第3节　函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性课标要求1.

了解函数奇偶性的概念和几何意义，了解函数周期性的概念和几何意义.2.

会依据函数的性质进行简单的应用.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

函数的奇偶性偶函数奇函数前提定义域关于原点对称定义一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有

⁠

∈D且f（－x）＝

⁠

，那么函数f（x）

就叫做偶函数且f（－x）＝

，那

么函数f（x）就叫做奇函数图象特征关于

⁠对称关于

⁠对称－

x

f（x）

－f（x）

y轴

原点

2.

函数的周期性（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数

T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且

⁠，

那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个

⁠

的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.f（x＋T）＝f（x）

最

小

1.

函数奇偶性常用结论（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝

0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称

的区间上具有相反的单调性；（3）灵活应用奇函数的两个特殊性质①若f（x）为奇函数，则f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若f（x）存在

最值，则f（x）min＋f（x）max＝0；②若F（x）＝f（x）＋c，f（x）为奇函数，则F（－x）＋F（x）＝

2c.特别地，若F（x）存在最值，则F（x）min＋F（x）max＝2c.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数.

（

×

）（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.

（

×

）（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.

（

√

）（4）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y

＝f（x）一定是奇函数.

（

×

）××√×2.

〔多选〕给出下列函数，其中是奇函数的有（

）A.

f（x）＝x4B.

f（x）＝x5√√

3.

已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝

（

）√

4.

（2025·浙江台州一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈

（0，＋∞）时，f（x）＝log3x，则f（－9）＝（

）A.

－3B.

－2C.2D.3√解析：

根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）

时，f（x）＝log3x，则f（－9）＝－f（9）＝－log39＝－2.故选B.

5.

已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）

＝x2＋4，则f（2

026）＝

⁠.解析：因为f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3为周期的周期函数，

所以f（2

026）＝f（675×3＋1）＝f（1）＝5.5

02PART研透核心考点函数奇偶性的判断（师生共研过关）

判断下列函数的奇偶性：

解：

f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称.又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数.（2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜；解：

f（x）的定义域为R，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜＝｜x

－1｜－｜x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.

判断函数的奇偶性包括的两个必备条件（1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数；（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算

中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0

（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.提醒：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共

定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇

×偶＝奇.训练1

（1）〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是

（

B

）B

法二（性质法）

易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，

由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，

y＝cos

x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定

义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sin

x＋

4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B.

（2）〔多选〕（2026·广东深圳外国语学校月考）已知函数f（x）＝｜3

－x｜，构造函数g（x）＝f（x）－f（－x），则下列关于函数g（x）

的说法正确的是（

BCD

）A.

g（x）－g（－x）是偶函数B.

g（x）＋g（－x）是偶函数C.

g（x）｜g（x）｜是奇函数D.

g（x）g（｜x｜）是奇函数BCD解析：

因为f（x）＝｜3－x｜，所以g（x）＝｜3－x｜－｜3＋x｜，

显然g（x）的定义域为R，且g（－x）＝｜3＋x｜－｜3－x｜＝－g

（x），故g（x）是奇函数.对于A，因为g（1）＝f（1）－f（－1）＝

－2，g（－1）＝f（－1）－f（1）＝2，所以g（1）－g（－1）＝－

4≠4＝g（－1）－g（1），所以g（x）－g（－x）不是偶函数，A错

误；对于B，因为g（－x）＋g（x）＝g（x）＋g（－x），所以g

（x）＋g（－x）是偶函数，B正确；对于C，因为g（－x）｜g（－

x）｜＝－g（x）·｜－g（x）｜＝－g（x）｜g（x）｜，所以g

（x）｜g（x）｜是奇函数，C正确；对于D，因为g（－x）g（｜－

x｜）＝－g（x）g（｜x｜），所以g（x）g（｜x｜）是奇函数，D正

确.故选B、C、D.

（3）已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f

（y）＋2，则函数f（x）＋2为

函数.（填“奇”“偶”或“非奇

非偶”）解析：由题意得函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y

＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋2，故f（0）＝－2.令y＝－x，则f

（0）＝f（x）＋f（－x）＋2，故f（x）＋2＝－f（－x）－2＝－[f

（－x）＋2].故f（x）＋2为奇函数.奇

函数奇偶性的应用（定向精析突破）考向1

求解析式（参数或值）

B.1D.3C

（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x－

2x＋a，则a＝

；当x＜0时，f（x）＝

⁠.解析：

因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即

1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f（x）＝2x－2x－1，设x＜0，则－

x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）为奇

函数，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1.－1

－2－x－2x＋1

函数奇偶性的应用类型及解题策略（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇

偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式

（组），从而得到f（x）的解析式；（2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函

数值求解；（3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到

关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在x＝0处

有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.考向2

奇偶性与单调性

A

（2）已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等

式xf（x－2）＞0的解集为（

D

）A.

（1，3）B.

（3，＋∞）C.

（－3，－1）∪（3，＋∞）D.

（0，1）∪（3，＋∞）D解析：

偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上单调

递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0

＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0，

1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x

－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空

集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）.

综合应用奇偶性与单调性解题的技巧（1）比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量

转化到同一单调区间上，进而利用函数的单调性比较函数值的大小；（2）解抽象函数不等式，先把不等式转化为f（g（x））＞f（h

（x）），再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等

式（组）.

A.

－1B.1C.0D.

±1解析：∵函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），则有f

（－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，得a＝－1（符合题意）.故选A.

A（2）〔多选〕（2026·安徽合肥调研）已知f（x）是定义在R上的偶函

数，g（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），g（x）在（－∞，0]上

单调递减，则（

BD

）A.

f（f（1））＜f（f（2））B.

f（g（1））＜f（g（2））C.

g（f（1））＜g（f（2））D.

g（g（1））＜g（g（2））BD解析：

因为f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的

奇函数，且两函数在（－∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上

单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减，

所以f（1）＜f（2），g（0）＝0＞g（1）＞g（2），所以f（g（1））

＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g

（2）），所以B、D正确，C错误；若｜f（1）｜＞｜f（2）｜，则f（f

（1））＞f（f（2）），A错误.（3）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f

（x）－g（x）＝x3＋x2－1，则f（x）＝

，g（2）＝

⁠.解析：

由f（x）－g（x）＝x3＋x2－1

①，得f（－x）－g（－

x）＝－x3＋x2－1，因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶

函数，所以－f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1

②，由①－②，化简得f

（x）＝x3，代入①得g（x）＝1－x2，故g（2）＝－3.x3

－3

函数的周期性（师生共研过关）

A

（2）已知y＝f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f

（x）＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f（x）＝（

B

）A.

x2＋22x－120B.

－x2＋22x－120C.

x2＋11x－60D.

－x2＋11x－60解析：

∵f（x）在R上是周期为4的奇函数，∴f（－x）＝－f

（x），由f（x＋4）＝f（x），可得f（x－12）＝f（x），设－

2≤x≤0，则0≤－x≤2，f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x，当

10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f（x）＝f（x－12）＝－（x－12）2－

2（x－12）＝－x2＋22x－120.B

1.

求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函

数的周期.2.

利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等

问题，转化到已知区间上，进而解决问题.训练3

（1）函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f

（2

025）＝（

C

）A.1D.7

C（2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f

（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点个

数为（

C

）A.3B.4C.5D.6C解析：

当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f

（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1；当2≤x＜4时，

0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），所

以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以当2≤x＜4时，y＝f

（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3；又f（4）＝f（2）

＝f（0）＝0，综上可知，共有5个交点.（3）〔多选〕（2025·广东深圳模拟）已知非常数函数f（x）的定义域为

R，满足f（x＋2）＋f（x）＝0，f（－x）＝－f（x），则

（

ACD

）A.

f（2）＝0B.

f（x＋4）为偶函数C.

f（x）为周期函数D.

f（x）的图象关于点（－4，0）对称ACD解析：

因为f（x＋2）＋f（x）＝0，所以f（x）＝－f（x＋2），f（x

＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，故C

正确；又f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，f（0）＝0，所以

f（2）＋f（0）＝0，即f（2）＝0，故A正确；又f（x）的周期为4，且

为奇函数，所以f（x＋4）为奇函数，故B不正确；因为f（x）的图象关

于点（0，0）对称，所以f（x）的图象也关于点（－4，0）对称，故D

正确.03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2，

则f（2

025）＝（

）A.2B.0C.

－2D.

－4123456789101112131415√解析：

因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f

（x）为奇函数，所以f（2

025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－

1）＝－2，故选C.

A.

是奇函数B.

是偶函数C.

是非奇非偶函数D.

既是奇函数也是偶函数√

123456789101112131415

√

1234567891011121314154.

设f（x）为R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2－1，则

使f（x）＞0的x的取值范围是（

）A.

{x｜x＞1}B.

{x｜－1＜x＜0}C.

{x｜x＜－1或x＞1}D.

{x｜－1＜x＜0或x＞1}√解析：

当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2－1，又f

（x）为R上的奇函数，作出f（x）的图象如图所示，由图

象可知，若f（x）＞0，则－1＜x＜0或x＞1.123456789101112131415

A.

f（－1）＝f（2）B.

g（2）＝1C.

f（1）＝f（2）D.

g（－1）＝g（5）√√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕已知f（x）是定义在R上的偶函数，其周期为4，当x∈[0，2]

时，f（x）＝2x－2，则（

）A.

f（2

026）＝2B.

f（x）的值域为[－1，2]C.

f（x）在[4，6]上单调递减D.

f（x）在[－6，6]上有8个零点√√123456789101112131415解析：

f（2

026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当

x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值

域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1，

2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，又函数的周

期为4，所以f（x）在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f（x）＝2x－2

＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所以f

（5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6]上

有6个零点，所以D错误.123456789101112131415

－1

123456789101112131415

－12

1234567891011121314159.

（13分）（2026·宁夏银川模拟）已知函数f（x）是偶函数.当x＞0

时，f（x）＝logax的图象过点（3，－1）.（1）求实数a的值；

123456789101112131415（2）求函数f（x）的解析式；

123456789101112131415（3）求不等式f（x）＜1的解集.

123456789101112131415

10.

（2025·湖北武汉二调）函数f（x）满足：f（x＋1）＝f（x）＋f

（x＋2），若f（1）＝2，f（11）＝3，则f（2

025）＝（

）A.1B.

－1√C.5D.

－5解析：

由题意可得：f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x），用x＋1代替x

可得：f（x＋3）＝f（x＋2）－f（x＋1），两式相加得：f（x＋3）＝

－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）是

以6为周期的周期函数.所以f（11）＝f（5）＝3.又f（5）＝－f（2），

所以f（2）＝－3.所以f（3）＝f（2）－f（1）＝－3－2＝－5.所以f（2

025）＝f（337×6＋3）＝f（3）＝－5.故选D.

12345678910111213141511.

已知函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）－g（－x）＝2x，设函

数f（x）＝g（x）－x，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增.若f

（a）－f（2a＋1）＞0，则实数a的取值范围为（

）B.

（－∞，－1）C.

（－1，0）√123456789101112131415

12345678910111213141512.

〔多选〕（2026·江苏苏州调研）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋

y）＝f（x）＋f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）满足

（

）A.

f（0）＝0B.

y＝f（x）为奇函数C.

f（x）在R上是增函数D.

f（x－1）＋f（x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}√√√123456789101112131415解析：

由题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）

＋f（y），对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），即f（0）

＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，

即f（－x）＝－f（x），所以y＝f（x）为奇函数，故B正确；对于C，

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2＋x2）－f

（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2），因为x1＜x2，所

以x1－x2＜0，所以f（x1－x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f

（x）在R上是减函数，故C错误；对于D，由f（x－1）＋f（x2－1）＞

0，可得f（x－1）＞－f（x2－1）＝f（1－x2），由C知函数f（x）在R

上是减函数，所以x－1＜1－x2，解得－2＜x＜1，所以f（x－1）＋f

（x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故D正确.123456