第8节　直线与圆锥曲线

第8节直线与圆锥曲线课标要求1.

理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.

掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.

掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线的位置关系有

、

、

；相

交有两个交点（特殊情况除外），相切有一个交点，相离无交点；（2）判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By

＋C＝0代入圆锥曲线C的方程，消去y（或x）得到一个关于变量x（或

y）的方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）.①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线

C

；Δ＝0时，直线l与曲线C

；Δ＜0时，直线l与曲线

C

⁠；相交

相切

相离

相交

相切

相离

②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此

时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的

平行；若C为抛物线，

则直线l与抛物线的

平行或重合.渐近线

对称轴

2.

直线与圆锥曲线相交弦

2.

中点弦的有关结论

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（2）直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.

（

×

）（3）与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.

（

√

）（4）“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个

公共点”.

（

×

）√×√×

√

3.

（2025·广东湛江二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x

－y－3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝（

）A.1B.2C.3D.4√

02PART研透核心考点直线与圆锥曲线的位置关系（师生共研过关）

A.

相离B.

相交C.

相切D.

不能确定B

（2）若直线l：y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6（x＞0）交于不同的两

点，则k的取值范围是（

C

）C

判断直线与圆锥曲线位置关系的方法（1）代数法：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再

消去x（或y），得到关于y（或x）的方程，如果是直线与圆或椭圆，则

所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论

二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外

还应注意斜率不存在的情形；（2）几何法：通过直线与圆锥曲线的交点情况进行判断，特别地，若直

线经过圆锥曲线内部的定点，则直线与圆锥曲线相交.训练1

（1）已知抛物线方程为y2＝4x，过点P（0，2）的直线与抛物线只

有一个交点，这样的直线有（

D

）A.0条B.1条C.2条D.3条D

（2）〔一题多解〕若曲线y2＝｜x｜＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则

k，b分别应满足的条件是

⁠.

k＝0，｜b｜＜1

法二

如图所示，当x≥0时，曲线为y2＝x＋1；当x＜0

时，曲线为y2＝－x＋1.当k＝0时，y＝b，－1＜b＜1

时无公共点；当k≠0时，有公共点.∴k＝0，｜b｜＜1.弦长问题（师生共研过关）

（1）求C的方程；

弦长的求法（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解.

（2）点F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线的

右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为12，求直线l的方程.解：因为△ABF1的周长为12，所以｜AB｜＋｜AF1｜＋｜BF1｜＝12，

①由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝4，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝4，所以｜AF1｜＋｜BF1｜－（｜AF2｜＋｜BF2｜）＝｜AF1｜＋｜BF1｜

－｜AB｜＝8，

②

中点弦问题（师生共研过关）

y＝±2x

解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法（1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元

得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解；（2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，

y1），B（x2，y2），将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得

两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大

大减少计算量.训练3

（2025·河南郑州一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到

准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的

两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为（

）A.

（1，－1）B.

（2，0）D.

（1，1）√

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：97分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.

相离B.

相切C.

相交D.

无法确定123456789101112131415√

2.

直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，

若使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则p＝（

）C.1D.2√

123456789101112131415

A.

－2B.

－1C.1D.2√

123456789101112131415

C.

y＝x－1或y＝－x－1D.

y＝x－1√123456789101112131415

123456789101112131415

A.4B.3√123456789101112131415

123456789101112131415

√√√123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

A.1条B.2条C.3条D.4条√123456789101112131415

123456789101112131415

√123456789101112131415

123456789101112131415

√123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

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