23.直线与圆课件

1/123.直线与圆1.（2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A.1 B.15C.104 D.解析：B由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为5.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为22，所以点（0，－2）与切点的距离为（22）2-(5）2＝3，所以sinα2＝522，cosα2＝322，所以sinα＝2sin2.（2024·全国甲卷12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（）A.1 B.2C.4 D.25解析：C根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝5，则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为25-|MC｜2＝3.（2025·全国Ⅰ卷7题）已知圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是（）A.（0，1） B.（1，3）C.（3，＋∞） D.（0，＋∞）解析：B易得圆心（0，－2）到直线y＝3x＋2的距离d＝2.当r＝d－1＝1时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1＜r＜3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有两个.故选B.4.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷11题）已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝32D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝32解析：ACD设圆（x－5）2＋（y－5）2＝16的圆心为M（5，5），由题易知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝｜5+2×5－4｜5＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，4＋115＜5＋1255＝10，故A正确.易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4＜1255－4＝1，故B不正确.过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，｜PB｜＝｜MB｜2-|MN｜2＝52＋（5－2）2－42＝5.（多选）（2021·新高考Ⅱ卷11题）已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切解析：ABD选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝r，∴直线l与圆C相切，A正确.选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＞r，∴直线l与圆C相离，B正确.选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＜r.∴直线l与圆C相交，C错误.选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r26.（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值答案：－2（或－12或12或2，解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝21+m2，｜AB｜＝2r2－d2＝4｜m｜1+m2，所以S△ABC＝12×d×｜AB｜＝4｜m｜1+m2＝87.（2022·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程.解析：法一如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝43x，由x＝－1，y＝43x，得x＝－1，y＝－43，由对称性可知公切线l2过点－1,-43，设公切线l2的方程为y＋43＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝k－43k2+1，解得k＝724，所以公切线l2的方程为y＋43＝724（x＋1），即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝43x垂直，设公切线l3的方程为y＝－34x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝｜t｜－342＋(-1）2，解得t＝54或t＝－法二根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意.答案：x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0（答案不唯一）8.（2022·新高考Ⅱ卷15题）设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是.答案：1解析：法一由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝3－a2，所以直线A'B的方程为y＝3－a2x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以|-3（3－a）＋(-2）×(-2）+2a｜（3－a法二易知（x＋3）2＋（y＋2）2＝1关于y轴对称