高考数学一轮复习（培优版） 第二章　2.1　函数的概念及其表示

第二章函数§2.1函数的概念及其表示考试要求1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.1.函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.(×)(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(×)(3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点.(√)(4)函数f(x)=x-1,x≥0,x2,x<02.以下图形中，不是函数图象的是()答案A解析根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个x值对应两个y值，所以A不是函数图象.3.(多选)(2025·三明模拟)下列各组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是()A.f(x)=x0与g(x)=1B.f(x)=x与g(x)=xC.f(x)=x2+2x-3x和gD.f(x)=x2-1与g(x)答案ABD解析选项A，函数f(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)=1的定义域为R，二者定义域不同，不是同一个函数；选项B，g(x)=x2=|x|与f(x)的对应关系不同，选项C，函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(t)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，两函数定义域相同，对应关系相同，是同一个函数；选项D，f(x)=x2-1的定义域为(-∞，-1]∪[1，+∞)，g(x)=x-1·x+1的定义域为[1，+∞4.已知函数f(x)=x2,x≤1,log4x,x>1,答案1解析因为f(-2)=(-2)2=4，所以f(f(-2))=f(4)=log44=1.防范四个易错点(1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.题型一函数的概念例1(1)(多选)下列选项中正确的是()A.函数f(x)=-x2-2x+3lg(B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点C.函数y=x2-1x+1与函数yD.对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同答案BD解析对于A，由题意知-x2-2x+3≥0,x+1>0,lg(x+1)≠0,解得-1<对于B，由函数的定义知，函数图象与y轴最多有一个交点，B正确；对于C，函数y=x2-1x+1的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)，函数y=x-1的定义域为R，对于D，函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x的值一定不同，D正确.(2)已知函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，则函数f(x)的定义域为，函数f(2x-1)的定义域为.

答案[-1，4]0解析因为函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，所以-1≤x+1≤4，所以函数f(x)的定义域为[-1，4]；令-1≤2x-1≤4，解得0≤x≤52，所以函数f(2x-1)的定义域为思维升华函数的概念及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.跟踪训练1(1)(2025·白银模拟)已知函数y=f(x)的定义域为[0，4]，则函数y=f(x+1)x-1+(x-2)A.(1，3) B.(1，2)∪(2，3]C.(1，2)∪(2，3) D.(1，3]答案B解析因为函数y=f(x)的定义域为[0，4]，所以0≤x+1≤4,x-1>0,x-2≠0,解得1<x≤3所以函数y=f(x+1)x-1+(x-2)0的定义域是(1，2)∪((2)(多选)下列命题中是假命题的是()A.函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线B.f(x)=2-x+xC.集合A=[1，2]，B=[2，6]，对应关系f：y=2x，则f：A→B是A到B的函数D.f(x)=2lnx与g(x)=lnx2是同一个函数答案ABD解析对于A，因为函数y=2x(x∈N)的定义域为N，所以其图象是由离散的点组成的，A错误；对于B，因为要使2-x与x-3有意义，则2-x≥0,x-3≥0,不等式组无解，所以由函数的定义可得f(x)=2-对于C，当x∈[1，2]时，y=2x∈[2，4]⊆B，结合函数定义，f：A→B是A到B的函数，C正确；对于D，f(x)=2lnx的定义域为(0，+∞)，g(x)=lnx2的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不一样，故这两个函数不是同一个函数，D错误.题型二函数的解析式例2(1)已知f(1-sinx)=cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f

x2+1x2=x4+1x(3)已知f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x-3，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)+f

1x=3x，求f(x)的解析式解(1)(换元法)设1-sinx=t，t∈[0，2]，则sinx=1-t，∵f(1-sinx)=cos2x=1-sin2x，∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2，t∈[0，2].即f(x)=2x-x2(0≤x≤2).(2)(配凑法)f

x2+1x2=x4+又x2+1x2≥2x当且仅当x2=1x2，即x设t=x2+1x2，则t≥2，∴f(t)=t2-2(t≥∴f(x)=x2-2(x≥2).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)=kx+b(k≠0)，∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b，又f(f(x))=4x-3，∴k2x+kb+b=4x-3，故k解得k=2,b∴f(x)=2x-1或f(x)=-2x+3.(4)(解方程组法)用1x替换x得2f

1x+f(x)=因此2解得f(x)=2x-1x(x≠0)思维升华函数解析式的求法(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.跟踪训练2(多选)下列命题中正确的有()A.已知函数f(3x+1)=6x-4，则f(-2)=-10B.已知函数f

x-1x=x3-1x3，则函数f(x)的解析式为f(x)=x3+3C.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2，f(x)-f(x-1)=2x+3，则f(x)=x2+4x+2D.已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，则f(x)=3x答案ACD解析对于A，由函数f(3x+1)=6x-4，令3x+1=-2，解得x=-1，此时6x-4=-10，即f(-2)=-10，故A正确；对于B，f

x-1x=x3-1x3=x-1xx所以f(x)=x(x2+3)=x3+3x，故B错误；对于C，由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，因为f(0)=2，所以c=2，因为f(x)-f(x-1)=2x+3，所以ax2+bx+c-[a(x-1)2+b(x-1)+c]=2x+3，所以2ax-a+b=2x+3，所以2a=2,-a+b=3,得a=1,b=4,所以f(x)对于D，因为2f(x)+f(-x)=3x， ①所以将x用-x替换，得2f(-x)+f(x)=-3x， ②由①②解得f(x)=3x，故D正确.题型三分段函数例3(1)(多选)已知函数f(x)=x2,-2≤x<1,-x+2,x≥1,A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(-∞，4]C.若f(x)=2，则x的值是-2D.f(x)<1的解集为(-1，1)答案BC解析函数f(x)=x2,-2≤x<1,-x+2,x≥1的定义域是[当-2≤x<1时，f(x)=x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)=-x+2，值域为(-∞，1]，故f(x)的值域为(-∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)=-x+2=2，无解，当-2≤x<1时，令f(x)=x2=2，解得x=-2，故C当-2≤x<1时，令f(x)=x2<1，解得x∈(-1，1)，当x≥1时，令f(x)=-x+2<1，解得x∈(1，+∞)，故f(x)<1的解集为(-1，1)∪(1，+∞)，故D错误.(2)定义max{a，b}=a,a≥b,b,b>a,设函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，记函数F(x)=max{f(x)，g(x)}，则函数F(x)的最小值为，若函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，答案02解析令f(x)≥g(x)，即x+1≥(x+1)2，解得-1≤x≤0；令f(x)<g(x)，即x+1<(x+1)2，解得x<-1或x>0，所以F(x)=max{f(x)，g(x)}=(F(x)的图象如图所示，由图可知，函数F(x)的最小值为0，又F(0)=F(-2)=1，F(-1)=0，要使函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]，当n=0时，-2≤m≤-1；当m=-2时，-1≤n≤0，则当n=0，m=-2时，n-m取得最大值2.思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.跟踪训练3(1)(2026·聊城模拟)已知函数f(x)=2x2-1,x≤0,2-x-1,x>0,则“a=1”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析根据题意，当a=1时，f(a)=f(1)=2-1-1=1，所以“a=1”是“f(a)=1”的充分条件，反之，若f(a)=1，即a≤0,2解得a=-1或a=1，所以“a=1”不是“f(a)=1”的必要条件，则“a=1”是“f(a)=1”的充分不必要条件.(2)(多选)函数D(x)=1,x∈Q,0,x∈∁A.D(D(2))=D(D(2))B.D(x)的值域与函数f(x)=x+C.D(x)≠D(-x)D.对任意实数x，都有D(x+1)=D(x)答案ABD解析对于A，根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))=D(1)=1，D(D(2))=D(0)=1，所以A正确；对于B，易知D(x)的值域为{0，1}，函数f(x)=x+x2x的定义域为(-∞，0)∪(0，当x∈(-∞，0)时，f(x)=x+x2x=0；当x∈(0，+∞)时，f(x)=x+x2x=1，即函数f(x)=x+x对于C，若x∈Q，则-x∈Q，则D(x)=D(-x)=1，若x∈∁RQ，则-x∈∁RQ，则D(x)=D(-x)=0，综上可得D(x)=D(-x)，所以C错误；对于D，当x∈Q时，x+1∈Q，此时D(x+1)=D(x)=1；当x∈∁RQ时，x+1∈∁RQ，此时D(x+1)=D(x)=0，所以D正确.课时精练[分值：94分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.若函数y=x-4x的定义域为M，y=3x2+1的值域为N，则M∪N等于(A.(-∞，0]∪[1，+∞)B.[1，4]C.[4，+∞)D.(-∞，0)∪[1，+∞)答案D解析由x-4x≥0，得x≥4或x故M=(-∞，0)∪[4，+∞)，由y=3x2+1，得y≥1，故N=[1，+∞)，故M∪N=(-∞，0)∪[1，+∞).2.(2025·淮安模拟)已知函数f(x)=cosπx,x≥0,2x,xA.2 B.-2 C.4 D.-4答案D解析因为函数f(x)=cosπ则f

23=cos2π3=cosπ-=-1所以f

f23=f

-123.(2025·湘西模拟)已知f(x+1)=x+2x，则函数f(x)的解析式为(A.f(x)=x2-1B.f(x)=x2-1(x≥1)C.f(x)=x2+1(x≥1)D.f(x)=x2-1(x≥0)答案B解析令t=x+1，则x=(t-1)2，t≥1，因为f(x+1)=x+2x，所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)则f(x)=x2-1(x≥1).4.(2026·烟台模拟)设集合A={x|0<x≤4}，B={y|0<y≤1}，则从A到B的函数f(x)可能为()A.f(x)=x-1 B.f(x)=xC.f(x)=12x2 D.f(x)=1答案D解析对于A，f(x)=x-1，A={x|0<x≤4}，则f

12=2∉B，故A对于B，f(x)=x，A={x|0<x≤4}，则f(4)=2∉B，故B对于C，f(x)=12x2，A={x|0<x≤4}，则f(2)=12×22=2∉B，故对于D，f(x)=15x，当0<x≤4时，0<15x≤45，即0<f(又y0<y≤45⊆{y|0<所以f(x)=15x为从A到B的函数，故D正确5.(2025·吉林模拟)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算，对于中国乃至世界是一个重大贡献.已知圆周率π=3.14159265358979323846264338327950288…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法不正确的是()A.y=f(n)，n∈N*是一个函数B.当n=5时，f(n)=3.14159C.f(4)=f(8)D.f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}答案B解析对于A，对于任意n∈N*，均存在唯一的f(n)与之对应，符合函数的定义，y=f(n)，n∈N*是一个函数，故A正确；对于B，C，f(5)=9，f(4)=5=f(8)，故B错误，C正确；对于D，根据定义f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确.6.已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x，线段AP的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是()答案B解析根据函数图象可知，封闭图形具有过点A的对称轴，故C错误；对于A，由等边三角形可知，线段AP的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误；对于D，由圆可知，线段AP的长度不会是线性变化，故D错误；对于B，由正方形可知，线段AP的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确.7.(2026·泰安模拟)若函数f(x)=x2-x,x>0,-x2-x,x<0,若f(aA.(-1，0)∪(0，1)B.(-∞，-1)∪(0，1)C.(-1，0)∪(1，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞)答案B解析当a>0时，由f(a)<f(-a)，即a2-a<-(-a)2-(-a)，∴2a2-2a<0，∴2a(a-1)<0，解得0<a<1；当a<0时，由f(a)<f(-a)，即-a2-a<(-a)2-(-a)，∴2a2+2a>0，∴2a(a+1)>0，解得a<-1.综上，实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1).8.已知符号函数sgn(x)=1,x>0,0,xA.函数y=sgn(x)是偶函数B.对任意的x∈R，|x|=xsgn(-x)C.函数y=2xsgn(x)的值域为(-1，0]∪[1，+∞)D.“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的必要不充分条件答案D解析对于A，由符号函数图象可知，函数y=sgn(x)为奇函数，故A错误；对于B，当x>0时，|x|=x，xsgn(-x)=-x，所以|x|=-xsgn(-x)，故B错误；对于C，y=2xsgn(x)=2x,x>0,0,x=0,-2x,x<0,当x>0时，y=2x∈(1，+∞)，当x=0时，y=0，当x综上所述，函数y=2xsgn(x)的值域为(-1，0]∪(1，+∞)，故C错误；对于D，当sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0时，有ex-1>0,-x解得x>1或x<0，当x>1时，ex-1>0，-x+1<0，则sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=1+(-1)=0.所以“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的必要不充分条件，故D正确.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.设表格表示的函数为y=f(x)，关于此函数下列说法错误的是()x0.10.20.50.80.9y10101A.f(x)的定义域是(0，1)B.f(f(0.1)-0.8f(0.5))=1C.f(x)的值域是{0，1}D.f(x)的图象无对称轴答案ABD解析函数f(x)的定义域是{0.1，0.2，0.5，0.8，0.9}，A错误；f(f(0.1)-0.8f(0.5))=f(0.2)=0，B错误；函数f(x)的值域是{0，1}，C正确；函数f(x)的图象关于直线x=0.5对称，D错误.10.下列说法正确的是()A.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，则f(x)=2x+7B.y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)表示同一个函数C.已知函数f(x)=2x-x2，则函数g(x)=f(2D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素答案ABD解析对于A，∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，∴a=2,5a+b=17,解得a=2,b=7,∴f对于B，y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)的定义域均为(-1，1)，且y=lg(1-x)+lg(1+x)=lg(1-x2)，∴对应关系相同，故表示同一个函数，故B正确；对于C，函数f(x)的定义域为[0，2]，要使函数g(x)有意义，则0≤2x≤2,x-1≠0,解得0≤x<1，∴函数g(x)的定义域为[0，1)对于D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确.11.(2025·南阳模拟)黎曼函数(Riemannfunction)是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其解析式为R(x)=1(注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下列结论正确的是()A.R68=B.黎曼函数的定义域为[0，1]C.黎曼函数的最大值为1D.若f(x)是奇函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[0，1]时，f(x)=R(x)，则f

865+f(32+6)=答案BC解析R68=R34=1黎曼函数的定义域为[0，1]，B正确；因为p，q∈N*，pq为既约真分数，所以1q的最大值为12因为f(x)是奇函数，并且是以2为周期的周期函数，f

865=f

18-45=f

-45=-f

45=-15，f(32+6)=f(42)=f(42-6)=-f(6-42)=0，所以f

865+f三、填空题(每小题5分，共15分)12.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，写出函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数.

答案y=x2，x∈[-2，1](答案不唯一)解析函数y=x2，x∈[-1，2]的值域为[0，4]，函数y=x2，x∈[-2，1]的值域为[0，4]，所以y=x2，x∈[-2，1]为函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数.(答案不唯一)13.(2025·六盘水模拟)已知函数f(x)满足f(x)+2f

1x=2x+4x+3，则f(2)=答案5解析因为f(x)+2f

1x=2x+4x+3，分别令x=2，x联立得f(2)+2f14.设函数f(x)=x2+2x,x≥0,-x2+2x,x<0,若f答案[2-1，+∞)解析因为f(x)=x令f(a)=t，则f(f(a))≥3可化为f(t)≥3，当t≥0时，t2+2t≥3，解得t≥1，即f(a)≥1；当t<0时，-t2+2t≥3，不等式无解，综上，f(a)≥1，若a≥0，则a2+2a≥1，解得a≥2-1；若a<0，则-a2+2a≥1，解得a=1(舍去)，综上，a≥2-1.[15，17，18题每小题5分，16题6分，共21分]15.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立；取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立；所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件.16.(多选)(2025·邢台模拟)对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下