而不知,正是我们天天在用对合方程,却对其看不见,本章不妨我们重新来了解一下对合方程.关于对合方程,只要是关于,甚至是参数,斜率这一系列关于两个变量的和积拥有同构关系的方程,都叫对合方程.一、抛物线两点联立式同构与定点定值例35（2018·北京理）已知抛物线经过点，过点,1）的直线与抛物线有两个不同的交点,且直线交轴于,直线交轴于.（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，求证:为定值.例36（广东月考）已知抛物线,焦点为,点,过点作抛物线的切线,切点为,又过作直线交抛物线于不同的两点,直线交抛物线于另一点.（1）求抛物线方程；（2）求证过定点.例37（2022・全国甲卷）已知抛物线焦点为，点过焦点做直线交抛物线于两点,当轴时,.（1）求抛物线方程（2）若直线，与抛物线的另一个交点分别为，.若直线，的倾斜角为,当最大时,求的方程二、两点对合式下的双切圆只要两点在抛物线上,就能满足两点联立式的方程,当这两点都在圆的切线上,两点形成双切圆方程,这里就会产生另一组同构方程,再根据曲线的同一法确定方程,我们可以参考例题,逐步领悟圆锥曲线的二次方程思想.例38（浙江模拟）如图,已知点是抛物线在第一象限上的点,为抛物线的焦点,且垂直于轴.过作圆的两条切线,与抛物线在第四象限分别交于两点,且直线的斜率为4.（1）求抛物线的方程及点坐标；（2）问:直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.例39（2011·浙江理）已知抛物线,圆的圆心为是上一点（异于原点）,过作圆的两条切线,交于两点,.求的方程.三、两点对合式下的彭塞列闭合以上几道例题属于半等位同构,就是由于和属于完全等位同构,因为都满足与圆相切,由于点不是抛物线任意一点（满足其它条件）,所以第三条边与圆的关系不确定,如果是抛物线上任意一点呢?那么和圆又会有什么关系呢?能否发现新的对称关系,我们来看看2021年全国甲卷的高考题.例40（2021・全国甲卷）抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴上,直线交于两点,且,已知点,且圆与相切.（1）求，圆的方程；（2）设、、是上的三个点，直线，均与圆相切，判断直线与圆的位置关系,并说明理由.知识点2反比例函数的两点对合式2024年新高考II卷19题,就是考查了神奇的反比例对合方程!如图,和分别是反比例函数（等轴双曲线）上的两点,则的两点对合式方程为:.证明:由于,故,即.和抛物线的两点对合式一样,在这个两步就能证明的式子背后,隐藏了很多我们平时没抓住的信息,比如斜率的简化,比如构造相切的点到直线距离的快速同构,由于斜率只需要两点的坐标即可表示,命题者就抓住了这个特点，进行了圆锥与数列综合的命题.一、等轴双曲线旋转为反比例函数如图,将等轴双曲线逆时针旋转,即变成了初中的反比例函数,证明:记原双曲线上任意一点满足:,作复数逆时针旋转得,则:,故,由于,故;例41（2025·上海卷第15题）已知，，在上，则的面积（）A.有最大值，但没有最小值B.没有最大值,但有最小值C.既有最大值,也有最小值D.既没有最大值,也没有最小值例42（2024·新高考II卷19题）已知双曲线，点在上，为常数，,按照如下方式依次构造点,过斜率为的直线与的左支交于点,令为关于轴的对称点,记的坐标为.（1）若，求；（2）证明:数列是公比为的等比数列；（3）设为的面积，证明:对任意的正整数.例43（山东潍坊一二模T19）双曲线的左、右顶点分别为,点到的渐近线的距离为.（1）求的方程；（2）按照如下方式依次构造点:过点作斜率为-2的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点,记点的坐标为.（i）证明:数列、是等比数列，并求数列和的通项公式；（ii）记的面积为，的面积为，求的最大值.二、非等轴双曲线的仿射换元由于,令,则,由于逆时针旋转后得到点逆时针旋转后得到点,所以变换是将原来横坐标和纵坐标缩小倍后逆时针旋转得来.综上,双曲线都可以转化为反比例或者对勾函数,当时,按照旋转都能得出反比例,当时,旋转后会得到对勾或者飘带函数.按照换元法,就需要先对坐标进行伸缩变换,如下:,令,则此变换是将原来横坐标和纵坐标分别缩小倍和倍后逆时针旋转得来,新坐标方程为.例44（江苏苏州・模拟预测）在平面直角坐标系中,已知双曲线的左顶点为,异于的点在渐近线上,直线与的右支交于点,定义.若是渐近线上异于的三个点,为中点,且直线均与的右支相交,则与的大小关系为（）A.B.C.D.无法确定例45（天一大联考）已知双曲线的中心是坐标原点,对称轴为坐标轴,且过两点.（1）求的方程；（2）设三点在的右支上，，证明:（i）存在常数，满足；（ii）的面积为定值.例46（温州1.5模第18题）已知双曲线过点,其渐近线的方程为.按照如下方式依次构造点:过右支上点作斜率为1的直线与的左支交于点,过再作斜率为-1的直线与的右支交于点.（1）求双曲线的方程；（2）用表示点的坐标；（3）求证:数列是等比数列.知识点3椭圆双曲线的两点对合式由于,一、椭圆的两点对合式1.椭圆两点对合式设,故弦的方程是,证明:由于,故均在同构方程上,即弦的对合方程是,令,同除以,则;2.椭圆特殊点斜率关系接下来我们来解读特殊点斜率关系,以椭圆为例,设（1）当为左顶点，则;（2）当为右顶点，则；（3）当为上顶点，则;（4）当为下顶点，则;记忆方法:将作为第一象限角,则,显然,所以左乘右除,左正右负,上负下正,上小下大,;3.椭圆单动点的对称形式（1）若关于轴对称，则；（2）若关于轴对称，则；（3）若关于原点对称，则；证明:（1）,所以;（2）,所以0;,所以;例47（北京清华附中高三开学）已知椭圆，其离心率，长轴长为6。（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的上、下顶点分别为、，右顶点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为,点与点关于轴对称,直线交于,直线交于点,点,求证:.例48（2013·江西文）椭圆C:的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于,直线交于点,设的斜率为的斜率为,证明为为定值.例49（2023·北京）已知椭圆的离心率为分别为的上、下顶点,分别为的左、右顶点,.（1）求的方程；（2）点为第一象限内上的一个动点，直