第4节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第4节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课标要求1.

了解两个事件相互独立的含义.2.

理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

相互独立事件（1）概念：设A，B为任意两个事件，若P（AB）＝

⁠

，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立；

（3）相互独立事件的概率公式的推广：若事件A1，A2，…，An相互独

立，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.P（A）·P

（B）

提醒：（1）事件A与事件B是互斥事件，则A与B不相互独立；（2）当P

（A）＞0时，事件A与B相互独立的充要条件是P（B｜A）＝P

（

B

）.B2.

条件概率

（2）两个公式

②概率的乘法公式：P（AB）＝

⁠.

P（A）P（B｜A）

3.

全概率公式

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）·P（B）都成立.

（

×

）（2）抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正

面”为事件B，则A，B相互独立.

（

√

）（3）三个事件A，B，C两两独立，P（ABC）≠P（A）P（B）P

（C）.

（

√

）（4）P（B｜A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P

（AB）表示事件A，B同时发生的概率.

（

√

）（5）若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P

（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）.

（

√

）×√√√√

D.1√

√

5.

某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用

餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B

餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则王同学第2天去A餐厅用餐的概

率为

⁠.解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2

＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意

得，P（A1）＝P（B1）＝0.5，P（A2｜A1）＝0.6，P（A2｜B1）＝

0.8，由全概率公式，得P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（B1）P

（A2｜B1）＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.因此，王同学第2天去A餐厅用

餐的概率为0.7.0.7

02PART研透核心考点相互独立事件的概率（定向精析突破）考向1

事件相互独立性的判断

（2021·新高考Ⅰ卷8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，

5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出

的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事

件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字

之和是7”，则（

）A.

甲与丙相互独立B.

甲与丁相互独立C.

乙与丙相互独立D.

丙与丁相互独立√

判断两个事件是否相互独立的方法（1）定量法：利用P（AB）＝P（A）P（B）是否成立可以准确地判断

两个事件是否相互独立；（2）定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影

响，若没有影响就是相互独立事件.考向2

相互独立事件的概率

（1）某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数

字一定是奇数，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（

B

）

B（2）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续

正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手每个问题正

确回答的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好

回答了4个问题就晋级下一轮的概率为

⁠.解析：依题意可知，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正

确，第1个问题回答正确、错误均有可能，则所求概率P＝1×0.2×0.82＝

0.128.0.128

1.

求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）确定各事件是相互独立的；（2）确定各事件会同时发生；（3）求每个事件发生的概率，再用公式求解.2.

与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式事件A，B相互独立概率计算公式A，B同时发生P（AB）＝P（A）P（B）A，B同时不发生P（）＝P（）P（）＝[1－P（A）][1－P

（B）]A，B至少有一个不发生P＝1－P（AB）＝1－P（A）·P（B）A，B至少有一个发生P＝1－P（）＝1－P（）·P（）A，B恰有一个发生P＝P（A＋B）＝P（A）·P（）＋P（）P（B）训练1

（1）一个质地均匀的正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，

5，6，拋掷这个正方体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空

间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件

G＝{2，4}，则（

A

）A.

E与F不是互斥事件B.

F与G是对立事件C.

E与F是相互独立事件D.

F与G是相互独立事件A

C

条件概率（定向精析突破）考向1

条件概率

（1）〔一题多解〕在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现

从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二

次取到不合格品的概率为（

D

）D

考向2

条件概率的性质及应用

C.

若A，B是相互独立事件，则P（A｜B）＝P（

A

）D.

若A，B是互斥事件，则P（B｜A）＝P（

B

）ACAB

求条件概率的常用方法

训练2

（1）（2026·辽宁大连质检）经统计，某射击运动员进行两次射击

时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也

击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为（

C

）A.0.24B.0.36C.0.48D.0.75解析：

设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”

为事件B，由题意得P（A）＝0.6，P（B｜A）＝0.8，所以该射击运动

员两次均击中9环的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝0.6×0.8＝

0.48.C

全概率公式（师生共研过关）

B

利用全概率公式求解概率的步骤第一步：按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i

＝1，2，…，n）；第二步：求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P

（B｜Ai）；第三步：代入全概率公式计算.提醒：对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn.训练3

（1）（2026·江西赣州模拟）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中

有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中

随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红

球的概率为（

B

）B

（2）某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般

的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次

为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占

20％，“一般的”被保险人占50％，“冒失的”被保险人占30％，则该保

险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（

B

）A.0.155B.0.175C.0.016D.0.096B

贝叶斯公式

（1）从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公

式是求一个事件的条件概率；（2）从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的

子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概

率.贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因

发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计；（3）从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，

全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母（结果发生的总概率），而

贝叶斯可以用来求出全概率公式中的分子（子事件发生的条件概率）.2.

全概率公式和贝叶斯公式的区别

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

某同学参加社团面试，已知其第一次面试通过的概率为0.7，第二次面

试通过的概率为0.5.若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未

通过，则面试失败，否则视为面试通过，若两次面试互不影响，则该同学

面试通过的概率为（

）A.0.85B.0.7C.0.5D.0.4123456789101112131415√解析：

依题意，第一次面试不通过的概率为0.3，第二面试不通过的概

率为0.5，因此面试失败的概率为0.3×0.5＝0.15，所以该同学面试通过

的概率为1－0.15＝0.85.2.

以事件A，B分别表示“某城市的甲、乙两个区在一年内出现停水”，

若P（B）＝0.30，P（A｜B）＝0.15，则两个区一年内都出现过停水的

概率为（

）A.0.6B.0.65C.0.45D.0.045√解析：

由题意可得P（AB）＝P（B）P（A｜B）＝0.30×0.15＝

0.045.123456789101112131415

√123456789101112131415

1234567891011121314154.

已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回

摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概

率为（

）√123456789101112131415

123456789101112131415

√√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3

个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1，A2和A3

表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，用

B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（

）C.

事件B与事件A1相互独立D.

A1，A2，A3两两互斥√√123456789101112131415

123456789101112131415

1234567891011121314158.

（2024·上海高考8题）某校举办科学竞技比赛，有A，B，C3种题库，

A题库有5

000道题，B题库有4

000道题，C题库有3

000道题.小申已完成

所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正

确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是

⁠.

0.85

1234567891011121314159.

（13分）某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、

二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率

分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方

式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，

但有5％的概率将二等品误判为次品，有15％的概率将二等品误判为一等

品，也有10％的概率将次品误判为二等品.（1）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概

率；123456789101112131415

123456789101112131415（2）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若

判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是

一等品的概率.

123456789101112131415

A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√123456789101112131415

12345678910111213141511.

〔一题多解〕某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结

果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，

且p3＞p2＞p1＞0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则（

）A.

p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.

该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.

该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.

该棋手在第二盘与丙比赛，p最大√123456789101112131415解析：

法一

设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二

盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P

丙，由题意可知，P甲＝2p1[p2（1－p3）＋p3（1－p2）]＝2p1p2＋2p1p3－

4p1p2p3，P乙＝2p2[p1（1－p3）＋p3（1－p1）]＝2p1p2＋2p2p3－

4p1p2p3，P丙＝2p3[p1（1－p2）＋p2（1－p1）]＝2p1p3＋2p2p3－

4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2（p3－p1）＞0，P丙－P乙＝2p1（p3－p2）＞

0，所以P丙最大，故选D.

123456789101112131415法二（特殊值法）

不妨设p1＝0.4，p2＝0.5，p3＝0.6，则该棋手在第二

盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲＝2p1[p2（1－p3）＋p3（1－p2）]＝0.4；

在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙＝2p2[p1（1－p3）＋p3（1－p1）]

＝0.52；在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙＝2p3[p1（1－p2）＋p2（1

－p1）]＝0.6.所以P丙最大，故选D.

12345678910111213141512.

（2026·福建福州质检）甲、乙、丙三个地区分别有x％，y％，z％的

人患了流感，且x，y，z构成以1为公差的等差数列.已知这三个地区的人

口数的比为5∶3∶2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感

的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x的可能取值为（

）A.1.21B.1.34C.1