第4节　数列求和

第4节数列求和课标要求

在熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式的基础上，掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

数列求和的常用方法

（2）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数

列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再

相加减；（3）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并

项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项

可以相互抵消，从而求得前n项和；（5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数

列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法；（6）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的

和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

√√√2.

已知数列{an}的通项公式是an＝（－1）n（n＋1），则a1＋a2＋a3

＋…＋a10＝（

）A.

－55B.

－5C.5D.55√解析：

因为an＝（－1）n（n＋1），所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝－2

＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝（－2＋3）＋（－4＋5）＋（－6＋

7）＋（－8＋9）＋（－10＋11）＝5.3.

数列{n＋2n－1}的前n项和为（

）A.1＋2nC.

n＋2n－1√

99

5.

已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝

⁠

⁠.

（n－1）2n＋1＋

2

02PART研透核心考点分组求和与并项求和（师生共研过关）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝an＋1－1，n∈N*，且a1＝1.（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝anan＋1＋log2（anan＋1）（n∈N*），求数列{bn}的前n项和

Tn.

1.

分组求和法常见题型（1）若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比

数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和；

2.

并项求和法常见题型（1）数列{an}的通项公式为an＝（－1）nf（n），求数列{an}的前n项和；（2）数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1（k∈N*）为定值，求数列{an}的

前n项和.训练1

（2026·山东名校联盟开学考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an

＋2n.（1）求数列{an}的通项公式；

（2）bn＝（－1）n（an＋n－1），求数列{bn}的前2n项和S2n.

裂项相消法求和（师生共研过关）

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，nSn＋1＝（n＋2）Sn.（1）求数列{an}的通项公式；

裂项相消法求和的步骤提醒：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数

第几项.

（1）求数列{an}的通项公式；解：

设{an}的公差为d.

∴an＝2n－1.

∴an＝2n－1.

错位相减法求和（师生共研过关）

（1）证明：数列{nan}是等差数列；

（2）给定正整数m，设函数f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f'（－

2）.

错位相减法求和的步骤提醒：（1）在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对

齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；（2）作差后，等式右边由第一项、

中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；（3）运算时，经常把b2＋b3

＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误.训练3

（2026·北京市第二中学模拟）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an

－n＋1（n∈N*）.（1）求数列{an}的通项公式；解：

因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－n＋1，则an＋1－（n＋1）＝2（an－n），而a1－1＝1，于是数列{an－n}是首项

为1，公比为2的等比数列，所以an－n＝1·2n－1，即an＝2n－1＋n，

n∈N*.

03PART课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：75分）[备注：单选、填空题5分]

1.

数列{1＋2n－1}的前n项和为（

）A.1＋2nB.2＋2nC.

n＋2n－1D.

n＋2＋2n123456789√

2.

（2025·天津高考6题）已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{｜

an｜}的前12项和为（

）A.48B.112C.80D.144√

1234567893.

在数列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），则该数

列的前100项之和是（

）A.18B.8C.5D.2√解析：

因为a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），所以a3＝3－1

＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3＋1＝－2，a7＝－2＋3

＝1，a8＝1＋2＝3，a9＝3－1＝2，…，所以{an}是周期为6的周期数列，

因为100＝16×6＋4，所以S100＝16×（1＋3＋2－1－3－2）＋（1＋3＋2

－1）＝5.故选C.

123456789

A.100B.105C.110D.115√123456789

1234567895.

（2026·安徽皖南八校联考）已知数列{an}满足an＝（－1）nn2，某同

学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为372，则写错之前这

个数为

⁠.解析：an＝（－1）nn2，则其前20项和为S＝－12＋22－32＋42－…－192＋

202＝（22－12）＋（42－32）＋…＋（202－192）＝1＋2＋3＋4＋…＋20＝

210.设写错的项为x，则S－x－x＝372，解得x＝－81，a9＝－81，故写

错之前这个数为－81.－81

123456789

123456789

1234567897.

（15分）（2026·江苏连云港模拟）已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，

nan＋1＝（n＋1）an＋1，b1＋b2＋…＋bn＝2n－1.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

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1234567898.

（15分）（2026·浙江宁波模拟）已知等差数列{an}的公差为2，记数列

{bn}的前n项和为Sn，b1＝0，b2＝2且满足bn＋1＝2Sn＋an.（1）证明：数列{bn＋1}是等比数列；

123456789（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.

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