高中数学选择性必修第一册 全书完整导学案2

1.1.1空间向量及其运算第1课时空间向量的概念及其线性运算(教师独具内容)课程标准：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．教学重点：空间向量的加减、数乘运算．教学难点：空间几何体中向量的线性运算．核心素养：1.通过对空间向量概念的学习提升数学抽象素养.2.通过对空间向量线性运算的学习培养直观想象素养和数学运算素养.3.通过运用空间向量的线性运算解决问题培养逻辑推理素养．知识点一空间向量的概念[提醒](1)空间向量不能比较大小，模可以比较大小．(2)空间共线向量不一定具备传递性，比如当其中一个向量为0时，不具备传递性．(3)空间中任意两个向量都是共面向量．知识点二空间向量的加法运算(1)运算法则①三角形法则：给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，作出向量eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\x(\s\up1(01))eq\o(AC,\s\up6(→))是向量a与b的和(也称eq\x(\s\up1(02))eq\o(AC,\s\up6(→))为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\x(\s\up1(03))eq\o(AC,\s\up6(→))．当平面向量a与b不共线时，a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．因为空间中的任意两个向量都共面，因此向量加法的三角形法则在空间中也成立．②平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\x(\s\up1(04))eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)运算律加法交换律：eq\x(\s\up1(05))a＋b＝b＋a．加法结合律：eq\x(\s\up1(06))(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(3)有限个空间向量的和：为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次eq\x(\s\up1(07))首尾相接，那么以eq\x(\s\up1(08))第一个向量的始点为始点，eq\x(\s\up1(09))最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\x(\s\up1(10))eq\o(AO,\s\up6(→))．结论：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的eq\x(\s\up1(11))体对角线所表示的向量．知识点三空间向量的减法运算(1)给定一个空间向量，我们把与这个向量eq\x(\s\up1(01))方向相反、eq\x(\s\up1(02))大小相等的向量称为它的相反向量．(2)三角形法则：在空间中任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，作出向量eq\o(BA,\s\up6(→))，则向量eq\x(\s\up1(03))eq\o(BA,\s\up6(→))就是向量a与b的差(也称eq\x(\s\up1(04))eq\o(BA,\s\up6(→))为向量a与b的差向量)，即eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\x(\s\up1(05))eq\o(BA,\s\up6(→))．当a与b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形．(3)转化为加法运算：a－b＝a＋eq\x(\s\up1(06))(－b)．[提醒]求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，可以共起点．知识点四空间向量的数乘运算(1)数乘向量的定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作eq\x(\s\up1(01))λa，上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量．当λ≠0且a≠0时，λa的模为eq\x(\s\up1(02))|λ||a|，而且λa的方向：①当λ>0时，与a的方向eq\x(\s\up1(03))相同；②当λ<0时，与a的方向eq\x(\s\up1(04))相反．当λ＝0或a＝0时，λa＝eq\x(\s\up1(05))0.(2)向量平行：如果存在实数λ，使得eq\x(\s\up1(06))b＝λa，则b∥a.(3)三点共线：如果存在实数λ，使得eq\x(\s\up1(07))eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．特别地，当λ＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(1,2)时，B为线段AC的中点．(4)运算律：λa＋μa＝eq\x(\s\up1(09))(λ＋μ)a(λ，μ∈R)，λ(a＋b)＝eq\x(\s\up1(10))λa＋λb(λ∈R)．空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的eq\x(\s\up1(11))线性运算．[点拨](1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．(2)向量λa与向量a一定是共线向量．1．(空间向量的概念)在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AA1,\s\up6(→))与eq\o(CC1,\s\up6(→))是________向量，向量eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(C1A1,\s\up6(→))是________向量．答案：相等的相反2．(空间向量的加减运算)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝________，eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．答案：eq\o(AC1,\s\up6(→))eq\o(BD1,\s\up6(→))3．(空间向量的数乘运算)化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________．答案：3a－2b题型一空间向量的概念例1下列说法正确的是()A．若两个空间向量共线，则这两个空间向量的方向相同或相反B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．两个相等的空间向量，若它们的起点相同，则终点必相同D．若两个空间向量的模相等，则这两个空间向量相等[解析]对于A，零向量与任意向量共线，但零向量的方向是任意的，故A错误；对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故B错误；对于C，根据空间向量相等的定义可知，两个相等的向量若起点相同，终点也必须相同，这样才能保证它们的模相等，方向相同，故C正确；对于D，两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，故D错误．故选C.[答案]C【感悟提升】判断空间向量有关概念问题的策略【跟踪训练】1．(多选)下列命题为真命题的是()A．若空间向量a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>bB．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝pD．若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c答案：BC解析：A为假命题，向量不能比较大小；B为真命题，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行．故选BC.题型二空间向量的加减运算例2根据如图的平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(D′A′,\s\up6(→))＋eq\o(D′D,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→)).[解](1)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，因为eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\o(DD′,\s\up6(→))，eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(D′A′,\s\up6(→))＋eq\o(D′D,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(D′D,\s\up6(→)))－(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(D′A′,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0－eq\a\vs4\al(0)＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，因为eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))，所以eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝(eq\o(CC′,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).【感悟提升】空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得准确的结果．【跟踪训练】2．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，请化简下列运算，并在图中标出表示化简结果的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，作出向量如图所示．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，作出向量如图所示．题型三空间向量的数乘运算例3已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，M是体对角线AC1的中点，化简下列表达式：(1)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))；(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→)).[解](1)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→)).(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).【感悟提升】利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．【跟踪训练】3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解：(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋c.(2)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b＋c))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.∵N是BC的中点，∴eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a＝a＋eq\f(1,2)c，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.1．关于空间向量，下列四个结论正确的是()A．方向相反的两个向量是相反向量B．任意两个空间向量总是共面的C．零向量没有方向D．不相等的两个空间向量的模必不相等答案：B解析：对于A，方向相反、长度相等的向量是相反向量，故A错误；对于B，空间中，任意两个向量总是共面的，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，故C错误；对于D，两个不相等的空间向量的模可以相等，故D错误．故选B.2．已知空间向量a，b，c，化简(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)的结果为()A．0 B．bC．－b D．－a答案：B解析：(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)＝(1－1)a＋(－2＋3)b＋(－3＋3)c＝b.故选B.3．如图所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，M为OA的中点，N为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c答案：A解析：由题意，得eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.故选A.4．(多选)如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量相等的是()A.eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(BO,\s\up6(→)) B.eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(B1C1,\s\up6(→)) D.eq\o(A1B,\s\up6(→))与eq\o(D1C,\s\up6(→))答案：CD解析：由正四棱柱的性质可知，对于A，|eq\o(DO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|，但eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(BO,\s\up6(→))方向相反，故A不符合题意；对于B，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，但eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))方向不同，故B不符合题意；对于C，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(B1C1,\s\up6(→))|，且eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(B1C1,\s\up6(→))方向相同，故C符合题意；对于D，|eq\o(A1B,\s\up6(→))|＝|eq\o(D1C,\s\up6(→))|，且eq\o(A1B,\s\up6(→))与eq\o(D1C,\s\up6(→))方向相同，故D符合题意．故选CD.5．在四面体OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝________．答案：eq\o(OC,\s\up6(→))解析：eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★★考点相等的向量加减运算加减运算；数乘运算加减运算单位向量；相等的向量；相反向量；向量共面向量平行；向量的模加法运算；数乘运算题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点加减运算；数乘运算加减运算；数乘运算加减运算；数乘运算相等的向量；相反向量；加减运算加法运算；数乘运算加减运算；数乘运算用向量法证明空间位置关系一、选择题1．下列命题中正确的有()①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若a，b是空间两个向量，且a≠b，则a与b的方向不同；④若eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是空间两个向量，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案：A解析：①错误，有向线段是表示向量的一种图形工具；②正确，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))知AB∥DC或A，B，C，D四点共线，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，因此在A，B，C，D四点不共线的前提下，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))⇔四边形ABCD是平行四边形；③错误，不相等的向量方向可以相同；④错误．2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up6(→))＝()A．－a＋b－c B．a－b＋cC．－a＋b＋c D．a＋b－c答案：A解析：根据空间向量的加减法运算法则，得eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－a－c＋b.故选A.3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案：A解析：因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))，所以eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.故选A.4．(多选)在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中不成立的是()A.eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))－eq\o(EG,\s\up6(→))＝0C.eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))－eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0 D.eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0答案：AD解析：由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，故eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))－eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝0，eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))－eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(HE,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝0，即B，C正确，而A，D都不成立．故选AD.5．(多选)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则关于以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量的说法正确的是()A．单位向量有8个B．与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有3个C．向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量有4个D．向量eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))共面答案：ABC解析：由题意可知单位向量有eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))，共8个，故A正确；与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，共3个，故B正确；向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量有eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))，共4个，故C正确；因为eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，向量eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))有一个公共点A1，而点A1，B1，D1都在平面A1B1C1D1内，点A在平面A1B1C1D1外，所以向量eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))不共面，故D错误．故选ABC.二、填空题6．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________．答案：2解析：因为a，c同向，a，b反向，所以|a＋b＋c|＝||a|－|b|＋|c||＝|3－2＋1|＝2.7．在四面体O－ABC中，D为BC的中点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析：∵D为BC的中点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，E为AD的中点，∴eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))）))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.8．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))化简的结果为________．答案：0解析：如图，延长DE交BC于点F，连接AF，则F为BC的中点，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DF,\s\up6(→))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝0.三、解答题9．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1C,\s\up6(→))；(3)eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1C,\s\up6(→)).(3)eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MA,\s\up6(→))＝0.10．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′D′，BD的中点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，试用向量a，b，c表示eq\o(A′C,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(D′F,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).解：eq\o(A′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝a＋b－c，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′E,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝c＋eq\f(1,2)b＝eq\f(1,2)b＋c，eq\o(D′F,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DD′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－b)－c＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED′,\s\up6(→))＋eq\o(D′D,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A′D′,\s\up6(→))＋eq\o(A′A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－c.11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论中正确的是()A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))是一对相等的向量B.eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))是一对相反向量C.eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))是一对相等的向量D.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD1,\s\up6(→))是一对相反向量答案：D解析：A中是一对相反向量；B中是一对相等的向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量．故A，B，C错误，D正确．故选D.12．光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为eq\f(9,10)，则eq\o(HE,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(DC,\s\up6(→))＝________．答案：eq\o(HA,\s\up6(→))解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则eq\f(FB,FO)＝eq\f(1,10)，eq\f(DC,HG)＝eq\f(9,10)，∴eq\o(HE,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(HE,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(HG,\s\up6(→))＝eq\o(HE,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(HE,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(HE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(HA,\s\up6(→)).13．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD′，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D′B,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；(2)化简eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′D′,\s\up6(→))＋2eq\o(D′E,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(D′B,\s\up6(→))＝eq\o(D′A′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(B′B,\s\up6(→))＝－b＋a－c＝a－b＋c.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D′A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)c.(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′D′,\s\up6(→))＋2eq\o(D′E,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′D′,\s\up6(→))＋2eq\o(D′E,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→))＋2eq\o(D′E,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→))＋eq\o(D′A,\s\up6(→))＝0.14．在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).证明：四边形EFGH为梯形．证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，∴eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→)).①∵eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，又eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)).②由①②，得eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))，∴eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))，又|eq\o(EH,\s\up6(→))|≠|eq\o(FG,\s\up6(→))|，且点F不在直线EH上，∴EH∥FG且EH≠FG.∴四边形EFGH为梯形．

第2课时空间向量的数量积(教师独具内容)课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影的意义．教学重点：1.空间向量夹角的概念.2.空间向量数量积的概念、性质及计算方法．教学难点：投影的概念及利用向量的数量积解决立体几何问题．核心素养：1.通过对空间向量数量积的概念、性质的学习提升数学抽象素养.2.通过运用空间向量的数量积求空间向量的夹角、证明垂直提升数学运算素养．知识点一空间向量的夹角空间中，给定两个非零向量a，b，在空间中任选一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则大小在eq\x(\s\up1(01))[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作eq\x(\s\up1(02))〈a，b〉．特别地，如果〈a，b〉＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(π,2)，则称向量a与b垂直，记作eq\x(\s\up1(04))a⊥b；约定eq\x(\s\up1(05))零向量与任意向量都垂直．[点拨](1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)．(2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并规定0与任意向量平行，约定0与任意向量都垂直．两非零向量的夹角是唯一确定的．(3)对空间任意两向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉；③〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉＝π－〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉．知识点二空间向量的数量积(1)定义：a·b＝eq\x(\s\up1(01))|a||b|cos〈a，b〉．规定零向量与任意向量的数量积为eq\x(\s\up1(02))0．(2)投影：空间向量a在向量b上的投影a′，可以过a的始点和终点分别作与eq\x(\s\up1(03))b所在直线垂直的平面得到．如图，向量b在棱AB上，a＝eq\o(A′C′,\s\up6(→))，因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→))，BC⊥AB，所以a在向量b上的投影a′＝eq\x(\s\up1(04))eq\o(AB,\s\up6(→))．(3)几何意义：a与b的数量积等于eq\x(\s\up1(05))a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于eq\x(\s\up1(06))a在e上的投影a′的数量．[提醒](1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定．(2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b.(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).知识点三空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔eq\x(\s\up1(01))a·b＝0．(2)a·a＝eq\x(\s\up1(02))|a|2＝eq\x(\s\up1(03))a2．(3)|a·b|eq\x(\s\up1(04))≤|a||b|.(4)(λa)·b＝eq\x(\s\up1(05))λ(a·b)．(5)a·b＝eq\x(\s\up1(06))b·a(交换律)．(6)(a＋b)·c＝eq\x(\s\up1(07))a·c＋b·c(分配律)．[拓展](1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)．(2)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2).[提醒]|a·b|≤|a||b|中，当且仅当a，b共线时等号成立．1．(空间向量的夹角)若△ABC为正三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案：B2．(空间向量数量积的性质)(多选)已知空间向量a，b，c，下列结论正确的是()A.eq\r(a·a)＝|a|B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)C．a·(b＋c)＝(b＋c)·aD．a2b＝b2a答案：ABC3．(空间向量的数量积运算)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝30°，则a·b＝________．答案：3eq\r(3)4．(空间向量的投影)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，则eq\o(OA1,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影为________；eq\o(DG,\s\up6(→))在平面ABCD上的投影的数量为________．答案：eq\o(OA,\s\up6(→))2题型一空间向量的夹角例在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(C1B,\s\up6(→))的夹角〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))〉＝________；向量eq\o(A1B,\s\up6(→))与eq\o(B1D1,\s\up6(→))的夹角〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(B1D1,\s\up6(→))〉＝________．[解析]如图，连接A1D，BD.∵AB⊥平面BCC1B1，又C1B⊂平面BCC1B1，∴AB⊥C1B，故〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))〉＝90°，∵eq\o(B1D1,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(B1D1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝180°－∠A1BD，∵△A1BD为等边三角形，∴∠A1BD＝60°，∴〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(B1D1,\s\up6(→))〉＝120°.[答案]90°120°【感悟提升】找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．【跟踪训练】1．在正四面体A－BCD中，E，F分别是AC，AD的中点，则eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(EF,\s\up6(→))的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°答案：C解析：由题意，可得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.题型二空间向量数量积的计算例2如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→)).[解](1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos0°＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)[eq\o(BD,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)×[－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).【感悟提升】空间向量数量积的运算方法(1)直接利用空间向量数量积的定义并结合运算律进行计算．(2)在几何体中求空间向量的数量积的步骤【跟踪训练】2．(1)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq\o(AO1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案：C解析：eq\o(AO1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1O1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AO1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2)＝1.故选C.(2)已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E是AD的中点，则eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝()A．1 B．－1C.eq\r(3) D．－eq\r(3)答案：A解析：如图，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝2×2×cos60°＋2×1×cos120°＝1.故选A.题型三空间向量数量积的应用例3(1)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________．[解析]∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2,2×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq\f(3π,4).[答案]eq\f(3π,4)(2)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________．[解析]∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，则a2＋2a·b＋b2＝576，∴2a·b＝576－132－192＝46.又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22.[答案]22(3)如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则向量eq\o(PC,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))上的投影为________．[解析]∵PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0＋6×6×eq\f(1,2)＋62＝54.向量eq\o(PC,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))上的投影为eq\f(\o(PC,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BC,\s\up6(→))|))·eq\f(\o(BC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BC,\s\up6(→))|))＝eq\f(54,36)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).[答案]eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))(4)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则eq\o(A1C,\s\up6(→))与eq\o(AB1,\s\up6(→))夹角的余弦值为________．[解析]由eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))，而A1C1⊥A1A，A1B1⊥A1A且∠B1A1C1＝60°，则eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))·eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1C1,\s\up6(→))·eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))2＝2－0＋0－4＝－2，显然|eq\o(A1C,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，则cos〈eq\o(A1C,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1C,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→)),|\o(A1C,\s\up6(→))||\o(AB1,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,4).[答案]－eq\f(1,4)【感悟提升】利用空间向量的数量积可以求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题等．【跟踪训练】3．(1)如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、下底面圆周上，O2，O1分别为上、下底面圆的圆心，且〈eq\o(O2M,\s\up6(→))，eq\o(O1N,\s\up6(→))〉＝120°，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝()A.eq\r(65) B．5eq\r(2)C.eq\r(35) D．5答案：A解析：∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴eq\o(MO2,\s\up6(→))·eq\o(O2O1,\s\up6(→))＝0，eq\o(O2O1,\s\up6(→))·eq\o(O1N,\s\up6(→))＝0，∵eq\o(MO2,\s\up6(→))·eq\o(O1N,\s\up6(→))＝3×5×cos60°＝eq\f(15,2)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO2,\s\up6(→))＋eq\o(O2O1,\s\up6(→))＋eq\o(O1N,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))2＝(eq\o(MO2,\s\up6(→))＋eq\o(O2O1,\s\up6(→))＋eq\o(O1N,\s\up6(→)))2＝eq\o(MO2,\s\up6(→))2＋eq\o(O2O1,\s\up6(→))2＋eq\o(O1N,\s\up6(→))2＋2eq\o(MO2,\s\up6(→))·eq\o(O2O1,\s\up6(→))＋2eq\o(O2O1,\s\up6(→))·eq\o(O1N,\s\up6(→))＋2eq\o(MO2,\s\up6(→))·eq\o(O1N,\s\up6(→))＝9＋16＋25＋15＝65，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(65).(2)已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值为()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,4)C．－eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(2),