2026年江苏省部编版高一数学第四十章线性规划练习题

2026年江苏省部编版高一数学第四十章线性规划练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的某个顶点上取得，这一结论的依据是（）A.可行域是封闭的多边形区域B.目标函数是线性函数C.基本定理（对偶理论）D.数形结合思想中的极值原理解析：线性规划的基本定理指出，若线性规划问题存在最优解，则一定在可行域的顶点上取得。该结论的数学基础是凸集的极值性质，而非单纯依赖几何直观或函数类型。选项A描述的是可行域的几何形态，选项B是目标函数的性质，选项C涉及高等对偶理论，均非直接依据。极值原理（选项D）是数形结合思想的核心，通过分析目标函数在顶点的变化趋势推导出最优解的分布规律，故正确。2.已知约束条件为：x≥0，y≥0，2x+y≤8，x+2y≤10，则可行域的顶点个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：将约束条件绘制在平面坐标系中，x≥0，y≥0构成第一象限；2x+y=8与x+2y=10的交点为（2，6），两条直线与坐标轴的交点分别为（4，0），（0，8）和（10，0），（0，5）。通过分析可行域的封闭性，可知该五边形有4个顶点，故正确。3.若线性规划问题的目标函数为z=3x+5y，约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则当x=4时，y的取值范围是（）A.0≤y≤6B.0≤y≤2C.0≤y≤4D.0≤y≤3解析：将x=4代入约束条件x+y≤6，得4+y≤6，即y≤2。结合y≥0，可得0≤y≤2，故正确。4.在求解线性规划问题时，若可行域无界，则目标函数（）A.一定无最优解B.一定有最优解C.可能存在最优解D.最优解唯一解析：可行域无界时，目标函数可能无界（如z→+∞或z→-∞），也可能存在最优解（如z取固定值时）。例如，z=3x+5y在x+y=6上取最小值，但若目标函数为z=x-y，则无界。故正确。5.已知线性规划问题的约束条件为：x+y≤4，x-y≥1，x≥0，y≥0，则可行域的形状是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.无界区域解析：将约束条件绘制后，x+y=4与x-y=1的交点为（2.5，1.5），两条直线与坐标轴的交点分别为（4，0），（0，4）和（1，0），（0，1）。封闭区域为四边形，故正确。6.若线性规划问题的目标函数为z=ax+by，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则当a>0，b>0时，最优解的取值一定在（）A.（0，10）B.（10，0）C.第一象限内任意点D.可行域的顶点上解析：由于a>0，b>0，目标函数在可行域的顶点上取得最优值。可行域的顶点为（0，10），（10，0）和（0，0），但若a=b，则最优解在（5，5）上。一般情况需在顶点中寻找，故正确。7.在使用图解法求解线性规划问题时，若目标函数的等值线与约束条件线平行，则（）A.问题无解B.问题有无穷多最优解C.最优解在可行域的边界上D.最优解在可行域内部解析：等值线与约束线平行时，目标函数沿该方向移动仍能保持最优值，因此存在无穷多最优解。例如，z=2x+4y在x+y=6上取得最小值，且2x+4y=8与x+y=6平行，故正确。8.已知线性规划问题的约束条件为：x+y≤5，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+3y的最大值是（）A.10B.15C.20D.无最大值解析：可行域顶点为（0，0），（5，0），（0，5）和（5，0），计算目标函数值分别为0，10，15，10。最大值为15，故正确。9.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+y的最小值是（）A.0B.6C.8D.无最小值解析：可行域顶点为（0，0），（6，0），（0，6）和（6，0），计算目标函数值分别为0，12，6，12。最小值为0，故正确。10.在使用单纯形法求解线性规划问题时，若某步迭代中所有检验数均非正，则（）A.问题无解B.问题有唯一最优解C.问题有无穷多最优解D.需继续迭代解析：检验数均非正表示目标函数已无法增大（或减小），此时已达到最优解。若存在非正检验数且对应变量非基，则有无穷多最优解；若所有检验数严格小于0，则无界。故正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的可行域是所有约束条件的交集所构成的______区域。参考答案：封闭解析：可行域是满足所有约束条件的点的集合，对于线性规划问题，若约束条件均为线性不等式，则可行域为封闭的多边形或无界区域。2.若线性规划问题的目标函数为z=3x-2y，约束条件为：x+y≤5，x≥0，y≥0，则当x=2时，y的取值范围是______。参考答案：0≤y≤3解析：将x=2代入x+y≤5，得2+y≤5，即y≤3。结合y≥0，可得0≤y≤3。3.在线性规划问题中，若可行域无界，且目标函数在某个顶点上取得最优值，则该问题称为______问题。参考答案：有界解析：无界可行域可能导致目标函数无界，此时称为无界问题；若目标函数有界且在顶点上取得最优值，则称为有界问题。4.已知线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+3y的最大值是______。参考答案：9解析：可行域顶点为（0，0），（6，0），（0，6）和（6，0），计算目标函数值分别为0，12，18，12。最大值为18，但需注意约束条件为x+y≤6，故实际最大值为9（当x=3，y=3时）。5.在使用图解法求解线性规划问题时，若目标函数的等值线与约束条件线平行，则最优解的取值是______。参考答案：无穷多个解析：等值线与约束线平行时，目标函数沿该方向移动仍能保持最优值，因此存在无穷多最优解。6.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤5，x≥0，y≥0，则目标函数z=3x+2y的最小值是______。参考答案：0解析：可行域顶点为（0，0），（5，0），（0，5）和（5，0），计算目标函数值分别为0，15，10，15。最小值为0。7.在单纯形法中，若某步迭代中所有检验数均非正，则该问题______。参考答案：已达到最优解解析：检验数均非正表示目标函数已无法增大（或减小），此时已达到最优解。若存在非正检验数且对应变量非基，则有无穷多最优解。8.已知线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则目标函数z=4x+2y的最大值是______。参考答案：12解析：可行域顶点为（0，0），（6，0），（0，6）和（6，0），计算目标函数值分别为0，24，12，24。最大值为24，但需注意约束条件为x+y≤6，故实际最大值为12（当x=3，y=3时）。9.在线性规划问题中，若可行域为空集，则该问题______。参考答案：无解解析：可行域为空集表示没有任何点同时满足所有约束条件，因此问题无解。10.若线性规划问题的目标函数为z=ax+by，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则当a>0，b>0时，最优解的取值一定在______。参考答案：可行域的顶点上解析：由于a>0，b>0，目标函数在可行域的顶点上取得最优值。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的可行域一定是凸多边形。（×）解析：可行域可能是无界区域或非凸集（如存在多个不相交的封闭区域），因此该说法错误。2.若线性规划问题的目标函数为z=3x-2y，约束条件为：x+y≤5，x≥0，y≥0，则当x=2时，y的取值范围是0≤y≤3。（√）解析：将x=2代入x+y≤5，得2+y≤5，即y≤3。结合y≥0，可得0≤y≤3。3.在使用图解法求解线性规划问题时，若目标函数的等值线与约束条件线平行，则最优解在可行域的边界上。（×）解析：等值线与约束线平行时，最优解在可行域的边界上，但可能存在无穷多个最优解，因此该说法不完全正确。4.已知线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+3y的最大值是18。（×）解析：可行域顶点为（0，0），（6，0），（0，6）和（6，0），计算目标函数值分别为0，12，18，12。最大值为18，但需注意约束条件为x+y≤6，故实际最大值为12（当x=3，y=3时）。5.在单纯形法中，若某步迭代中所有检验数均非正，则该问题已达到最优解。（√）解析：检验数均非正表示目标函数已无法增大（或减小），此时已达到最优解。若存在非正检验数且对应变量非基，则有无穷多最优解。6.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤5，x≥0，y≥0，则目标函数z=3x+2y的最小值是0。（√）解析：可行域顶点为（0，0），（5，0），（0，5）和（5，0），计算目标函数值分别为0，15，10，15。最小值为0。7.在线性规划问题中，若可行域为空集，则该问题无解。（√）解析：可行域为空集表示没有任何点同时满足所有约束条件，因此问题无解。8.已知线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则目标函数z=4x+2y的最大值是24。（×）解析：可行域顶点为（0，0），（6，0），（0，6）和（6，0），计算目标函数值分别为0，24，12，24。最大值为24，但需注意约束条件为x+y≤6，故实际最大值为12（当x=3，y=3时）。9.在线性规划问题中，若可行域无界，且目标函数在某个顶点上取得最优值，则该问题称为无界问题。（×）解析：无界可行域可能导致目标函数无界，此时称为无界问题；若目标函数有界且在顶点上取得最优值，则称为有界问题。10.若线性规划问题的目标函数为z=ax+by，约束条件为：x+y≤10，x≥0，y≥0，则当a>0，b>0时，最优解的取值一定在可行域的顶点上。（√）解析：由于a>0，b>0，目标函数在可行域的顶点上取得最优值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述线性规划问题的基本要素。（）参考答案：线性规划问题包含三个基本要素：（1）决策变量：表示待求解的未知量，通常用x₁，x₂，…，xn表示；（2）目标函数：表示需要最大化或最小化的线性函数，如z=ax₁+bx₂+…+cxn；（3）约束条件：表示决策变量必须满足的线性等式或不等式，如a₁x₁+a₂x₂+…+anxn≤b，x₁，x₂，…，xn≥0。2.在使用图解法求解线性规划问题时，如何确定可行域？（）参考答案：确定可行域的步骤如下：（1）将所有约束条件绘制在平面坐标系中，包括线性不等式和等式；（2）满足所有约束条件的点的集合即为可行域，通常是一个封闭的多边形或无界区域；（3）若约束条件中存在绝对值或非线性不等式，需先转化为线性形式再绘制。3.若线性规划问题的目标函数为z=3x+5y，约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则当x=4时，y的取值范围是多少？（）参考答案：将x=4代入x+y≤6，得4+y≤6，即y≤2。结合y≥0，可得0≤y≤2。4.在线性规划问题中，若可行域无界，则目标函数一定无最优解吗？为什么？（）参考答案：不一定。可行域无界时，目标函数可能无界（如z→+∞或z→-∞），也可能存在最优解（如z取固定值时）。例如，z=3x+5y在x+y=6上取最小值，但若目标函数为z=x-y，则无界。5.已知线性规划问题的约束条件为：x+y≤5，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+y的最小值是多少？（）参考答案：可行域顶点为（0，0），（5，0），（0，5）和（5，0），计算目标函数值分别为0，10，5，10。最小值为5。6.在使用单纯形法求解线性规划问题时，如何判断问题已达到最优解？（）参考答案：判断最优解的步骤如下：（1）计算所有非基变量的检验数（即目标函数系数与对应约束系数的差）；（2）若所有检验数均非正，则问题已达到最优解；（3）若存在正检验数且对应变量非基，则需继续迭代；（4）若存在正检验数且对应变量为基变量，则问题无界。7.若线性规划问题的约束条件为：x+y≤6，x≥0，y≥0，则目标函数z=4x+2y的最大值是多少？（）参考答案：可行域顶点为（0，0），（6，0），（0，6）和（6，0），计算目标函数值分别为0，24，12，24。最大值为24。8.在线性规划问题中，若可行域为空集，则该问题无解，对吗？为什么？（）参考答案：正确。可行域为空集表示没有任何点同时满足所有约束条件，因此问题无解。例如，约束条件x+y≤5和x+y≥10矛盾，此时可行域为空集。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产两种产品A和B，每件产品A需消耗原材料1单位，劳动力2单位，利润为3元；每件产品B需消耗原材料2单位，劳动力1单位，利润为4元。工厂每周可提供原材料20单位，劳动力30单位。问如何安排生产计划，才能使每周利润最大？解答：（1）设每周生产产品A的数量为x，产品B的数量为y，则目标函数为z=3x+4y（利润最大化）；（2）约束条件为：x+2y≤20（原材料限制），2x+y≤30（劳动力限制），x≥0，y≥0；（3）绘制可行域，顶点为（0，0），（10，0），（0，10）和（8，6）；（4）计算目标函数值：z=0，z=30，z=40，z=48；（5）最大利润为48元，此时x=8，y=6。2.某公司需采购两种原材料X和Y，每单位X成本为2元，每单位Y成本为3元。公司需满足以下需求：X的总量不超过100单位，Y的总量不超过80单位，且X和Y的总量之和至少为120单位。问如何采购才能使总成本最小？解答：（1）设采购X的数量为x，Y的数量为y，则目标函数为z=2x+3y（成本最小化）；（2）约束条件为：x≤100，y≤80，x+y≥120，x≥0，y≥0；（3）绘制可行域，顶点为（20，100），（100，20），（100，80）；（4）计算目标函数值：z=340，z=220，z=310；（5）最小成本为220元，此时x=100，y=20。3.某农场种植两种作物M和N，每亩M需水4吨，肥料10公斤，收益为200元；每亩N需水3吨，肥料8公斤，收益为150元。农场每周可提供水120吨，肥料200公斤。问如何安排种植计划，才能使总收益最大？解答：（1）设种植M的亩数为x，N的亩数为y，则目标函数为z=200x+150y（收益最大化）；（2）约束条件为：4x+3y≤120（水限制），10x+8y≤200（肥料限制），x≥0，y≥0；（3）绘制可行域，顶点为（0，0），（20，0），（0，25）和（12，16）；（4）计算目标函数值：z=0，z=4000，z=3750，z=4200；（5）最大收益为4200元，此时x=12，y=16。4.某公司生产两种产品P和Q，每件P需消耗A原料1单位，B原料2单位，利润为5元；每件Q需消耗A原料2单位，B原料1单位，利润为6元。公司每周可提供A原料30单位，B原料40单位。问如何安排生产计划，才能使每周利润最大？解答：（1）设每周生产P的数量为x，Q的数量为y，则目标函数为z=5x+6y（利润最大化）；（2）约束条件为：x+2y≤30（A原料限制），2x+y≤40（B原料限制），x≥0，y≥0；（3）绘制可行域，顶点为（0，0），（15，0），（0，20）和（10，15）；（4）计算目标函数值：z=0，z=75，z=120，z=110；（5）最大利润为120元，此时x=0，y=20。5.某餐厅供应两种套餐A和B，每套A需用鸡肉1公斤，蔬菜2公斤，利润为20元；每套B需用鸡肉2公斤，蔬菜1公斤，利润为25元。餐厅每天可提供鸡肉10公斤，蔬菜12公斤。问如何安排套餐供应，才能使每天利润最大？解答：（1）设每天供应A套餐的数量为x，B套餐的数量为y，则目标函数为z=20x+25y（利润最大化）；（2）约束条件为：x+2y≤10（鸡肉限制），2x+y≤12（蔬菜限制），x≥0，y≥0；（3）绘制可行域，顶点为（0，0），（6，0），（0，5）和（4，4）；（4）计算目标函数值：z=0，z=120，z=100，z=130；（5）最大利润为130元，此时x=4，y=4。6.某工厂生产两种产品C和D，每件C需消耗原材料1单位，劳动力3单位，利润为4元；每件D需消耗原材料2单位，劳动力2单位，利润为5元。工厂每周可提供原材料20单位，劳动力30单位。问如何安排生产计划，才能使每周利润最大？解答：（1）设每周生产C的数量为x，D的数量为y，则目标函数为z=4x+5y（利润最大化）；（2）约束条件为：x+2y≤20（原材料限制），3x+2y≤30（劳动力限制），x≥0，y≥0；（3）绘制可行域，顶点为（0，0），（10，0），（0，10）和（6，6）；（4）计算目标函数值：z=0，z=40，z=50，z=42；（5）最大利润为50元，此时x=0，y=10。7.某公司需采购两种设备X和Y，每台X成本为3元，每台Y成本为4元。公司需满足以下需求：X的总量不超过100台，Y的总量不超过80台，且X和Y的总量之和至少为120台。问如何采购才能使总成本最小？解答：（1）设采购X的数量为x，Y的数量为y，则目标函数为z=3x+4y（成本最小化）；（2）约束条件为：x≤100，y≤80，x+y≥120，x≥0，y≥0；（3）绘制可行域，顶点为（20，100），（100，20），（100，80）；（4）计算目标函数值：z=340，z=220，z=310；（5）最小成本为220元，此时x=100，y=20。8.某农场种植两种作物E和F，每亩E需水5吨，肥料12公斤，收益为250元；每亩F需水4吨，肥料9公斤，收益为200元。农场每周可提供水120吨，肥料200公斤。问如何安排种植计划，才能使总收益最大？解答：（1）设种植E的亩数为x，F的亩数为y，则目标函数为z=250x+200y（收益最大化）；（2）约束条件为：5x+4y≤120（水限制），12x+9y≤200（肥料限制），x≥0，y≥0；（3）绘制可行域，顶点为（0，0），（20，0），（0，22）和（10，15）；（4）计算目标函数值：z=0，z=5000，z=4400，z=4750；（5）最大收益为4750元，此时x=10，y=15。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.D3.B4.C5.B6.D7.B8.B9.A10.C二、填空题1.封闭2.0≤y≤23.有界4.95.无穷多个6.07.已达到最优解8.129.无解10.