第4节　基本不等式

第4节基本不等式课标要求1.

了解基本不等式的证明过程.2.

能用基本不等式解决简单的最值问题.3.

掌握基本不等式在实际生活中的应用.目录/CONTENTS考点一基本不等式的理解01考点二利用基本不等式求最值02提能点基本不等式的综合应用03课时跟踪训练0401PART考点一基本不等式的理解

（1）基本不等式成立的条件：

⁠；（2）等号成立的条件：当且仅当

时，等号成立；

a＞0，b＞0

a＝b

（1）已知a＞0，b＞0，则（

C

）A.

a2＋b2＞2ab

C（2）（2026·湖南湘潭质量检测）下列结论正确的是（

B

）B

规律方法利用基本不等式判断命题真假的步骤第一步：检查是否满足基本不等式成立的条件；第二步：应用基本不等式；第三步：检验等号是否成立.

AA.

②③B.

①③C.

①②D.

①②③

（2）若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（

C

）

C02PART考点二利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最

⁠值

是

（简记：积定和最

⁠）；（2）如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最

⁠值

是

（简记：和定积最

）.小

小

大

大

角度1

配凑法

A.6B.8B

C.10D.12

D

规律方法配凑法求最值的关键点

配凑法是指对所给或所求代数式进行适当的变形，通过拆（裂项、拆

项），并（分组、并项），配（配式、配系数等），使得“和”是定值或

“积”是定值，从而运用基本不等式求得最值.角度2

常数代换法

A.3B.4C.5D.6√

规律方法常数代换法求最值的基本步骤角度3

消元法（或换元法）

〔一题多解〕若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.

解得t≥3，故ab≥9.故ab的取值范围为[9，＋∞）.规律方法利用消元法或换元法求最值的方法（1）消元法：即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式

转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用

基本不等式求解；（2）换元法：求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变

形，简化式子，再利用基本不等式求解.练2

（1）已知实数a，b满足lg

a＋lg

b＝lg（a＋2b），则2a＋b的最小

值为（

B

）A.5B.9C.13D.18

B

03PART提能点基本不等式的综合应用角度1

实际应用

（2026·河南郑州模拟）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为

AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为

⁠

⁠.

12－

规律方法利用基本不等式解决实际问题的策略（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的

最值；（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单

调性求解.角度2

与基本不等式有关的恒（能）成立问题

已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝xy，若不等式x＋2y≥m2－2m恒成

立，则实数m的取值范围是（

）A.

[－2，4]B.

（－2，4）C.

（－∞，－2]∪[4，＋∞）D.

（－∞，－2）∪（4，＋∞）√

规律方法含参数不等式的求解策略（1）利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定

是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最

后通过解不等式（组）得到参数的值或范围；（2）∀x∈M，使得f（x）≥a，等价于f（x）min≥a；∀x∈M，使得f

（x）≤a，等价于f（x）max≤a；（3）∃x∈M，使得f（x）≥a，等价于f（x）max≥a；∃x∈M，使得f

（x）≤a，等价于f（x）min≤a.

A.7B.8C.9D.10C

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.

x≥2yB.

x＞2yC.

x≤2yD.

x＜2y1234567891011121314√

√

12345678910111213143.

（2026·湖北武汉调研）已知正数a，b满足a＋2b＝1，则（

）√

12345678910111213144.

〔一题多解〕若2a＋2b＝1，则（2a＋1）（2b＋1）的最大值为

（

）√

1234567891011121314

1234567891011121314

A.2B.4C.6D.8√

12345678910111213146.

要制作一个容积为4

m3，高为1

m的无盖长方体容器.已知该容器的底面

造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价

是（

）A.80元B.120元C.160元D.240元√

12345678910111213147.

〔多选〕已知x，y是正数，且x＋y＝2，则（

）A.

x（x＋2y）的最大值为4B.

2x＋2y的最小值为4√√√1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

123456789101112131410.

（13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：（1）xy的最小值；

1234567891011121314（2）x＋y的最小值.

1234567891011121314

D.2√

123456789101112131412.

〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的

是（

）B.

（a＋b＋c）2≥3D.

a2＋b2＋c2≥1√√1234567891011