第3节　随机事件的概率与古典概型

第3节随机事件的概率与古典概型课标要求1.

理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.2.

了解随机事件的并、交与互斥的含义，能进行随机事件的并、交运算.3.

理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.

理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

样本空间和随机事件关键词含义样本点随机试验E的

的基本结果，常用ω表示样本

点样本空间

样本点的集合，常用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称

样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间每个可能

全体

关键词含义随机事件样本空间Ω的

，常用大写字母A，B，C，…表

示基本事件只包含一个样本点的事件必然事件每次试验

⁠的事件不可能事件每次试验

⁠的事件子集

一定发生

一定不发生

2.

两个事件的关系和运算事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件（和事件）A与B至少有一个发生A∪B或A＋B事件的关系和运算含义符号表示交事件（积事件）A与B同时发生A∩B或AB互斥事件A与B不能同时发生A∩B＝⌀互为对立事件A与B有且仅有一个发生A∩B＝⌀，A∪B＝Ω提醒：当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立

时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件.3.

古典概型（1）古典概型的特征①有限性：样本空间的样本点只有

个；②等可能性：每个样本点发生的可能性

⁠.有限

相等

4.

概率的基本性质（1）对任意的事件A，都有P（A）≥0；（2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P

（⌀）＝0；（3）如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝

⁠

⁠；（4）如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P

（A）＝

⁠；（5）如果A⊆B，那么P（A）≤P（B），由该性质可得，对于任意事

件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P（A）≤1；P（A）＋P

（B）

1－P（B）

（6）设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）＝

⁠

⁠.提醒：若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P（A1∪A2∪…∪An）＝P

（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.P

（A）＋P（B）－P（A∩B）

5.

频率和概率随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频

率fn（A）会逐渐

事件A发生的概率P（A），我们称频率的这

个性质为频率的稳定性.因此，可以用频率fn（A）估计概率P（

A

）.A稳定于

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）事件发生的频率与概率是相同的.

（

×

）（2）两个事件的和事件是指两个事件同时发生.

（

×

）（3）若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.

（

×

）（4）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，

这三个结果是等可能事件.

（

×

）××××2.

一个人打靶时连续射击两次，与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是

（

）A.

至少有一次中靶B.

两次都中靶C.

只有一次中靶D.

两次都不中靶√解析：

射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中

靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.3.

把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1

000次，其中有496次正面朝上，504

次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为（

）A.0.496B.0.504C.0.5D.1√解析：

掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.

02PART研透核心考点随机事件关系的判断（基础自学过关）1.

（2025·江苏常州金坛区二模）口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球

编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是（

）A.

至少有1个红球与至少有1个黑球B.

至少有1个红球与都是黑球C.

至少有1个红球与至多有1个黑球D.

恰有1个红球与恰有2个红球√解析：

对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球

不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不

能同时发生，且必有其中1个发生.所以为互斥事件，且为对立事件，所以

B不符合题意；对于C，不互斥.如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑

球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，恰有1个红球与恰有2个红球

不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如恰有3个红球.2.

〔多选〕下列结论正确的有（

）A.

若A，B互为对立事件，P（A）＝1，则P（B）＝0B.

若事件A，B，C两两互斥，则事件A与B∪C互斥C.

若事件A与B对立，则P（A∪B）＝1D.

若事件A与B互斥，则它们的对立事件也互斥√√√解析：

由题意得，P（B）＝1－P（A）＝0，故A正确；若事件

A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不可能同时发生，则事件A与

B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故B正确；若事件A与

B对立，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1，故C正确；若事件A，

B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误.故选A、B、C.

3.

〔多选〕对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件

A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝

“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，则下列关系

正确的是（

）A.

A∩D＝⌀B.

B∩D＝⌀C.

A∪C＝DD.

A∪B＝B∪D√√解析：

“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击

中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠⌀，B∩D＝⌀，A∪C＝D，

A∪B≠B∪D.

故选B、C.

判断互斥事件、对立事件的两种方法（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的

两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为

对立事件，对立事件一定是互斥事件；（2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合，彼此的交集为空

集，则事件互斥；②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中

由事件A所含的结果组成的集合的补集.随机事件的概率（定向精析突破）考向1

古典概型

（1）（2022·新高考Ⅰ卷5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的

数，则这2个数互质的概率为（

D

）D

（2）（2026·江苏海安、宿迁中学测试）将编号为1，2，3，4的小球放入

编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有1个小球与所在

盒子编号相同的概率为（

A

）A

2.

求样本空间中样本点个数的方法（1）枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题；（2）树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点

总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注

意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复；（3）排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组

合的知识.考向2

互斥事件与对立事件的概率

D.

P（B∩C）＝0ACD

互斥事件概率的两种求法（1）将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率

的加法公式求解概率；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太

多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正

难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.训练1

（1）（2026·广东佛山模拟）学校举办篮球赛，将6支球队平均分成

甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（

C

）

C（2）〔一题多解〕经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及

相应的概率如下：排队人数012345人及5人

以上概率0.10.160.30.30.10.04则至多2人排队等候的概率为

；至少3人排队等候的概率

为

⁠；0.56

0.44

解析：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人

排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事

件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，

F彼此互斥.①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所

以P（G）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋

0.16＋0.3＝0.56.②法一

记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P

（H）＝P（D∪E∪F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋

0.04＝0.44.法二

记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P

（H）＝1－P（G）＝0.44.（3）（2025·八省联考）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，

7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与

其余5张卡片上的数字之和相等的概率为

⁠.

用频率估计概率（师生共研过关）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4

元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处

理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.

如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，

25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定

六月份的订购计划，统计了前三年的六月份各天的最高气温数据，得到下

面的频数分布表：最高气

温[10，

15）[15，

20）[20，

25）[25，

30）[30，

35）[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份

这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于

零的概率.

1.

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一

个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用

频率来作为随机事件概率的估计值.2.

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生

的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.训练2某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称

为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在上一年内的出险情况，得到如下统

计表：出险次数01234≥5频数605030302010（1）记A为事件“续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的

估计值；

（2）记B为事件“续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的

160％”.求P（B）的估计值；

（3）求续保人本年度平均保费的估计值.解：由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15

＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192

5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192

5a.03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

下列说法正确的是（

）A.

随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件

发生的概率D.

某市气象台预报“明天本市降水概率为70％”，指的是：该市气象台

专家中，有70％认为明天会降水，30％认为明天不会降水123456789101112131415√

123456789101112131415

A.

至多有一张移动卡B.

恰有一张移动卡C.

都不是移动卡D.

至少有一张移动卡√

1234567891011121314153.

在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，

0.3，0.5，则下列选项正确的是（

）A.

A1＋A2＋A3是必然事件B.

A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件C.

P（A1＋A2）≤0.5D.

P（A2＋A3）＝0.8√123456789101112131415解析：

对于A选项，P（A1＋A2＋A3）＝P（A1＋A2）＋P（A3）－P

（（A1＋A2）∩A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）－P（A1∩A2）－

P（（A1＋A2）∩A3）＝1－P（A1∩A2）－P（（A1＋A2）∩A3）≤1，

所以A1＋A2＋A3不一定是必然事件，A错；对于B选项，因为（A1＋A2）

∩A3不一定是不可能事件，故A1＋A2与A3不一定互斥，B错；对于C选

项，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1∩A2）＝0.5－P

（A1∩A2）≤0.5，C对；对于D选项，P（A2＋A3）＝P（A2）＋P

（A3）－P（A2∩A3）＝0.8－P（A2∩A3）≤0.8，D错.故选C.

1234567891011121314154.

某市把图书馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免

费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理.现有A，B，C，D，E共5

名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一

名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则A，B两名志愿者不

在同一个场馆的概率为（

）√

1234567891011121314155.

〔多选〕从5名女生和4名男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机

事件：A＝“至少有1名女生”，B＝“至少有1名男生”，C＝“恰有1名

男生”，D＝“两名都是女生”，E＝“恰有1名女生”，下列结论正确的

是（

）A.

C＝EB.

A＝BC.

D∩E≠⌀D.

B与D互为对立事件√√123456789101112131415解析：

对于A，“恰有1名男生”与“恰有1名女生”是同一个事件，

即C＝E，A正确；对于B，事件A＝“至少有1名女生”包含“1名女生和

1名男生”、“两名女生”两种情况，事件B＝“至少有1名男生”包含“1

名男生和1名女生”、“两名男生”两种情况，故A≠B，B错误；对于

C，事件D＝“两名都是女生”，事件E＝“恰有1名女生”＝“1名女

生，1名男生”，两个事件互斥，故D∩E＝⌀，C错误；对于D，样本空间

Ω＝{“两名女生”、“1名女生，1名男生”、“两名男生”}，故B与D

互为对立事件，D正确.1234567891011121314156.

〔多选〕某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车

站（首发站）乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可

能的，则（

）A.

甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种√√√123456789101112131415

123456789101112131415

只有一人破译出密码

123456789101112131415

1234567891011121314159.

（13分）某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名

男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两所中学所推荐的学生

一起参加集训.集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、

女生中随机抽取3人组成代表队.（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

123456789101112131415（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生

人数不少于2人的概率.

123456789101112131415

10.

某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是

高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有

14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工

是高级工程师的概率为（

）√123456789101112131415

123456789101112131415

√123456789101112131415

12345678910111213141512.

〔多选〕小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随

交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：所需时间（分钟）30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是（

）123456789101112131415A.

任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是

对立事件B.

从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C.

如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D.

若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为

0.04√√123456789101112131415解析：

对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分

钟”