第8节　用空间向量研究夹角问题

第8节用空间向量研究夹角问题课标要求1.能用向量方法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题.2.能描述解决这类夹角问题的过程，体会向量方法在研究空间角问题中

的应用.目录/CONTENTS提能点一异面直线所成的角01提能点二直线与平面所成的角02提能点三二面角（平面与平面的夹角）03课时跟踪训练0401PART提能点一异面直线所成的角

提醒：两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围

为[0，π]，所以公式中要加绝对值.

规律方法用向量法求异面直线所成角的步骤（1）坐标向量法练1如图，已知以O为圆心，2为半径的圆在平面α上，若PO⊥α，且PO

＝4，OA，OB为圆O的半径，且∠AOB＝90°，M为AB的中点，则异面

直线OB与PM所成角的余弦值为（

）√

02PART提能点二直线与平面所成的角

（2025·北京高考17题改编）如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与

△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°.若PA⊥平面

ABCD，PA＝AC，则直线AB与平面PCD所成角的正弦值为（

）√

规律方法利用空间向量求线面角的步骤

提醒

线面角的正弦值对应向量夹角的余弦值的绝对值.练2已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点M在棱CC1上，且CM＝

λCC1（0≤λ≤1），求直线A1M与平面BDD1B1所成角的正弦值的最大值.解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A为原点，分别以AB，AD，AA1为

x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.已知棱长为2，各顶点坐标为A（0，

0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），D（0，2，0），A1（0，0，

2），C（2，2，0），C1（2，2，2）.

03PART提能点三二面角（平面与平面的夹角）

（2025·天津高考17题节选）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长

为4，E，F分别为A1D1，C1B1中点，点G在棱CC1上，且CG＝3C1G.

（1）求证：GF⊥平面EBF；

又EF∩BF＝F，EF⊂平面EBF，BF⊂平面EBF，∴GF⊥平面EBF.

（2）求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值.

规律方法向量法求二面角（平面与平面的夹角）的方法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后

通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图

形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂

直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角

的大小.练3

（2023·新高考Ⅱ卷20题）如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝

DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点.（1）证明：BC⊥DA；解：证明：如图，连接DE，AE.

因为DC＝DB，E为BC的中点，所以BC⊥DE.

因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DC＝DB，所以△ABD≌△ACD，所以AB＝AC.

又E为BC的中点，所以BC⊥AE.

又AE⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AE∩DE＝E，所以BC⊥平面ADE.

又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA.

解：设DA＝DB＝DC＝2.由∠ADB＝∠ADC＝60°，知△ABD与△ACD为等边三角形，所以AB＝

AC＝2.

因为AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，

因为AE2＋DE2＝AD2，所以AE⊥DE.又AE⊥BC，BC⊂平面BCD，DE⊂平面BCD，BC∩DE＝E，所以

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：82分）

[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.30°B.60°C.120°D.150°

123456789101112√

√123456789101112

123456789101112

√123456789101112

123456789101112

√123456789101112

123456789101112

123456789101112

C.1D.2√123456789101112

1234567891011126.

〔多选〕如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱CD上的两

点，且AB＝2，EF＝1，则下列说法中不正确的有（

）A.

异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°B.

异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30°C.

直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45°D.

直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60°√√√123456789101112

123456789101112

123456789101112

123456789101112

1234567891011128.

（15分）（2022·全国乙卷18题）如图，四面体ABCD中，

AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点.（1）证明：平面BED⊥平面ACD；解：证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB

＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC.

因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE，又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平

面BED，又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

123456789101112（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.

123456789101112

123456789101112

123456789101112

9.

在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，

在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD＝2，M为AD中

点，N为CD中点，则直线CM与平面ABN所成角的余弦值为（

）√123456789101112

123456789101112

123456789101112

A.

BD⊥ECB.

BF∥平面ADE√√123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112

123456789101112

123456789101112

123456789101112

（1）证明：平面A1ABB1